Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории вероятностей и прикладной математики

Демин Д.Б., Синева И.С., Скородумова Е.А.

Учебно-методическое пособие

по курсу

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Часть I

для студентов-заочников 2 курса

(направления: 09.03.02, 11.03.02, 15.03.04)

3 семестр

Москва 2016

План УМД на 2016/17 уч.г.

Учебно-методическое пособие

по курсу

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Часть I

Составители: Д.Б.Демин, к.ф.-м.н., доцент И.С.Синева, к.ф.-м.н., доцент Е.А.Скородумова, к.ф.-м.н., доцент

Предлагаемое издание включает в себя разделы теории вероятностей

общего курса «Теории вероятностей и математической статистики», изучае-

мого в третьем семестре. Разделы математической статистики содержатся во

второй части пособия. В первой части приведены рабочая программа, список литературы, примерная тематика обзорных лекций и упражнений, требования к тому, что должен знать и уметь студент в результате изучения дисци-

плины ТВ и МС, и задания контрольной работы № 1.

Издание утверждено на заседании кафедры. Протокол № 10 от

15.10.2015 г.

Рецензент М.С.Лохвицкий, к.т.н., доцент

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебно-методическое пособие представляет собой первую

часть курса ТВ и МС, изучаемого студентами заочной формы обучения в

третьем семестре. Эта часть содержит рабочую программу, список литерату-

ры, примерную тематику обзорных лекций и упражнений, требования к тому,

что должен знать и уметь студент в результате изучения дисциплины ТВ и МС, и задания контрольной работы № 1.

Настоящее пособие не заменяет учебников, а содержит разъяснения о

порядке изучения программного материала; в нём кратко освещены отдель-

ные вопросы, которые могут встретить затруднения, приведены решения не-

которых типовых задач и вопросы для самопроверки. Изучать курс следует по литературе, рекомендованной в настоящих указаниях.

Общие указания о порядке изучения дисциплин высшей математики и

выполнения контрольных работ содержатся в учебно-методических пособи-

ях, рассылавшихся ранее. Прежде чем приступить к изучению нового про-

граммного материала, следует внимательно прочесть ещё раз эти общие ука-

зания.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1. Вероятностное пространство. Свойства вероятности. Условные вероят-

ности

Случайные события. Алгебра событий. Вероятностное пространство. Свой-

ства вероятности. Условные вероятности. Полная группа событий. Формулы

полной вероятности и Байеса. Независимые однородные испытания. Схема

Бернулли. Мультиномиальная схема.

2. Одномерные случайные величины

Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей, их

свойства. Классификация случайных величин: дискретные, непрерывные,

смешанные.

3. Многомерные случайные величины

 



 



 



Совместное распределение случайных величин. Независимость случайных

величин. Необходимые и достаточные условия независимости двух дискрет-

ных/непрерывных случайных величин. Условные распределения случайных

величин.

4. Функции от случайных величин

Функции от одной и двух случайных величин, их распределения. Композиция законов распределения. Независимость функций от случайных величин.

5. Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин и их свойства: квантили, мо-

менты одной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия,

среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса),

двух случайных величин (ковариация и коэффициент корреляции). Центр

рассеяния и матрицы ковариаций/корреляций многомерной случайной вели-

чины.

6. Нормальное распределение и предельные теоремы теории вероятно-

стей

Нормальное (гауссовское) распределение, расчет вероятностей. Виды сходи-

мости случайных величин: по распределению, по вероятности, в среднем

квадратическом, почти наверное. Предельные теоремы теории вероятностей:

закон больших чисел, центральная предельная теорема для независимых

одинаково распределенных случайных величин. Предельные теоремы Муав-

ра – Лапласа. Предельная теорема Пуассона.

7. Основные вероятностные распределения

Дискретные распределения: вырожденное, биномиальное, геометрическое,

гипергеометрическое, Пуассона. Непрерывные распределения: равномерное,

показательное. Основные распределения, используемые в математической

статистике:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные при-

ложения: Учебное пособие для втузов. – М.: КноРус, 2016. – 495 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятно-

стей: Учебное пособие для втузов. – М.: КноРус, 2016. – 366 с.

3. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч. 4. Теория ве-

роятностей и математическая статистика / Под ред. А.В.Ефимова, В.С.Поспелова: Учебное пособие для втузов. - М.: Физматлит, 2004. – 432 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математиче-

ской статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2015. – 288 с.

(и последующие издания).

5. Энатская Н.Ю., Хакимуллин Е.Р. Теория вероятностей и математическая

статистика для инженерно-технических направлений. Учебник и практикум. – М.: Юрайт, 2015. – 399 с.

Дополнительная

1. Синева И.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 и 2.

Конспект лекций / МТУСИ. – М., 2005.

2. Синева И.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 и 2.

Сборник задач с примерами решений / МТУСИ. – М., 2005.

3. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач

по высшей математике. 2 курс / Под ред. С.Н. Федина – М.: Айрис-пресс,

2014. – 592 с. (и последующие издания).

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упраж-

нениях: Учебное пособие. – М.: Форум, 2008. – 480 с.

ЛЕКЦИЯ

Описание случайных величин: функция распределения вероятностей, ряд распределения, плотность распределения вероятностей, числовые харак-

теристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое

отклонение, ковариация, коэффициент корреляции). (2 ч.)

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вероятности случайных событий, формулы сложения и умножения.

Формула полной вероятности, формула Байеса. Схема Бернулли. (2 ч.)

2. Расчет описательных характеристик случайных величин. Свойства

функции и плотности распределения вероятностей, числовых характери-

стик случайных величин. (2 ч.)

3. Распределения Гаусса, Пуассона, равномерное, экспоненциальное. Пре-

дельные теоремы (закон больших чисел, центральная предельная теоре-

ма, предельные теоремы в схеме Бернулли). (2 ч.)

Процесс изучения дисциплины ТВ и МС направлен на формирование

элементов соответствующих компетенций в соответствии с ФГОС ВО по

обозначенным направлениям.

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать:

 принципы вероятностного описания явлений природы, техники и обще-

ства;

 основные законы распределения вероятностей и их характеристики,

предельные теоремы теории вероятностей, условия их применимости;

 принципы статистического анализа данных различной природы.

уметь:

 использовать вероятностные методы в технических приложениях;  строить вероятностные модели для конкретных информационно-

коммуникационных процессов;

 проводить расчеты в рамках построенных вероятностно-статистических

моделей;

 планировать эксперимент с учетом ограничений используемых впослед-

ствии статистических методов обработки.

владеть навыками:

 использования профессиональной вероятностно-статистической терми-

нологии для описания случайных явлений и методов их анализа;

 применения аппарата теории вероятностей и математической статистики

к конкретным данным;

 иметь опыт аналитического и численного решения вероятностных и ста-

тистических задач.

Номер варианта для выполнения контрольной работы определяется

следующим образом:

1. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют

число меньше 50, то это число и является номером варианта.

2. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют

число больше или равное 50, то для получения номера варианта из

этого числа нужно вычесть 50 (например, если номер студенческого

билета ЗБИН068, то номер варианта будет 68-50 = 18).

1. Случайные события и их вероятности

02p p .

2 3 5

01p p p .

 

P A p

15k

12 n

B A A ... A   

     

 

12 n

P B P A P A ... P A   

1 2 3 n

B A A A ... A    

k … 1

…

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

3 4 5

1 2 3 4 5

Пример 1. Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем

выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных

с вероятностями

. При выходе из строя блока

соединение в этом месте нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каждой из схем.

