Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I-1
.pdf
Для вычисления оставшегося интеграла воспользуемся снова заменой пере-
tx
dx dt
2
2
2
2
2
00
x
t
e dx e dt
2
2
0
t
e dt
2
2M
22
22
0
2 2 2 3 2 2 3
22
00
0
xx
M x p x dx x dx x e dx x e dx
2
ux
2du xdx
2
2
2
x
dv x e
22
22
2
22
xx
v x e dx e
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
00
0
22
2
0
22
22
x x x
x
M x e e xdx x e dx
e
2
2
2 2 2
2 2 2
2
D M M
D
2
22
22
менной:
Значение
ожидание равно
. Тогда
. Таким образом
известно и равно
.
.
. Окончательно, математическое
Для определения дисперсии найдём значение второго начального момента
случайной величины
:
.
Для вычисления последнего интеграла снова воспользуемся методом инте-
грирования по частям. Теперь в качестве функции u выберем
. Далее,
и
. Таким образом,
и, значит,
Определим теперь дисперсию:
.
Обратите внимание, что полученная величина дисперсии строго больше ну-
ля. Это свойство верно для всех случайных величин, за исключением вырож-
денной.
Среднеквадратическое отклонение случайной величины связано с дисперси-
ей следующим соотношением:
Таким образом:
.
21
.
Для вычисления медианы
12
x
p
x
p
x
p
F x p
12
x
2
2
2
1 1 2
x
e
2
2
2
12
x
e
2
2
1
ln
22
x
22
2 ln2x
12
2ln2x
32P
3,2
P F F
2
2
2
2
2
3 2 2 3 1 0 1P F F e e
P p x dx
2
2
2 0 2
22
2
3 3 0
3 2 0 1
x
P p x dx dx x e dx e
Рис. 6
x
Fx
1
Рис. 5
x
px
воспользуемся определением квантили
уровня p случайной величины
уравнения:
. В нашем случае для нахождения
решить уравнение
или
, а, значит,
Вычислим теперь вероятность
величины в интервал
ведливо
, согласно которому
является решением
необходимо
, что равносильно
. Откуда:
.
попадания значения случайной
. Для непрерывных случайных величин спра-
. Таким образом:
.
Эту же вероятность можно вычислить, воспользовавшись свойством плотно-
сти распределения
. Тогда:
.
Графики плотности и функции распределения представлены на рис. 5 и 6.
22
Пример 9. Даны две независимые случайные величины и
13N,
05Exp .
25
32D
55
25
22
xx
F x P x P x P F
5 2 2p x p x
2
1
1
exp
23
23
x
px
2
2
5
1
7
1 1 1
2
exp exp
2 3 2 24
2 3 2 6
x
x
px
2covD D D ,
2
D c c D
cov 0,
3D
4D
3 2 3 2 2cov 3 2 9 4 12cov
9 4 9 3 4 4 43
D D D , D D ,
D D .
. Известно, что
случайная величина
на
– по закону
личины
Решение. Найдем функцию распределения случайной величины :
Дифференцируя, получаем для плотности распределения
чайной величины
распределена по закону
. Найдите плотность распределения случайной ве-
и дисперсию
, после подстановки плотности распределения слу-
, а случайная величи-
.
.
это дает
Для нахождения дисперсии воспользуемся двумя свойствами:
и
ных величин
(см. пример 8). В нашем случае, как это следует из таблицы 2, должно получиться
Предельные теоремы в теории вероятностей играют роль «мостика» от
стохастического описания явлений к их более детерминированному поведе-
и
3. Предельные теоремы теории вероятностей
, поэтому имеем:
, дисперсии можно найти непосредственно
. Для независимых случай-
.
нию при многократном повторении или когда они наблюдаются в большом
количестве. Основу составляют закон больших чисел (ЗБЧ) и центральная
предельная теорема (ЦПТ).
23
Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева).
12 n
, ,..., ,...
0c
cDn
1n
0
n
11
11
0
nn
kk
kk
PM
nn
12 n
, ,..., ,...
n
1
xR
2
1
2
1
2
n
x
y
k
k
na
P x e dy
n
k
aM
2
0
k
D
01N,
2
2
1
2
x
y
x e dy
кое
Пусть случайные величины
, что
при любом
. Тогда для любого
независимы и существует та-
при
.
Суть ЗБЧ состоит в том, что при некоторых весьма общих условиях
совместное действие случайных факторов приводит к результату, почти не
зависящему от случая. На этом фундаментальном факте построен весь стати-
стический анализ данных.
Другая группа теорем теории вероятностей, устанавливающая связь
между законами распределения суммы случайных величин и его предельной
формой – нормальным законом распределения – называется центральной
предельной теоремой (ЦПТ). Различные формы ЦПТ отличаются между со-
бой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных ве-
личин. В наиболее простом случае независимых и одинаково распределён-
ных слагаемых ЦПТ может быть сформулирована следующим образом.
