Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теплообмен. Учебное пособие
.pdf
11
стых материалов увеличивается с температурой, а также с увеличением влаж-
grad Q F t
.
(2.12)
2
t
d
n
d Q Fd
.
(2.13)
1c
t
2c
t
grad .
dt
tdx
.
dt
q
dx
(2.15)
Рис. 2.2. Стационарное распределение
температуры по толщине стенки
ности материала.
По закону Фурье тепловой поток Q пропорционален градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярной направлению теплового потока:
А количество теплоты Q
2
, проходящее через изотермическую поверх-
ность F за время , можно вычислить по формуле
Таким образом, используя уравнение Фурье, можно определить плот-
ность теплового потока, тепловой поток через заданную площадь теплообмена
и количество теплоты, переданное через эту площадь за определенное время .
2.2. Теплопроводность при стационарном режиме
2.2.1. Однородная плоская стенка
Рассмотрим плоскую однородную
стенку толщиной , на поверхностях кото-
рой поддерживаются температуры
и
(рис. 2.2). Температура изменяется только по
толщине пластины по одной координате х.
Задача является одномерной, следовательно:
(2.14)
И дифференциальное уравнение стацио-
нарной теплопроводности для плоской стенки:
12
В стационарных условиях, когда температурное поле стенки не изменяет-
12
0,5
cc
t t t
12cc
q t t
.
(2.17)
12cc
Q t t F
.
(2.18)
ся во времени, то есть когда отсутствуют нагрев или охлаждение пластины,
плотность теплового потока q также является неизменной по толщине стенки.
Часто можно принять значение коэффициента теплопроводности величиной
постоянной, например, соответствующей средней температуре стенки
. (2.16)
Проинтегрировав уравнение (2.15) и используя заданные граничные
условия, можно получить зависимость для расчета плотности теплового потока
через плоскую стенку в виде:
Тогда общее количество теплоты, которое передается через стенку площадью F за время , определяется по формуле
Отношение λ/δ называют тепловой проводимостью стенки, а
ную ей величину Rλ = δ/λ – термическим сопротивлением теплопроводно-
сти.
Как сказано выше, поскольку величина λ зависит от температуры, то в
приведенных выше уравнениях необходимо использовать значение коэффициента теплопроводности λс, соответствующее средней температуре стенки.
2.2.2. Многослойная плоская стенка
Многослойная плоская стенка состоит из нескольких плотно прилегающих друг к другу слоев разнородных материалов (рис. 2.3). При этом полагают,
что контакт между слоями совершенный и температуры на соприкасающихся
поверхностях двух смежных слоев одинаковы.
Распределение температур в пределах каждого слоя линейное. Плотность
теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном режиме одинакова, а коэффициент теплопроводности слоев различен. Следовательно, более
13
резко температура меняется в слоях с меньшей теплопроводностью. Так, в при-
12
1 2 2 3 ( 1)
12
; ; .
n
c c c c cn c n
n
q t t q t t q t t
(2.19)
1 ( 1) 1 ( 1)
12
12
1
...
c c n c c n
n
n
i
n
i
i
t t t t
q
.
(2.20)
1
n
i
i
i
( 1) 1
1
k
i
c k c
i
i
t t q
.
(2.21)
Рис. 2.3. Распределение температуры по
толщине многослойной плоской стенки
мере на рис. 2.3 наименьшей теплопроводностью обладает материал второго
слоя, а наибольшей – третьего.
При стационарном режиме количество подведенной и отведенной от стенки теплоты должно быть одинаково. Отсюда вытекает равенство тепловых потоков, проходящих через каждый слой
стенки:
Отсюда плотность теплового потока (i - номер слоя)
В этом выражении
является полным термическим сопротивлени-
ем теплопроводности многослойной стенки.
Распределение температур по сечению многослойной стенки представля-
ется ломаной линией. Температуры на границе соприкосновения слоев можно
определять по уравнению
Значение теплового потока и количества теплоты через многослойную
стенку можно определить, используя формулы связи между плотностью теплового потока и полным тепловым потоком через поверхность стенки F, а также
время время , в течение которого передается тепло.
14
2.2.3. Цилиндрическая стенка
12
12
22
11
π
2π
1
ln ln
2
cc
cc
l t t
l
Q t t
rd
rd
.
