Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепломассообмен. Теплопроводность. Учебное пособие
.pdf
1nn
x
1i
A
FT
TT
T
ii
n – номер шага по времени; i – номер узла по координате.
где
2
T
и
22
xh
111
nnn
TTT
2
11
iii
,
В результате такой аппроксимации получим следующее уравнение:
1111
nn n nn
TT T TT
ii i ii
c
2
11
2
h
,
2... 1iN
. (55)
Выбранная схема аппроксимации частных производных графически представлена на рис. 24, из которого видно, что используется четырехточечная разностная схема: три точки берутся на новом временном слое и одна со старого временного слоя.
1n
n
0n
1i
Рис. 24. Схема неявной четырехточечной
разностной схемы
Сформулированный выше способ аппроксимации производных
называется неявным потому, что поле температуры на новом временном слое представлено неявно, т. е. для его определения необходимо
решать уравнение (55).
Уравнение (55) целесообразно свести к более общему виду:
111
nnn
A
где
;
i
h
B
i
2
TBTCTF
11
ii ii ii i
2
c
2
h
;
1i
C
;
i
i
iN
c
ii
2
h
61
, (56)
n
.
Предположим, что существуют такие наборы чисел
N
которых выполняется рекуррентное соотношение [5]
11
nn
TT
iiii
1
. (57)
и
i
, при
i
Уменьшим в (57) индекс
i на единицу и получим
11
nn
TT
11 1
iiii
. (58)
Тогда уравнение (56) с учетом (58) примет вид
11 1
nn n
AT BT C T C F
111
ii ii i i i i i i
откуда
11
nn
TT
ii
ACF
iiii
BC BC
iii iii
1
11
1
Выражения (57) и (59) будут тождественно равны при
A
i
i
BC
iii
и
1
Значения прогоночных коэффициентов
CF
1
ii i
i
BC
iii
i
и
находят из граничных условий.
Так как:
при
0x и 1i
температура
11
nn
TT T
11211
TT
и выражение (57) имеет вид
1w
,
w
то
1
0 и
T ;
11w
,
. (59)
. (60)
1
1n
, а также
i
T
N
при
x и iN
температура
12n
TT
TT
.
w
2w
, то
Таким образом, значения прогоночных коэффициентов можно
определить по (60), задаваясь значением номера узла по координате
iN.
( 2... 1)
62
Расчет значений температур следует вести по (57) при 1...2iN
N
N
.
Резюмируя изложенное выше, алгоритм расчета нестационарного
температурного поля в плоской пластине можно представить в виде
следующих этапов [5]:
1) задаем геометрические условия (
материала стенки (
, c и ), начальные
условия, число участков разбиения ()
ром проводится расчет температурного поля
), теплофизические свойства
()T
и граничные
0
T
T
,
1(w
2)w
и конечное время, при кото-
();
end
2) рассчитываем шаг сетки:
h
3) определяем расчетный шаг сетки по времени:
4) вводим начальное поле температур: при 1...
5) задаем промежуточную величину (time 0)
;
1
N
end
iN
;
0
,
TT
;
0i
, которая будет ха-
рактеризовать текущее время расчета;
6) проверяем условие
time . В случае его выполнения следует
end
перейти к пункту 13 данного алгоритма;
7) увеличим переменную времени на шаг
: time time
;
8) рассчитывам прогоночные коэффициенты в первом узле раз-
ностной сетки
9) рассчитываем
10) определяем температуру
11) рассчитываем температурное поле по (68) при 1...2iN
и
;
1
и
i
по (61);
i
T на правой границе пластины;
N
;
12) циклично возвращаемся к пункту 6;
13) получаем численное решение уравнения теплопроводности в
виде таблично заданного распределения температуры.
На рис. 25 приведен пример решения нестационарного уравнения
теплопроводности методом конечных разностей (по представленному
выше алгоритму) в системе MathCAD. Расчет выполнен при следующих параметрах:
значения температур на границах пластины:
100
t
2
w
ºС;
300
t
1
w
ºС;
63
Рис. 25. Применение системы MathCAD при решении нестационар-
ного уравнения теплопроводности методом конечных разностей
64
температура пластины в начальный момент
толщина пластины 100
свойства материала пластины:
46
Вт/(м К).
мм;
460c
Дж/(кг К); 7800
20t
ºС;
0
кг/м
3
Достоверность полученных данных можно оценить путем сравнения их с аналитическим уравнением для стационарного режима.
Распределение температуры в плоской пластине для различных
значений времени
и сравнение решений уравнения теплопровод-
end
ности методом конечных разностей при нестационарном режиме и
уравнения (50) показаны на рис. 26. Из графических данных следует,
что при увеличении времени теплообмена
()
поле температур при
end
нестационарном режиме стремится к стационарному. И в пределе при
эти поля температур совпадут.
по (50)
;
Рис. 26. Температурное поле в бесконечной
пластине
65
АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
x
x
x
x
x
ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ
ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
Математическая формулировка граничных условий второго рода
при рассмотрении нестационарного процесса теплопроводности (см.
рис. 23) имеет вид:
на левой границе 0; ;
xq
1
T
(61)
на правой границе ;.
xq
2
T
Для определения значений начальных прогоночных коэффициен-
и 1 в соотношении
тов
1
TT
и значения температуры NT
112 1
необходимо использовать граничные условия, записанные для левой и
правой границы пластины.