Теорема (Центральная предельная теорема в форме Леви).
Если случайные величины
пределены и имеют конечную дисперсию, то при
независимы, одинаково рас-
равномерно по
,
где
,
.
Замечание: Функция, выступающая в качестве предельной в ЦПТ – это
функция распределения стандартного нормального закона
.
24
Её значения приведены в многочисленных таблицах, как в печатных, так и в
05.
xp
0 975p.
n
n
np
P x x
npq
m
1
1
n
m np
P m m
npq npq
2
2
1
2
x
xe
01N,
n
m
n
| m | c n
0c
1 m np
Pm
npq npq
p
электронных табличных процессорах. Например, для нахождения
MS Excel надо вести в ячейку функцию НОРМРАСП(0.5,0,1, истина) и полу-
чить значение примерно 0.6914. Часто возникает обратная задача нахождения
квантили, т.е. решения уравнения
помощью соответствующей функции. Например, при
ку НОРМОБР(0.975,0,1), получаем значение примерно 1.96.
В частном случае схемы из
успеха в одном испытании для общего числа успехов имеем при
.
Этот результат носит название интегральной предельной теоремы МуавраЛапласа. Вероятность отдельного значения
испытаний Бернулли с вероятностью p
. В MS Excel это можно сделать с
вводя в ячей-
описывается локальной
в
предельной теоремой Муавра-Лапласа:
где
закона
трансформируется в приближённое равенство:
Замечание. При малых значениях
и
при некотором
– плотность распределения стандартного нормального
– поправочный член, удовлетворяющий условию
. В расчётах последняя формула обычно
.
в схеме Бернулли лучшее качество
,
аппроксимации даёт следующая теорема о вероятностях редких событий.
25
Теорема (Теорема Пуассона).
0p p n
n
0np n
0 1 2m , , ,...
n
m
P m e
m!
npq
n
9npq
5
10n
6
5 10p
05npq .
05np .
2 3 2 3
3
0
3 1 0 9982
2 6 2 6
m
P P m e e e e e . .
Если в схеме Бернулли
при
и
, то для лю-
бого
при
.
Замечание. При расчетах всегда n и p конечны, поэтому выбор при-
ближения в схеме Бернулли (нормальное по ЦПТ или пуассоновское по тео-
реме редких событий) осуществляется на основе подсчета
больших
и
лучшее приближение дает распределение Пуассона, в
. Так, при
противном случае следует воспользоваться ЦПТ (см. [5], § 3.3).
Пример 10. По каналу связи передаётся сообщение, состоящее из
двоичных символов. Вероятность искажения каждого символа равна
. Какова вероятность того, что в сообщении будет искажено не бо-
лее трёх символов?
Решение.Так как
, применим теорему Пуассона при
Пример 11. Пусть информационная система принимает пакеты данных от
нескольких узлов. Известно, что число пакетов, посылаемых каждым узлом,
распределено по закону Пуассона со средним значением 10 пакетов за 1 мкс.
Система состоит из 30 независимо работающих узлов. Пусть вероятность то-
го, что система неправильно примет какой-либо пакет данных, равна 10-8.
Считая применимыми предельные теоремы теории вероятностей, найти:
а) вероятность того, что за промежуток времени в 1 сек система неправильно
примет не более двух пакетов;
б) длину интервала, симметричного относительно математического ожида-
ния, на который с вероятностью 0.995 попадает случайное число пакетов, по-
ступающих за интервал времени в 45 сек;
в) вероятность того, что за 10 мкс в систему поступит не менее 2900 пакетов.
26
Решение.
8
10p
30 10 300
s
n
68
10 3 10
ss
nn
39
s
np
2
33
3 17
2 0 1 2 1 3 0 42319
22
P P P P e e .
!
ik
6
30 4510
11
ik
ik
ik
10
ik ik
MD
10
1 35 10M D .
2
N m ,
10
1 35 10m.
10 5
1 35 10 1 162 10..
l2
21P(| m| l ) l
2 1 0 995l.
0 975l.
x
1 96x.
5
1 96 2 2775 10l . .
5
2 4 555 10l.
а) Имеем испытания Бернулли, т.к. каждый пакет может быть принят верно
или с ошибкой, вероятность которой
пающих в систему за 1 мкс равно
. Среднее число пакетов, посту-
, тогда за 1 секунду
пакетов в сек. Среднее число неправильно принимаемых
пакетов за 1 сек
воспользоваться теоремой редких событий. Пусть случайная величина
, поэтому для расчета вероятности можно
–
число неправильно принимаемых пакетов за 1 сек. Тогда имеем
.
б) Пусть
ная величина
(правильно и неправильно) системой за время 45 сек. Так как
и распределены по закону Пуассона с параметром 10, то
– число пакетов, принимаемых от i-го узла за k-ю мкс, случай-
– общее число пакетов данных, принимаемых
независимы
. То-
гда
пользоваться ЦПТ, в соответствии с которой
ное распределение
. Количество слагаемых велико, поэтому можем вос-
имеет приближенно нормаль-
с параметрами
.