а б

Решение. Пусть событие

сматриваемый промежуток времени. Тогда

состоит в отказе элемента с номером k за рас-

. Событие

соответствует обрыву соединения за то же время. Для решения задачи ис-

пользуем следующие факты:

1. Для соединения на рис. 1 обрыв соответствует тому, что будут оборва-

ны все ветви, поэтому

отдельных элементов (см. условие), для вероятностей имеем

2. Для соединения на рис. 2 обрыв означает либо отказ узла 1, либо обрыв

всех параллельных ветвей

элементов – события совместные независимые, поэтому

. В силу независимости отказов

. Отказы отдельных

   

1 2 3 1 2 3

P B P A P A A ... A P A A A ... A

P A P A P A ... P A P A P A P A ... P A

          

         

12 n

B A A ... A   

 

       

 

     

 

k i k i j k

P B P A P A P A P A P A P A

... P A P A ... P A ,

  

      

     

  

12 k

B A A ... A   

 

       

 

121k i i

P B P A P A ... P A P A P A        

 

1 1 1

P B P B P A     

 

1 2 3 4 5

B A A A A A    

 

 

1 2 3 4 5

B A A A A A    





 

2 3 2 3 2 3

0 1 0 1 0 1 0 1 0 19P A A P A P A P A P A . . . . .        

 

2 3 4 2 3 4

0 19 0 2 0 038P A A A P A A P A . . .      

 

1 2 3 4

0 2 0 038 0 2 0 038 0 2304P A A A A . . . . .       

 

   

 

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

0 2304 0 1 0 2304 0 1 0 30736

P B P A A A A P A P A A A A P A

. . . . . .

          

    

1 2 3 4 5

B A A A A A    

1 2 3

C A A A  

B C A A  

     

 

1 2 3

0 002P C P A P A P A .

3. Для соединения на рис. 3 обрыв происходит, если откажет хотя бы

один элемент, поэтому

вероятности события

поэтому удобнее найти вероятности, используя противоположные

события. Так как

ственно,

непосредственных вычислений. Перейдем к решению задачи.

в этом случае весьма громоздок:

. Непосредственный подсчет

, получаем

и, соответ-

, что значительно проще

а)

следовательность решения:

Значит, обрыв цепи на рис. а происходит с вероятностью 0.30736.

б) В этом случае

событие, состоящее в отказе блока параллельно соединенных элементов, то-

гда

, расстановка скобок далее показывает по-

. Получаем:

, обозначим как

. Непосредственный

подсчет дает:

     

 

     

 

   

 

4 5 4 5

0 28144

P B P C P A P A P C P A P C P A

P A P A P C P A P A . .

     

  

   

 

   

4 5 4 5

0 998 0 8 0 9 0 71856P B P C A A P C P A P A . . . .       

 

1 0 28144P B P B .  

A 

 

07P A .

 

08P A .

 

09P A .

1 2 3 1 2 3 1 2 3

B A A A A A A A A A        

)()()()(

321321321

AAAPAAAPAAAPBP 

 

   

321321

APAPAPAAAP 

   

     

 

     

 

321321321

APAPAPAPAPAPAPAPAPBP 

Другой способ состоит в переходе к противоположным событиям:

, тогда для

вероятности обрыва соединения получаем

совпадает с полученным ранее результатом. Второй вариант расчета предпо-

чтительнее, особенно при большом числе элементов, соединенных последо-

вательно. Пример 2. Обнаружение цели производится тремя радиолокационными

станциями с вероятностями 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно. Найти вероятность

того, что цель будет обнаружена: а) только одной станцией; б) хотя бы одной

станцией. Решение. Введем события

гда по условию

ружена только одной станцией}, C = {цель обнаружена хотя бы одной стан-

цией}. Наступление события В означает, что реализовался один и только

{i-я станция цель обнаружила}, i = 1, 2, 3. То-

. Пусть В = {цель обна-

, что

один из следующих сценариев: 1) цель обнаружена первой станцией, но не

обнаружена ни второй, ни третьей; 2) цель обнаружена второй станцией, но

не обнаружена ни первой, ни третьей; 3) цель обнаружена третьей станцией,

но не обнаружена ни первой, ни второй. На языке алгебры событий это озна-

чает, что

(обратите внимание, насколько эта запись короче словесного описания!),

причем отдельные слагаемые несовместны. Поэтому

Поскольку обнаружение цели отдельными локаторами производится незави-

симо,

изведение две другие вероятности. Окончательно получаем:

. Аналогично можно разложить в про-

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]