Проведем дискретизацию граничных условий второго рода с по-
2
()Oh
грешностью
. Предположим, что на границе выполняется урав-
нение теплопроводности:
TT
c
2
, или
2
TT
Разложим в ряд Тейлора функцию ()Tx в окрестности точки
2
. (62)
a
2
0x
до члена второго порядка относительно h :
n
ThT
11
nn
TTh
21
x
1
2
x
0
22
2
x
n
.
0
1
Таким образом,
11
nn
ThT
xha
00
xx
11
nn
TT
21
2
11 1
nn nn
TT TT q
21 1 1 1
ha
h
2
.
66
Тогда выражение для граничных условий на левой поверхности пла-
x
N
N
стины (61) можно представить в виде
11
nn
TT q
21 1
ha a
hh
1
nn
TT
11
22
,
отсюда
2
ah
nnn
11
TTT
121
22 2
22(2)
ha ha ha
2
2
ahq
1
.
Следовательно, выражения для начальных значений прогоночных
коэффициентов имеют вид [5]:
1
ha
22a
2
;
11
2
h
22
ha ha
T
2(2)
2
ahq
n
1
.
Из граничных условий (61), записанных для правой границы пластины:
1
n
111
nnn
ThT ThT
11 1
nn n
TTh Th
1
NN N
xxa
q
Th
2
22 2
22
1
n
xha
x
2
x
x
11 1
nn nn
TT TT
NNN
1
xx
,
2
следовательно,
11212
nnnn
22 20
aT aT hT hT ahq
NNNN
12
.
Так как
TT
,
11 1NNNN
то
2
22
aahqhT
1
n
T
N
12
2
2(1 )
ha
N
n
N
.
1
;
67
Аппроксимацию граничных условий третьего рода (при извест-
f
f
f
f
f
ных значениях температур сред
чи
и 2) можно выполнить по аналогии с граничными условиями
1
T ,
T и коэффициентах теплоотда-
1
2
второго рода.
Так как (см. рис. 23):
при 0x
при x
()
TT
11
x
T
x
f
()
TT
22
;
,
T
то
1
n
Th
xha
0
x
Следовательно, из
1
11 1
nn nn
TT TT
21 1 11 1
2
11
nn
TT
2
a
2
2( )
ha h
1121
;
1
имеем:
2
hT ah T
1
2
ha h
1
n
TT
11
n
2
111
2( )
.
.
1
Из граничных условий, записанных для правой границы, следует [5]:
2
n
hT a h T
n
1
T
N
2( )
NNf
2
2(1)
hah
122
21
N
.
68
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называют температурным полем, градиентом температуры?
2.
Дайте определение изотермической поверхности и изотермы.
3.
Дайте определение следующих физических величин: тепловой
поток, плотность теплового потока, коэффициент теплопроводности
и назовите единицы их измерения.
4.
Сформулируйте законы Фурье и Ньютона–Рихмана.
Перечислите допущения, необходимые для вывода дифферен-
5.
циального уравнения теплопроводности.
Какой закон положен в основу вывода дифференциального
6.
уравнения теплопроводности?
7.
Дайте определение объемной мощности внутренних источни-
ков теплоты, коэффициентов температуропроводности и теплоотдачи
и запишите единицы их измерения.
Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности.
8.
9.
Поясните, почему необходимо дополнять дифференциальные
уравнения краевыми условиями.
Перечислите состав краевых условий (условий однозначности).
10.
11.
Что определяют геометрические и физические условия?
Что задают и в каком случае отсутствуют начальные условия?
12.
13.
Перечислите виды граничных условий. Что они выражают с
точки зрения математической физики и при решении задач теплопроводности?
14.
Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности и
его решение для однородной тонкой плоской стенки с постоянным
коэффициентом теплопроводности.
69
15. Запишите выражение для плотности теплового потока в слу-
чае многослойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев.
16.
Дайте определение процесса теплопередачи.
Дайте определение коэффициента теплопередачи, термиче-
17.
ских сопротивлений теплопроводности, теплоотдачи, теплопередачи,
сопротивления контакта и запишите единицы их измерения.
Запишите выражение для определения теплового потока через
18.
многослойную плоскую стенку в процессе теплопередачи.
19.
Поясните сущность методики вычисления плотности теплово-
го потока для многослойной плоской стенки и для процесса теплопередачи.
20.
Запишите выражение для определения температуры в плоско-
сти соприкосновения произвольных слоев.
21.
Поясните сущность методики вычисления плотности теплово-
го потока для граничных условий второго и третьего рода.
22.
Запишите стационарное одномерное дифференциальное урав-
нение теплопроводности с внутренними источниками теплоты в декартовых координатах и его решение.
23.
Перечислите процессы, при протекании которых происходит
объемное выделение (поглощение) теплоты.
24.
Какому закону подчиняется распределение температуры в
плоской стенке при наличии внутренних источников теплоты в случае симметричных условий охлаждения?
25.
Что общего в выражениях для распределения температуры в
плоской стенке при наличии тепловыделения для симметричных
условий охлаждения и пластины с одной теплоизолированной поверхностью и в чем их различие?
26.
Можно ли для несимметричных условий охлаждения пласти-
ны рассчитать распределение температуры для правой половины пластины по формулам для левой половины пластины?
27.
Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности
без внутренних источников теплоты для цилиндрической стенки и
его решение.
28.
Схематически изобразите и запишите выражение распределе-
ния температуры в однородной и многослойной цилиндрических
стенках при заданных температурах поверхностей.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]