(2.22)
Рис. 2.4. Изменение температуры по толщине
однослойной цилиндрической стенки
Рассмотрим стационарный
процесс теплопроводности через
однородную цилиндрическую
стенку (трубу) длиной l с внутренним радиусом r1 и наружным
r2. Коэффициент теплопроводности материала стенки λ – величина постоянная. На поверхности
стенки заданы постоянные
температуры tc1 и tc2.
В этом случае изотермные поверхности будут цилиндрическими, а тем-
пературное поле одномерным, т. е. t = f (r), где r – текущая координата по толщине стенки.
Уравнение распределения температур по толщине стенки и количество
передаваемой через нее теплоты можно получить путем интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности в рассматриваемой цилиндрической системе координат.
В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности
для этой стенки получено выражение для определения теплового потока через
нее в виде:
Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны,
различными оказываются и соответствующие плотности тепловых потоков. В
технических расчетах тепловой поток относят к единице длины цилиндрической стенки, т. е. рассматривают линейную плотность теплового потока:
15
12
2
1
π
1
ln
2
cc
tt
Q
q
d
l
d
.
(2.23)
Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической
12
11
2
11
1
ln ln
2π
ln
cc
cc
Q d t t d
t t t
d
l d d
d
.
(2.24)
1
1
1
1
π
1
ln
2
c
cn
l
n
i
i
i
tt
q
d
d
.
(2.25)
1
1
ln
2
i
i
d
d
1
1
1
ln
2
n
i
i
i
d
d
1
1
1
1
1
ln
π2
k
li
c
ck
i
i
qd
tt
d
.
(2.26)
стенки можно получить путем замены tc2 на t и d2 на d:
В случае многослойной цилиндрической стенки линейная плотность теплового потока ql будет одинаковой для каждого слоя. Воспользовавшись методом решения задачи теплопроводности через многослойную плоскую стенку,
по аналогии можно найти ql :
Величина
называется линейным термическим сопротивлени-
ем теплопроводности отдельного слоя.
Суммарное линейное термическое сопротивление теплопроводности ци-
линдрической стенки равно
.
Температура на границе слоев цилиндрической стенки:
Следовательно, распределение температуры по радиусу стенки подчиняется логарифмическому закону. У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.
При решении задач можно использовать и зависимость для расчета полного теплового потока через цилиндрическую стенку в виде:
16
1 2 1 2
2
1
1
ln
2π
c c c c
t t t t
Q
d
R
ld
.
(2.27)
В этом случае используют полное термическое сопротивление всей ци-
2
1
1
ln
2π
d
R
ld
.
(2.28)
1 ( 1) 1 ( 1)
( 1)
1
1
.
1
ln
2π
c c n c c n
n
n
i
i
i
i
ii
t t t t
Q
d
R
ld
(2.29)
линдрической стенки, определяемое как
Тепловой поток через многослойную цилиндрическую стенку в этом слу-
чае, учитывая полные термические сопротивления всех отдельных слоев, можно рассчитать по формуле
В зависимости от поставленной задачи расчета теплопроводности цилиндрической стенки используют те или иные формулы из перечисленных выше.
2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, необходимо рассмотреть протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего пространства
элементарном объеме в течение бесконечно малого промежутка времени.
При выводе уравнения можно принять, что тело однородно и изотропно,
его физические параметры λ (коэффициент теплопроводности), с (теплоемкость) и ρ (плотность) постоянны, а внутренние источники теплоты равномерно
распределены в этом теле.
Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения
различного рода в рассматриваемом теле: в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, при прохождении тока в электрических проводниках, тепловые
эффекты химических реакций и фазовых превращений. Внутренние источники
17
теплоты характеризуются объемной плотностью qv – количеством теплоты,
1
τ.
xx
dt
dQ q dydzd dydzd
dx
(2.31)
dt
dx
dx
dt
t dx
dx
2.x
y
dQ t dx dydzd
xx
(2.32)
2
12
2
.
x x x
t
dQ dQ dQ dxdydzd
x
(2.33)
вн m
dQ dQ dU
.
(2.30)
Рис. 2.5. Элементарный объем
тела
которое выделяется в единице объема в единицу времени.
Рассмотрим закон сохранения энергии для элементарного объема тела
dxdydz (рис. 2.5).
