Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепломассообмен. Теплопроводность. Учебное пособие
.pdf
Теплота dQ, подведенная в результате теплопроводности к рас-
сматриваемому объему:
q
dQ dxdydzd
1
q
x
xyz
q
y
z
. (в)
Определим вторую составляющую уравнения (3). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в элементарном объеме среды в единицу времени и называемое мощностью внут-
ренних источников теплоты, через
q
, [Вт/м3], тогда
v
dQ q dvd
2 v
. (г)
Третья составляющая в уравнении (3) найдется в зависимости от
характера термодинамического процесса изменения системы. При рассмотрении
изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементар-
ному объему, равна изменению внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т. е.
Cc – изохорная теплоемкость, Дж/(м
где
vv
dU C d dv c d dv
изохорная теплоемкость, Дж/(кг
dQ = dU, где
TT
vv
К);
– плотность вещества. Подста-
, (д)
3
К);
c – удельная
v
вив полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (3), получим
q
cq
vv
T
q
x
q
y
z
xyz
, (4)
или
Выражения (4) и (4
ми энергии
рении
для изохорного процесса переноса теплоты. При рассмот-
изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет
cqq
vv
) являются дифференциальными уравнения-
div
. (4)
T
на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и
уравнение (3) запишется следующим образом:
dQ dQ dI
12
11
. (5)
Можно показать, что
x
x
TTi
С c – изобарная теплоемкость единицы объема, Дж/(м
где
с – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг К).
р
dI C d dv c d dv d dv
PP
PP
, (е)
3
К);
Если полученные выражения (в), (г) и (е) подставить в уравнение (5),
получим
q
i
q
x
q
y
z
xyz
q
, (6)
v
или
i
div
. (6)
qq
v
Соотношения (6) и (6) являются дифференциальными уравне-
ниями энергии
в самом общем виде для изобарного процесса перено-
са теплоты.
В твердых телах перенос теплоты происходит по закону Фурье
T
q
, значение разности
cc и равны c. Напомним, что проекции вектора плотности теплово-
Pv
го потока на координатные оси
c
c
и
P
мало и можно принять, что
v
Ох, Оу, Oz определяются выражениями:
q
x
T
q
;
y
T
;
q
y
z
T
.
z
Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности
теплового потока в уравнение (4) и опуская индекс при
TTTT
1
cx x y y z z c
с, получаем:
q
v
, (7)
или
1
T
div grad( )
cc
12
q
v
T
. (7)
Выражение (7), так же как и (7), называется дифференциальным
x
уравнением теплопроводности
. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке
тела, в котором происходит процесс теплопроводности.
Если принять теплофизические характеристики постоянными, то (7)
примет вид
222
T TTT
222
cc
xyz
q
v
. (8)
В уравнении (8) можно обозначить
222
TTT
222
xyz
222
2
222
2
T
,
c
yz
.
,
a
Последнее выражение – выражение оператора Лапласа в
вой
системе координат.
2
T
Выражение
где
r – радиус-вектор; φ – полярный угол; z – аппликата.
в цилиндрической системе координат имеет вид
222
11TT TT
2
T
rrz
2222
rr
,
декарто-
Тогда уравнение (8) запишется следующим образом:
T
Коэффициент пропорциональности
ентом температуропроводности
aT
и является физическим параметром
q
2
v
. (9)
c
2
а [м
/с] называется коэффици-
вещества. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности будет мерой теплоинерционных свойств тела.
13
Если система тел не содержит внутренних источников теплоты
(0)
q , тогда выражение (9) принимает форму уравнения Фурье:
v
T
aT
2
. (10)
Если
имеются внутренние источники теплоты, то дифференци-
альное уравнение теплопроводности при стационарном режиме превращается в уравнение Пуассона:
При
стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних
источников теплоты
222
TTT
222
xyz
выражение (8) принимает вид уравнения Лапласа:
222
TTT
222
xyz
q
v
0
0
. (12)
. (11)
УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено
на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений
теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое
описание, к дифференциальному
математическое описание
мого процесса [1, 2, 4, 6]. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое
описание конкретного процесса теплопроводности, называются
виями однозначности
или краевыми условиями. Условия однозначно-
сти включают в себя:
1) геометрические условия (характеризуют форму и размеры тела,
в которых протекает процесс);
уравнению необходимо присоединить
всех частных особенностей рассматривае-
усло-
14
2) физические условия (характеризуют физические свойства среды
и тела);
3) временные (начальные) условия (характеризуют распределение
температур в изучаемом теле в начальный момент времени);
4) граничные условия (характеризуют взаимодействие рассматри-
ваемого тела с окружающей средой).
Геометрические условия задают форму и линейные размеры тела,
в котором протекает процесс.
Физические условия задают физические параметры тела (λ, с,
и
др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников
теплоты.
Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационар-
ных процессов и состоят в задании закона распределения температуры
внутри тела в начальный момент. В общем случае начальное условие
аналитически может быть записано следующим образом (при τ = 0):
(, , )
Tfxyz
.
При равномерном распределении температуры в теле начальное
условие упрощается (при τ = 0):
constTT
.