Известно, что вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины
на интервал длиной
, симметричный относительно математи-
ческого ожидания, рассчитывается по формуле:
По условию задачи эта вероятность равна 0.995, т.е.
Отсюда
чение ее аргумента:
Excel НОРМОБР(0.975,0,1)), следовательно,
. По таблицам значений функции
(ранее мы нашли это значение через запрос MS
находим зна-
, т.е. дли-
,
.
.
на интервала равна
.
27
в) Пусть
30 10
11
ik
ik
2
N m ,
3000m
3000 54 772.
2900 2900
2900 1 2900 1 1
1 1 8257
m m m
PPP
..
2900 1 0 03395 0 96605P . .
1
n
ii
i
c
i
c
i
1 in
– случайная величина, равная числу пакетов, посту-
пивших за 10 мкс; аналогично п. б), по ЦПТ она приближенно имеет распре-
деление
, где
,
. Тогда по ЦПТ имеем:
Запрос MS Excel дает НОРМРАСП(-1.8257,0,1,истина) = 0.03395, поэтому
.
Вопросы для самопроверки
1. Как проверяется адекватность модели? Приведите примеры выбора мо-
делей.
2. Каково соответствие схем выбора и размещений?
3. Выпишите формулу сложения вероятностей для трех произвольных со-
бытий.
4. Выпишите формулу умножения вероятностей для трех произвольных со-
бытий.
5. Приведите примеры точных и асимптотических связей распределений.
6. Как восстановить ряд распределения дискретной случайной величины по
ее функции распределения?
7. Как используются таблицы функции Лапласа для подсчета вероятностей
нормально распределенных случайных величин?
8. Как связаны распределение двумерной случайной величины и распреде-
ления ее отдельных компонент?
9. Приведите примеры явлений природы и технических процессов, в кото-
рых появляются случайные величины со следующими распределениями:
биномиальным, геометрическим, Пуассона, равномерным, экспоненци-
альным, Гаусса.
10. Какие данные нужны для нахождения математического ожидания и дис-
персии линейной комбинации случайных величин
известные постоянные,
– случайные величины,
11. Как связаны между собой ЗБЧ и ЦПТ?
12. Опишите применение ЦПТ для приближения биномиальной схемы.
13. В каком случае для приближенного расчета по формуле Бернулли при
большом числе испытаний следует использовать распределение Пуассо-
на, а в каком – распределение Гаусса?
14. В чем смысл «правила трех сигма»? Каково его практическое использо-
вание?
28
,
– некоторые
?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
i
p
14i
Вариант
Данные по вариантам
1
p
2
p
3
p
4
p
00
0.2
0.1
0.2
0.3
01
0.1
0.3
0.2
0.1
02
0.1
0.1
0.4
0.2
03
0.1
0.2
0.2
0.1
04
0.1
0.2
0.3
0.2
05
0.1
0.2
0.2
0.2
06
0.2
0.2
0.1
0.1
07
0.1
0.1
0.2
0.3
08
0.1
0.3
0.1
0.2
09
0.2
0.1
0.2
0.2
i
p
14i
1 2 3 4 1
2 3 4
Задача 1
ВАРИАНТ 0
Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из
строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятно-
стями
,
. При выходе из строя блока соединение в этом месте
нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каж-
дой из схем.
а б
ВАРИАНТ 1
Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из
строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятно-
стями
,
. При выходе из строя блока соединение в этом месте
нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каж-
дой из схем.
29
Вариант
Данные по вариантам
1
p
2
p
3
p
4
p
10
0.2
0.1
0.2
0.3
11
0.2
0.2
0.2
0.1
12
0.1
0.1
0.4
0.2
13
0.1
0.2
0.1
0.1
14
0.1
0.2
0.3
0.2
15
0.2
0.1
0.2
0.1
16
0.1
0.2
0.1
0.3
17
0.2
0.2
0.2
0.2
18
0.2
0.1
0.3
0.1
19
0.1
0.1
0.2
0.2
i
p
14i
Вариант
Данные по вариантам
1
p
2
p
3
p
4
p
20
0.1
0.1
0.2
0.3
21
0.1
0.2
0.3
0.1
22
0.1
0.1
0.3
0.2
23
0.2
0.2
0.2
0.1
24
0.1
0.3
0.2
0.2
25
0.2
0.1
0.2
0.1
26
0.1
0.2
0.1
0.2
27
0.3
0.1
0.2
0.1
28
0.1
0.2
0.1
0.3
29
0.2
0.2
0.1
0.2
1
2
3
4
1 3 2 4 1
2
3
4
1 2 3
4
а б
ВАРИАНТ 2
Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из
строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятностями
,
. При выходе из строя блока соединение в этом месте
нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каж-
дой из схем.
а б
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]