Вся теплота, выделенная внутренними
источниками dQвн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQm за
время dτ, идет на изменение внутренней энергии этого объема вещества:
Количество теплоты, которое проходит
путем теплопроводности внутрь выделенного
объема в направлении оси 0x через элементар-
ную площадку dydz за время dτ:
На противоположной грани параллелепипеда температура получит при-
ращение
и будет равна
.
Количество тепла, отведенного через эту грань:
Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем
теплопроводности в направлении оси 0x:
Аналогично
18
2
2
y
t
dQ dxdydzd
y
;
2
2
z
t
dQ dxdydzd
y
.
(2.34)
Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед пу-
2 2 2
2 2 2
m x y z
t t t
dQ dQ dQ dQ dxdydzd
x y z
.
(2.35)
d
вн
dQ q d d
.
(2.36)
d
t
d
τ
t
dU c d d
.
(2.37)
2 2 2
2 2 2
t t t t
cq
x y z
.
(2.38)
2 2 2
2
2 2 2
t t t
t
x y z
.
(2.39)
тем теплопроводности:
Здесь произведение dxdydz =
представляет собой объем элементарного
параллелепипеда. Количество теплоты, которое выделилось в нем за счет внутренних источников:
Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллеле-
пипеда ρ
, массовую теплоемкость с и приращение температуры
:
Подставляя выражения для dQm, dQвн и dU после соответствующих со-
кращений, можно получить:
Сумма вторых частных производных любой функции в математическом
анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:
Введем новую переменную – коэффициент температуропроводности
а = λ/ρс. Этот коэффициент является физическим параметром вещества. Он ха-
рактеризует скорость изменения температуры в процессах нестационарной теплопроводности. Если коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а является мерой теплоинерционных свойств тела.
19
Скорость изменения температуры в любой точке тела при нестационар-
2 2 2
2
2 2 2
,
t t t t q q
a a t
x y z c c
(2.40)
2 2 2
2 2 2
t t t t
a
x y z
.
(2.41)
1
.
q
t
div gradt
cc
ной теплопроводности будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности. Выравнивание температур во всех точках тела будет происходить быстрее в теле с большим коэффициентом температуропроводности.
Металлы обладают малой тепловой инерционностью вследствие больших
значений коэффициента температуропроводности. Жидкости и газы, обладающие малыми значениями коэффициентами а, характеризуются большой тепловой инерционностью.
Уравнение с использованием коэффициента температуропроводности
примет вид:
где а – коэффициент температуропроводности, м2/с; с – удельная массовая теплоемкость вещества, Дж/(кг К); ρ – его плотность, кг/м3; qv – объемная плотность равномерно распределенных источников тепла в системе, Вт/м3.
При отсутствии внутренних источников теплоты уравнение упростится:
Иногда дифференциальное уравнение теплопроводности используют и в
следующем виде:
(2.42)
Это уравнение описывает в самом общем виде все без исключения задачи
теплопроводности. Для выделения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей.
Эти дополнительные данные называются краевыми условиями или
условиями однозначности. Они являются совокупностью определенных зна-
чений параметров задачи, выделяя ее из множества задач теплопроводности.
20
Существуют следующие условия однозначности:
- геометрические - характеризующие форму и размеры тела, в котором
протекает процесс теплопроводности;
- физические - характеризующие физические свойства тела;
- временные (начальные) - характеризующие распределение температу-
ры тела в начальный момент времени;
- граничные - характеризующие взаимодействие тела с окружающей
средой.
Для решения объемных задач начальные условия задают в виде функции
t0 = φ(x, y, z, 0).
Для плоских задач это двухмерное начальное температурное поле:
t0 = φ(x, y, 0).
И для задач одномерной теплопроводности:
t0 = φ(x, 0).
Граничные условия бывают четырех видов.
Граничные условия первого рода, когда задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени протекания исследуемого процесса:
tc=f (xс, ус, zс, τ), (2.43)
где tc – температура на поверхности тела; хс, ус, zс – координаты точек на поверхности тела.
Для одномерной задачи это выражение выглядит так:
tc=f (xс , τ),
где xс является координатой точки на поверхности тела.
В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравне-
ние упрощается и принимает вид:
tc (xс) = const.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]