Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплообмен. Учебное пособие
.pdf
21
Граничные условия первого рода часто используют при прогнозировании
,
cc
c
xq
x
t
c
x
t
.
c
t
const
x
температурного поля в теле при теоретически обоснованных оптимальных распределениях температуры на его поверхности, которые и являются граничными
условиями.
Граничные условия второго рода, когда задается плотность теплового
потока для всей поверхности тела в функции времени.
В этом случае задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:
qс = f (xс, ус, zс, τ), (2.44)
где qс – плотность теплового потока на поверхности тела; xс, ус, zс, – координаты точек на поверхности тела (системы).
Для одномерной задачи это выражение выглядит просто:
, (2.45)
где – градиент температуры на поверхности тела, xс – координата точки
на поверхности тела.
Граничные условия второго рода описывают тепловой баланс на границе
тела: равенство тепловых потоков, приходящих к границе тела, и уходящих от
нее. Направление этих потоков определяется видом процесса: охлаждение тела
или его нагрев.
В простейшем случае плотность теплового потока на всей поверхности и
во времени остается постоянной qс = const:
жающей среды tж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой (закон Ньютона - Рихмана):
Граничные условия третьего рода, когда задаются температура окру-
qс =α(τ)(t
– tж) , (2.46)
c
22
где tc – температура поверхности тела; α – коэффициент пропорциональности,
c ж
t
tt
n
.
(2.47)
c ж
c
t
tt
n
,
(2.48)
12
12
,
cc
tt
xx
c
x
t
1
c
x
t
2
называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2 К).
Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при
разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один
градус.
Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела (или отводимой от нее) путем теплопроводности. Для одномерного процесса теплопроводности этот баланс выглядит как
Переписав последнее уравнение в виде
можно получить формулировку граничных условий третьего рода.
Граничные условия четвертого рода описывают условия теплообмена
при идеальном контакте одного тела с другим. При этом предполагается, что
температуры поверхности обоих тел в точках контакта одинаковы.
В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков,
проходящих через поверхность соприкосновения:
(2.49)
где λ1, λ2 – коэффициенты теплопроводности первого и второго тела соответ-
ственно, – градиенты температуры первого и второго тела на
поверхности их соприкосновения в точках контакта соответственно.
В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности
совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на
23
основании закона Фурье и соответствующие тепловые потоки в различных об-
Рис. 2.6. Изменение температурного поля
в плоской неограниченной стенке
ластях системы (тела).
Аналитическое решение поставленной задачи возможно только для тел
правильной геометрической формы и при достаточно простых условиях однозначности. В остальных случаях эта задача решается численными или экспериментальными методами.
2.4. Нестационарная теплопроводность
Процессы теплопроводности, при которых температурное поле меняется
с течением времени, называются нестационарными. Нестационарные процессы
теплопроводности происходят при нагревании или охлаждении тел и сопровождаются изменением энтальпии тела. Для их решения используют дифференциальное уравнение теплопроводности.
Рассмотрим процесс теплопере-
дачи через стенку (рис. 2.6). На этом ририсунке нестационарному процессу
предшествует стационарный режим,
при котором температура горячей среды составляет tж1 , холодной tж2, , температуры на поверхности стенки tc1 и tc2.
При резком повышении температуры
горячей среды процесс превращается в
нестационарный. Температурная кривая
будет изменяться до наступления нового стационарного режима, характеризуемого новой температурной кривой, реперные точки которой обозначены температурами со штрихом.
Решение задачи нестационарной теплопроводности заключается в определении зависимости изменения температуры и количества теплоты во времени
для любой точки тела. Эти зависимости могут быть найдены аналитическим
24
путем в результате решения дифференциального уравнения теплопроводности
2
2
tt
a
x
.
(2.50)
00x
t
x
.
(2.51)
c ж
x
t
tt
x
.
(2.52)
Рис. 2.7. Распределение температуры
по толщине охлаждаемой пластины
совместно с краевыми условиями.
В качестве примера рассмотрим задачу об охлаждении однородной плоской стенки (пластины) толщиной 2δ.
Размеры пластины в направлении осей 0у и 0z бесконечно велики. Пластина охлаждается с обеих сторон жидкостью с температурой tж, причем коэффициенты теплоотдачи α имеют одинаковое и постоянное значение.
В начальный момент времени (τ = 0) температура в пластине распределена равномерно и равна t0. Заданные физические параметры пластины λ, с и ρ
позволяют определить коэффициент температуропроводности а.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого
случая одномерного температурного поля:
При заданных условиях охлаждения
температурная кривая является симметричной и имеет точку перегиба на оси пластины. Это позволяет исследовать процесс нестационарной теплопроводности только в
области половины толщины пластины, то
есть при изменении х от 0 до δ (рис. 2.7.).
