Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Вектор смещения всегда можно представить в виде
, div 0, rot 0.
t l t l
u u u u u
2
2
div
div div
3
l
ll
K
t
u
uu
2
2
4
div 0
3
l
l
K
t
u
u
0lu
2
2
2
l
ll
c
t
u
u
2
14
3
l
cK
l
c
rot 0
l l l
i u k u u k
2
2
rot
rot
t
t
t
u
u
2
2
rot 0
t
t
t
u
u
2
22
2
,.
t
t t t
cc
t
u
u
div 0
t t t
i u ku k u
Возьмем дивергенцию (среда однородна):
,
.
Ротор выражения в скобках равен нулю, тогда выражение в скобках
есть константа. Без деформаций
, откуда следует, что эта
константа также равна нулю.
Полученное уравнение описывает продольный звук:
Величина
,
называется продольной скоростью звука.
.
Для плоской монохроматической волны с волновым вектором k:
– волна продольная.
Возьмем ротор от выражения (*):
,
,
Уравнение соответствует поперечной волне:
– волна поперечная.
31
Продольная скорость звука всегда больше поперечной:
lt
cc
0
ik k
pn
0
zz
p
nx
xx
p
yx
p
zx
p
zz
p
2
2
2
2
( ) ( )
.
z
zz zz
zz zz z
u
S l S p z l p z
t
p u u
S l S lE S lE
z z z
x
z
a
l
n
.
Продольные колебания стержня
Скорость звуковой волны в ограниченном твердом теле может
оказаться иной, нежели в неограниченном. Покажем это на примере
продольной звуковой волы в тонком длинном стержне. Будем
считать, что поперечный размер стержня много меньше длины
волны.
На стержень с боков не действуют внешние силы, поэтому
на границе, и только
На границе стержня в точках, где
.
, компоненты
тензора напряжений обращаются в ноль. Но поскольку стержень
тонкий, то внутри него эти компоненты не успевают вырасти до
большой величины и их всюду можно считать малыми. Аналогичными рассуждениями можно заключить, что внутри стержня малы все
компоненты тензора напряжений, за исключением
образом, деформацию тонкого стержня при прохождении по нему
продольной волны можно считать простой.
В случае простой деформации уравнение движения короткого
участка стержня легко преобразовать к виду
где — плотность стержня, S и l — сечение и длина рассматриваемого кусочка. Откуда получается волновое уравнение:
32
,
. Таким
,
22
22
zz
uu
E
tz
.
E
l
c
L
d dz
L
d dz
4
2
ad
M
dz
( ) ( )
dM
M M z z M z z
dz
d
IM
dt
4
2
I a z
2
42
4
2
2
2
2
d
ad
a z z
dt
dz
2
2
2
2
0
d
d
dt
dz
Скорость звука в стержне равна
, т.к. стержень свободен в поперечном направлении.
Волны кручения
Пусть z — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для
статического закручивания момент
сил на всем протяжении стержня
один и тот же и пропорционален
— полному углу вращения на
всю длину.
В данной задаче важна местная деформация кручения, которая
равна
в сечении цилиндра,
Момент сил, действующих на цилиндр:
. Заменим в формуле для момента силы, действующей
на
. Эта скорость всегда меньше
:
.
Уравнение движения цилиндра:
Здесь момент инерции цилиндра:
.
.
.
,
.
33
Это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны
c
0,87 1,12
1
t
cc
кручения распространяются по стержню со скоростью
.
Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем медленнее
движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит быстрее. Скорость
ее не зависит от диаметра стержня. Волны кручения представляют
частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это
такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой
части материала. В волнах кручения мы сталкиваемся с особым
распределением напряжений сдвига — они распределены по кругу.
Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут
распространяться с одной и той же скоростью, которая определяется
полученной формулой.
Волны Рэлея
Существует еще один вид упругих волн, которые распространяются вдоль поверхности и называются волнами Рэлея. Поверхностная
волна проникает на глубину порядка длины волны.
Фазовая скорость таких волн
направлена параллельно поверхности. Частицы среды в волне совершают эллиптическое движение в
плоскости, в которой лежат вектор
скорости и нормали к поверхности.
Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности
по экспоненциальному закону и энергия волны сосредоточена в
области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.
Примером таких волн являются сейсмические волны. Скорость
такой волны можно найти по формуле
.
34
Контрольные вопросы к Главе 2.
1. Как выражается тензор деформации через вектор смещения
точек среды?
2. Как представить произвольную деформацию в виде сдвига и
изменения объема?
3. Что такое тензор напряжений?
4. Как в наиболее общем виде выражается связь между тензорами
деформаций и напряжений?
5. Сколько параметров характеризуют упругие свойства изотропной
среды? Какие это параметры?
6. Что называется простой деформацией?
7. Как изгиб консольной балки зависит от ее длины?
8. В чем проявляется неустойчивость продольно изогнутой балки?
9. Как зависит момент скручиваемого стержня от его радиуса?
10. Какие два типа решений существуют для звука в твердом теле?
Чем они отличаются?
11. С какой скоростью распространяется звук в тонком стержне?
12. Частным случаем каких волн являются волны кручения?
13. Волнами какого типа являются сейсмические волны?
35
14
rot
c t c
E
Hj
1
rot
ct
H
E
div 0H
div 4E
div 0t
j
4
D E P
4
B H M
DE
BH
jE
Глава 3. Электродинамика и оптика
В данной главе рассматриваются электромагнитные явления в
сплошных средах, в частности, оптика анизотропных сред и кристаллов. Для изучения указанных явлений необходимо решать уравнения
Максвелла, которые определяют, какими будут поля при заданном
распределении зарядов и токов, т. е. как среда влияет на поле.
