Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
решение которой дает значение волнового числа, не зависящее от
22
0
()kk
0
z
E
( , ) ( , )D t A E t
rr
( , ) ( ) ( )t t A t t
r r r r
( , ) ( ) ( )exp( )A i i d d A
k ρ kρ ρ
()
()
k
12
eu
12
eu
направления электрического поля
,
.
Среда без дисперсии
Рассмотрим среду, в которой реакция на поле локальна в пространстве и во времени, т. е. индукция электрического поля зависит
только от его напряженности в той же точке пространства в тот же
момент времени. Поэтому материальная зависимость выражается как
,
а диэлектрическая проницаемость
,
откуда ее фурье-образ
есть константа и не зависит от частоты и волнового вектора.
Если отклик среды зависит от состояния поля в предыдущие
моменты времени, тогда среда обладает временной дисперсией, а
диэлектрическая проницаемость является функцией частоты
.
Если отклик среды зависит от состояния поля в соседних точках
пространства времени, тогда среда обладает пространственной
дисперсией, а диэлектрическая проницаемость является функцией
волнового вектора
.
3.3. Классификация анизотропных сред
По симметрии тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости все среды можно разделить на несколько классов:
- изотропная
- анизотропная
,
- гиротропная
,
,
,
,
41
,
- одноосная
12
uu
12
uu
1 2 3
u u v v
1 2 3
u u v v
*
*
0
0
00
ig
ig
(0,0, )kk
2 2 2
00
2 2 2
00
2
0
0
00
00
x
y
z
k k igk E
igk k k E
kE
22
0
()k k g
0
1
2
g
kk
,
,
- двухосная
,
.
Здесь u и v определяют направление оптических осей среды.
- непоглощающая
- взаимная
,
,
,
.
Оптически активная среда
Существуют среды, которые обладают так называемой оптической активностью, т. е. способностью вращать плоскость поляризации
электромагнитной волны. Рассмотрим это явление подробнее. Пусть
диэлектрическая проницаемость среды имеет вид
.
Пусть волна распространяется вдоль оси z
. Тогда
.
Решение этой системы дает следующие значения волнового числа:
,
которые приближенно могут быть записаны как
.
Фазовая скорость волн с правой и левой поляризацией различна.
Волны, соответствующие полученным значениям волновых чисел,
имеют круговую поляризацию
42
xy
E iE
,
0
z
E
zL
0
2
2
k gL
kk
L
u u u u
00
00
00
zu
( , )xzk, (0,0,1)u
( ,0, )kk
k
2 2 2
k k k
.
Если линейно поляризованная волна входит в плоскопараллельный
слой оптически активной среды, в такой среде поперечные волны
могут распространяться только с круговой поляризацией. Поэтому на
входе в среду линейно поляризованный свет разлагается на право- и
левополяризованные составляющие, и дальше эти составляющие
движутся независимо друг от друга. На выходе из среды (
набег фаз у право- и левополяризованной волн будет различным.
Поэтому после сложения этих волн получится линейно поляризованный свет с плоскостью поляризации, повернутой на угол
.
Одноосные кристаллы
Одноосными кристаллами в электродинамике сплошных сред
называют среды, в которых есть только одно выделенное направление. Это направление (u) называют оптической осью. Общий вид
тензора диэлектрической проницаемости одноосного кристалла
имеет вид
)
,
.
Найдем, какие волны могут распространяться в одноосном кристалле
без зеркальной изомерии. Выберем оси так:
,
тогда, обозначив
, имеем
43
,
,
22
0
22
0
22
0
0
0 0 0
0
x
y
z
k k k k E
k k E
k k k k E
.
2
2
0
k
k
0
y
E
( , )E k u
( , )ku
2
2
2
0
k
k
k
( , )E k u
2
2
2
2
k
k
c
2
, , ,0, ,0,
g
x y z
k
k
c
k k k k k
v
0
E
0
E
о
н
u
Могут быть найдены два типа решения. Волну со следующим дисперсионным соотношением и поляризацией называют обыкновенной
волной:
,
,
.
На распространение такой волны наличие оптической оси никак не
сказывается. Волну, электрическое поле которой лежит в плоскости
, называют необыкновенной волной:
,
.
.
Групповая скорость необыкновенной
волны не параллельна k
.
3.4. Электро- и магнито-оптические эффекты
Эффект Керра
В однородном внешнем электрическом поле (
) истинно изотропная среда приобретает свойства одноосного кристалла. Это
явление называется эффектом Керра. Действительно, поле
в среде выделенное направление, т. е. оптическую ось. Диэлектриче-
44
задает
ская проницаемость среды с полем при разложении по полю прини-
0 0 0
EE
a b c
0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0
()
a E E bE E cE E
aE b c E E
00
A BE E
0 0 0 0
22
00
E E E E
EE
2
0
2
0
,,
.
A B E
BE
0
B
0 0 0 0 0
22
0 0 0
B B B B B
ige
B B B
мает вид (в отсутствие линейных членов разложения)
.
Тензор нелинейной восприимчивости изотропной среды в общем
виде представим как сумму трех слагаемых
.
Подставляя его в выражение для диэлектрической проницаемости
получим
,
,
.
Таким образом, изотропная среда превращается в одноосную среду.