Граничные условия на оси пластины:
Граничные условия, например, третьего рода на поверхности пластины:
Поскольку в уравнение теплопроводности и граничные условия входят
лишь разности температур, можно заменить температуру тела так называемой
избыточной температурой ϑ = t – tж .
25
Таким образом, система уравнений, описывающих процесс теплопровод-
2
2
a
х
;
(2.53)
0
0;
xx
xx
.
(2.54)
2
1
2sinμ
θ= cos μ exp μ Fo ,
μ sinμ cosμ
n
nn
n
n n n
X
(2.55)
0
θ= /
жж
t t t t
μ
n
ctgμ μ / Bi
nn
2
0
τ
f , ,
xa
,
(2.56)
0
0
/
жж
t t t t
x
2
Fo
a
Bi
ности пластины при нестационарном режиме, будет выглядеть следующими
образом:
- дифференциальное уравнение теплопроводности
- начальные условия при τ = 0: ϑ0 = t0 - tж ;
- граничные условия (в центре пластины и на ее поверхности соответ-
ственно):
Решение этой системы уравнений обычно приводится в безразмерном виде:
где
ческого уравнения
– безразмерная температура;
.
– корни характеристи-
Выражение (2.55), описывающее температурное поле при охлаждении
однородной пластины, может быть представлено в виде функции, связывающей
некие безразмерные величины:
где
ная координата;
– безразмерная температура тела;
– критерий Фурье;
– критерий Био.
= Х – безразмер-
Критерий Фурье является безразмерным временем. Критерий Био характеризует отношение внутреннего термического сопротивления теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи.
26
Термически тонкие тела имеют
ц
θ Fo
Рис. 2.8. Распределение температуры
по толщине охлаждаемой пластины:
а – Bi→∞; б – Bi→0
Рис. 2.9. Графики для определения переменной по времени
относительной температуры иц (F0) в середине (по толщине) пластины
а
б
Bi < 0,1. Термически массивные тела
имеют Bi > 100. Значение Bi влияет на
характер распределения температуры
в рассматриваемом теле. На рис. 2.8 показано, например, распределение температуры по толщине пластины при ее
охлаждении при существенно различных значениях критерия Био.
Решения в виде зависимости между безразмерными величинами обычно
представлены графиками или таблицами для определения безразмерной температуры на поверхности стенки ϑ
(рис. 2.9).
или в ее средней плоскости ϑ
x=δ/ϑ0
x=0/ϑ0
Рис. 2.9. Графики для определения переменной по времени относительной
температуры
в середине (по толщине) пластины
27
Задаваясь значением времени τ и вычислив соответствующие значения Fo
1
50 мм
2
110 мм
3
45 мм
1
Вт
10
мК
2
Вт
5
мК
3
Вт
4
мК
3 3 3
3
12
1 2 3
1 2 3
2
50 10 110 10 45 10
10 5 3
мК
0,005 0,022 0,015 0,042 .
Вт
R R R R
/q t R
1 2 1 2 1 1
80 1000 0,005 75
c c c c
t t q R t t q R C
1 3 1 2 3 1 1 2
80 1000 0,005 0,022 53 ;
c c c c
t t q R R t t q R R C
1 4 1 2 3 4 1 1 2 3
80 1000 0,042 38 .
c c c c
t t q R R R t t q R R R C
4c
t
3 4 3 4 3 3
53 1000 0,015 38
c c c c
t t q R t t q R C
и Bi с помощью графиков или таблиц, можно определить безразмерные темпе-
ратуры при х = δ и х = 0, а по ним избыточные температуры ϑ
x=δ
и ϑ
x=0
и про-
сто температуры, соответствующие этим координатам.
2.5. Задачи
Пример 1. Плоская стенка состоит из 3-х слоев
. Теплопроводности слоев соответственно
,
,
. Определить температуры на холодной поверхности стенки и на
границе слоев, если плотность теплового потока, проходящего через стенку,
равна 1000 Вт/м2, а температура на горячей поверхности стенки 80 °С.
Решение: Определяем полное термическое сопротивление многослойной
плоской стенки:
,
,
Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационар-
ном режиме одинакова. Для вычисления разности температур на внешних поверхностях стенки воспользуемся выражением:
(см. рис. 2.3), под-
ставляя в выражение соответствующие неизвестной разности температур термические сопротивления:
;
Для проверки правильности решения температуру
ношения:
определим из соот-
. Следова-
тельно, температуры найдены верно.
28
Пример 2. Стальной трубопровод с внутренним диаметром 150 мм и
1
Вт
2
мК
2
Вт
0,06
мК
1
1
1 1 160 Вт
ln ln 0,016
2 2 2 150 мК
н
вн
d
R
d
2
2
1 1 160 2 60 Вт
ln ln 4,66
2 2 0,06 160 мК
н
н
d
R
d
12
3,14 150 50
67,15 Вт/м
4,6761
вн н
l
tt
q
RR
1
1
/ 150 67,15 0,016/ 3,14 149,6 Вт/м.