3.1. Уравнения Максвелла для сплошной среды
В вакууме уравнения Максвелла имеют вид
,
,
Вторую пару уравнений можно получить как следствие первой пары
и уравнения непрерывности
В среде наличие поляризации среды и намагниченности
изменяет электрические и магнитные поля:
,
Здесь P– поляризация среды, M– намагниченность среды. В слабых
полях поляризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей, поэтому и индукции магнитного, электрического
полей и ток также линейно зависят от напряженностей полей:
,
36
,
.
.
,
.
.
С учетом этого уравнения Максвелла в среде приобретают вид
14
rot
c t c
D
Hj
div 4D
1
rot
ct
B
E
div 0B
11
88
w
ED BH
4
c
S E H
()jE
( , ) ( , ) ( , , , )j t E t t t d dt
r r r r r
0
tt
0
()c t t
rr
( , , )tt
rr
( , , )tt
rr
,
,
Плотность энергии характеризует способность электромагнит-
ного поля запасать энергию. Объемная плотность энергии
.
Способность электромагнитного поля переносить энергию характеризуется векторной величиной — плотностью потока энергии.
Плотность потока энергии
.
Материальные уравнения
Уравнения Максвелла определяют, какими будут поля при заданном распределении зарядов и токов, т. е. как среда влияет на
поле. Чтобы замкнуть систему уравнений, надо также указать, как
поле влияет на среду, т. е. задать материальное уравнение. В качест-
ве материального уравнения может выступать зависимость
Линейную связь для тока в общем виде можно записать следующим
образом:
,
.
.
Функция проводимости обладает рядом универсальных свойств:
при
при
: будущее не влияет на прошлое,
возмущение распространяется,
медленнее скорости света,
среда однородна,
среда стационарна.
37
.
Аналогичные связи существуют для
()DE
()BH
( , ) ( , ) ( , , , )D t E t t t d dt
r r r r r
( , ) ( , ) ( , , , )B t H t t t d dt
r r r r r
2
1
( , ) ( , )exp( )
(2 )
E t E i i t d d
r k kr k
2
1
( , ) ( , )exp( )
(2 )
E E t i i t d dt
k r kr r
( , )t
r, ( , )qk
( ) ( ) ( )D E d
2
2
2
1
( ) exp( ) ( ) ( )
(2 )
1
exp( )exp( ) ( ) ( )
(2 )
1
exp( ) ( ) ( )exp( )
(2 )
( ) ( ).
D q iq d E d
iq iq E d d
iq d E iq d
q E q
( ) exp( ) ( ) ,
( , ) ( , )exp( ) ,
q iq d
i i d d
k ρ kρ ρ
ρ r r
tt
,
:
,
.
Фурье-представление
Запишем прямое и обратное преобразование Фурье для электрических полей:
,
.
Введем для сокращения записи векторы
найдем фурье-образ от материального уравнения:
,
где
. Отсюда получаем
Здесь ввели фурье-представление оператора диэлектрической проницаемости как
где
напряженности электрического поля особенно проста:
,
и связь между фурье-образами индукции и
38
и
( , ) ( , ) ( , )DE
k k k
.
,
.
D E H
B E H
1
rot
ct
D
H
1
rot
ct
B
E
( , ) exp( )t i i t
E r E kr
i k
i
t
c
k H D
c
k E B
1
Аналогично соотношения можно получить для других материальных
уравнений.
Существуют так называемые бианизотропные среды, в которых
электрическое поле влияет на магнитное и обратно. Для таких сред
материальные соотношения в наиболее общем виде в линейном
случае можно представить следующим образом:
3.2. Уравнения Максвелла в фурье-представлении
Стандартный способ определения волновых свойств среды по
заданному тензору диэлектрической проницаемости состоит в
следующем. Электрические и магнитные поля разлагаются на гармоники (плоские монохроматические волны), исследуется каждая
гармоника по отдельности и находится, какие из гармоник могут
существовать в среде сами по себе. Математически разложение на
гармоники осуществляется преобразованием Фурье. Запишем
первую пару уравнений Максвелла для среды без зарядов и токов:
,
Для плоской электромагнитной волны
ствие операторов сводится к умножению на коэффициент:
,
С учетом этих преобразований уравнения Максвелла в фурьепредставлении принимают вид:
,
В немагнитной среде
другое, получим векторное уравнение
, поэтому, подставив одно уравнение в
39
.
.
.
дей-
2
2
2
( ) ( )
c
k k E k kE Ek D
которое можно переписать для компонент
2
2
2
0k k E k E E
c
E
2
0
( ) 0k k k k k E
2
0
2
k
c
0LE
2
2
2
L k k k
c
L
det 0L
()
k
()
n
k
()Ek
22
0
22
0
2
0
( ) 0 0
0 ( ) 0 0
0 0 ( )
x
y
z
k k E
k k E
kE
,
.
Вынося
за скобки, получим:
, где
.
Это уравнение можно переписать как систему линейных по электрическому полю уравнений
, где
.
Решение однородной системы линейных уравнений существует,
когда определитель матрицы
равен нулю:
.
Последнее уравнение связывает между собой параметры волны
( и k) и называется дисперсионным уравнением. Его решения
(вообще говоря, комплексные) определяют волны, которые в
данной среде могут распространяться. Таких решений, а значит, и
типов волн может быть несколько. Зависимости
называются
дисперсионными соотношениями. Соответствующие им ненулевые
решения
системы уравнений определяют поляризацию волн,
т. е. ориентацию вектора E по отношению к волновому вектору k и
выделенным направлениям среды.
Рассмотрим простейший случай изотропного диэлектрика. Пусть
волновой вектор k направлен вдоль оси z. Тогда система уравнений
для электрического поля представится в виде
,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]