Магнито-оптические эффекты
Рассмотрим изотропную среду, помещенную во внешнее одно-
родное магнитное поле
. Внешнее поле задает выделенное
направление, поэтому тензор диэлектрической проницаемости среды
принимает вид
Если волна распространяется параллельно внешнему полю, то задача
похожа на задачу о естественной оптической активности. Следовательно, электромагнитные волны имеют в среде круговую поляризацию с несколько различными фазовыми скоростями, что и приводит к
вращению плоскости поляризации линейно поляризованного света.
45
.
Этот эффект (вращение плоскости поляризации при наложении
0
kB
B0
(а)
(б)
продольного магнитного поля) называется эффектом Фарадея.
Направление фарадеевского вращения зависит от знака произведения
, поэтому при прохождении среды «туда и обратно» углы
поворота складываются (см. рис.). Иная ситуация будет в случае
естественной оптической активности. Поскольку направление вращения плоскости поляризации не зависит от направления распространения волны, то после прохождения среды «туда и обратно» поляризация света вернется в прежнее состояние.
Рис. Поворот плоскости поляризации во взаимной среде (а) и в
невзаимной среде (во внешнем магнитном поле) (б). В кружках
показана ориентация электрического поля волны
46
Контрольные вопросы к Главе 3.
1. Запишите уравнения Максвелла для среды с зарядами и токами.
2. Какую связь задают материальные соотношения в электродина-
мике? Какими свойствами эта связь обладает?
3. Как записываются материальные соотношения в фурье-представ-
лении?
4. Запишите уравнения Максвелла для плоских монохроматических
волн.
5. Каким образом находится связь волнового вектора k и частоты
в анизотропной среде?
6. Какие типы сред можно выделить по симметрии тензоров
диэлектрической и магнитной проницаемостей?
7. Как поляризованы собственные волны в оптически активной
среде?
8. Что происходит при распространении плоско-поляризованной
волны через оптически активную среду?
9. Как распространяется свет в одноосном кристалле?
10. Чем отличаются обыкновенная и необыкновенная волны?
11. Какой вид имеет тензор диэлектрической проницаемости в
нелинейной электрооптической среде?
12. В чем отличие вращения плоскости поляризации в случае оптиче-
ской активности и магнитооптических эффектов.
47
V
S
dV d
t
vS
div 0
t
v
()v
tx
v
g
tx
g
Глава 4. Гидродинамика
Гидродинамика — это наука о движении жидкостей и газов.
Законы движения этих двух сред оказываются одинаковыми, поэтому
далее мы будем говорить о жидкостях, имея в виду также и газы. В
гидродинамике жидкость всегда рассматривается как сплошная
среда. Это значит, что, даже говоря о бесконечно малом элементе
объема, мы подразумеваем объем с большим числом частиц.
Состояние жидкости полностью характеризуется ее плотностью
, скоростью v и давлением p как функциями координат (r) и
времени (t).
4.1. Уравнения идеальной гидродинамики
Движение жидкости подчиняется закону сохранения массы:
.
Здесь слева стоит изменение массы объема, а справа — масса
вещества, пришедшего в объем. Отсюда прямо следует уравнение
непрерывности:
или
.
Аналогично можно записать выражение для изменения компоненты
импульса:
.
Здесь
щая на единицу объема жидкости, а
– это объемная сила (например, сила тяжести), действую-
– тензор плотности потока
48
импульса, равный потоку
S
v
v
v
dS
dt
dFdt
dF dS
0
p
0
p
0
2p
v v p
площадку, перпендикулярную направлению
-компоненты импульса через единичную
.
Импульс в жидкости может переноситься двумя способами.
Во-первых, он течет вместе с жидкостью. За единицу времени через
единичную площадку
проходит объем жидкости
(см. рис.).
Эта жидкость несет с собой импульс
. Во-вторых, передача
импульса происходит за счет действия внутренних сил. Предположим, что на некий объем жидкости через площадку
со стороны
других частей жидкости действует сила dF (рис. слева). За время
этот объем приобретет импульс
импульса через единицу площади, равный
, чему соответствует поток
.
На микроскопическом уровне появление «силовой» составляющей импульса можно проиллюстрировать так. Частица с импульсом
отражается от
границы рассматриваемого объема, меняет свой импульс на
и отдает импульс
объему.
В идеальной жидкости между отдельными ее
частями могут действовать только силы давления,
поэтому тензор плотности потока импульса принимает вид
.
Последнее слагаемое здесь означает, что на любую единичную
площадку в жидкости действует сила, равная p и направленная по
нормали к площадке.
49
В неидеальной жидкости:
v v p
v v p
v
g
t x x
( ) .
v
vv
v v v
t t x x
p
vg
tx
v
()
d
dt t t t
r
v
r
d
p
dt
vg
1
() p
t
v
v v g
,
– вязкий тензор напряжений.
Жидкость начинает двигаться при приложении напряжений
сдвига.
Рассмотрим идеальную жидкость и подставим тензор плотности
потока импульса в уравнение непрерывности:
,
Комбинацию производных в круглых скобках традиционно называют
полной или субстанциональной производной и обозначают
.
Если обычная производная определяет изменение величины в
фиксированной точке пространства, то полная производная определяет изменение величины в точке, движущейся вместе с жидкостью.
Уравнение Эйлера
Полученное соотношение, называющееся уравнением Эйлера,
можно переписать в виде
,
Его физический смысл следующий: произведение массы объема
жидкости на его ускорение равно действующей на объем силе.
50
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]