вн гр
l гр вн l
tt
q t t q R
R
наружным – 160 мм покрыт одним слоем изоляции толщиной 60 мм. Температура внутренней поверхности трубы 150 °С, наружной поверхности изоляции
50 °С. Коэффициент теплопроводности материала трубы
цент теплопроводности изоляции
. Определить потери теплоты
, коэффи-
через изоляцию с 1 м трубопровода и температуру на границе соприкосновения
слоёв.
Решение: Определяем термическое сопротивление слоев многослойной
цилиндрической стенки:
;
.
Линейная плотность теплового потока
.
Температура на границе слоев:
Задача 1. Определить термическое сопротивление теплопроводности и
толщину плоской стенки, если при разности температур ее поверхностей 75°С
через нее проходит стационарный поток плотностью 3 кВт/м2. Теплопроводность стенки 2 Вт/(м.К).
Задача 2. Определить перепад температур на поверхностях стенки тол-
щиной 50 мм при прохождении через нее теплового потока плотностью 500
Вт/м2. Коэффициент теплопроводности 45 Вт/(м.К).
Задача 3. Слой льда на поверхности воды имеет толщину 250 мм, темпе-
ратуры на нижней и верхней поверхностях соответственно 0 °С и -15 °С. Опре-
29
делить тепловой поток через 1 м2 поверхности льда, если его коэффициент теп-
1
=100 мм
2
=80 мм
3
=50 мм
1
Вт
3
мК
2
Вт
8
мК
3
Вт
10
мК
1
120 °CT
2
45 °CT
1
2
3
1
Вт
55
мК
2
Вт
0,037
мК
3
Вт
0,14
мК
1
Вт
0,03
мК
2
Вт
0,06
мК
лопроводности 2,25 Вт/(м.К). Как изменится тепловой поток, если лед покроется слоем снега толщиной 155 мм с коэффициентом теплопроводности
0,465 Вт/(м.К) и температура поверхности снега будет равна -20 °С.
Задача 4. Плоская стенка состоит из 3-х слоев толщиной
,
ственно
верхностях стенки
. Коэффициенты теплопроводности этих слоев соответ-
,
,
и
. Температуры на внешних по-
. Определить плотность теплового
потока, проходящего через стенку.
Задача 5. Определить плотность теплового потока через поверхность па-
ропровода с внутренним диаметром 140 мм и толщиной стенки
лированного двумя слоями тепловой изоляции
30 мм и
40 мм. Коэффи-
5мм, изо-
циенты теплопроводности материала трубы и изоляции соответственно
,
,
. Температура на внутренней по-
верхности паропровода T1 =300 °С, температура наружной поверхности изоля-
,
ции T2 =55 °С.
Задача 6. Определить температуру на границах слоев изоляции трубы с
наружным диаметром 245 мм. Толщина первого слоя изоляции 80 мм, второго
слоя изоляции – 50 мм. Коэффициенты теплопроводности слоев изоляции соот-
ветственно
,
. Температура на поверхности трубы
250 °С, на наружной поверхности изоляции 65 °С.
30
3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
c
t
ж
t
c ж
Q F t t
.
(3.1)
c ж
q t t
.
(3.2)
2
Вт/(м К)
3.1. Основной закон конвективного теплообмена
Процесс теплообмена между поверхностью твердого тела и жидкостью
или газом называется теплоотдачей, а поверхность тела, через которую переносится теплота – поверхностью теплообмена, или теплоотдающей поверхностью.
Согласно закону Ньютона-Рихмана тепловой поток в процессе теплоотдачи пропорционален площади поверхности теплообмена F и разности темпе-
ратур поверхности
и жидкости
:
Соответственно, плотность теплового потока при теплоотдаче определя-
ют по формуле
Коэффициент пропорциональности α характеризует интенсивность про-
цесса, называется коэффициентом теплоотдачи и измеряется в
Численное значение его равно тепловому потоку от единичной поверхности
теплообмена при разности температур поверхности и жидкости в один градус.
В расчетах обычно используют понятие среднего по поверхности коэффициента теплоотдачи или задают функцию его распределения по поверхности теплообмена.
.
- физических свойств омывающей поверхность жидкости (плотности,
вязкости, теплоемкости, теплопроводности);
- формы и размеров поверхности;
- природы возникновения движения среды;
- скорости движения.
ной среды (жидкость, газ): свободное и вынужденное.
Коэффициент теплоотдачи α зависит от следующих факторов:
По природе возникновения различают два вида движения жидкоподвиж-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]