0
Граничные условия (ГУ) могут быть заданы несколькими способами.
Граничные условия
первого рода. Задается распределение темпе-
ратуры на поверхности тела для каждого момента:
(, , , )
где
T – температура на поверхности тела; x, y, z – координаты по-
w
Tfxyz , (13)
w
верхности тела. В частном случае, когда температура на поверхности
постоянна на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (13) упрощается и принимает вид
const
Граничные условия
T
w
второго рода. Задаются значения теплового
.
потока для каждой точки поверхности тела и любого момента. Аналитически это можно представить следующим образом:
w
(, , , )
15
qfxyz ,
где
f
f
q – плотность теплового потока на поверхности тела. В простей-
w
шем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени
остается постоянной:
const
q
w
.
Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании
различных металлических изделий в высокотемпературных печах.
Граничные условия
окружающей среды
третьего рода. При этом задаются температура
T и закон теплообмена между поверхностью тела
и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в
процессе охлаждения и нагревания тела. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон
Ньютона–Рихмана: плотность теплового потока пропорциональна
разности температур поверхности тела
qTT
,
где
– коэффициент пропорциональности, называемый коэффициен-
том теплоотдачи
[Вт/(м2 К)], характеризует интенсивность тепло-
T и окружающей среды fT :
w
()
wf
обмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он
равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между
поверхностью тела и окружающей средой, равной одному кельвину.
По закону сохранения энергии количество теплоты, отводимое с
единицы поверхности вследствие теплоотдачи, должно
равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности вследствие
теплопроводности из внутренних объемов тела, тогда
T
()
TT
wf
n
w
или
T
()
n
w
TT
16
.
w
Граничные условия четвертого рода характеризуют теплообмен
x
x
системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности (идеальный контакт):
TT
12
12
nn
ww
.
Таким образом, дифференциальное уравнение совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности, которая может быть решена аналитически, численно, экспериментально.
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим стационарный процесс переноса теплоты через бесконечную плоскую стенку (рис. 2) [1, 2, 4–6].
Решим дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки при следующих условиях однозначности:
1) толщина стенки равна δ;
2) коэффициент теплопроводности стенки
не зависит от температуры и равен λ;
3) внутренние источники (стоки) теплоты
в стенке отсутствуют (0)
4) на обеих поверхностях плоской стенки
задано значение температуры (ГУ первого рода):
при
q
0;
v
TT
;
1
w
TT
при
2.w
При этом изотермические поверхности в
стенке будут представлять собой плоскости,
перпендикулярные оси
/0
Ty, /0Tz и /0T . С учетом
всех допущений уравнение теплопроводности
(7) приобретает вид
Ox. Таким образом,
Рис. 2. Стационарное
температурное поле
в плоской стенке
17
2
dT
2
dx
откуда после интегрирования следует:
0
,
dT
dx
.
c
1
окончательно получаем общее решение температурного поля в виде
Tcxc
,
12
из анализа которого следует, что в плоской стенке при стационарном
режиме теплопроводности температура изменяется линейно по ее
толщине (рис. 2).
Постоянные интегрирования находим, используя граничные условия путем решения системы из двух линейных уравнений,
Tcc
w
Tcc
w
Из первого уравнения следует, что
системы находим постоянную
TT TT
21 12
ww ww
c
1
0;
11 2
21 2
c :
1
.
cT , а из второго уравнения
21w
.
Подставляя значение постоянных интегрирования в общее решение, окончательно получаем:
tt
12
1
w
ww
, (14)
tt x
или
q
TT x
1w
,
откуда следует, что при прочих равных условиях температура в стенке
убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.
Зная температурное поле, несложно рассчитать плотность теплового потока в плоской стенке, воспользовавшись законом Фурье:
18
или
TT
qTx
dT d
dx dx
TT TT
12 12
ww ww
1
w
() ,
TT
12
ww
12
ww
()
qTT
12
ww
TT
12
ww
, (15)
где / – тепловая проводимость плоской стенки, Вт/(м
– термическое сопротивление теплопроводности плоской
/R
2
стенки, (м
К)/Вт.
2
К);
Из анализа формулы (15) для расчета плотности теплового потока
следует, что тепловой поток не изменяется по толщине плоской стенки:
()qfx , или
dq
0
в любой точке плоской стенки.
dx
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ
ПЛОСКОЙ СТЕНКИ
Рассмотрим теплопроводность многослойной стенки, состоящей из
n слоев (рис. 3). Примем, что контакт между слоями совершенный и
температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.
При заданных температурах внешних поверхностей такой стенки,
размерах слоев и соответственно коэффициентах теплопроводности
можно составить систему уравнений для плотности теплового потока
каждого из слоев, из которых выразим температурные
напоры:
TT q
1211
ww
TTq
2322
ww
...
TT q
wn w n n n
(1)
/,
19
/,
(16)
/.
T
T
w1
λ
1
λ
2
T
w2
T
T
w3
wn
λ
n
T
w(n+1)
0
δ
1
Рис. 3. Температурное поле в многослойной
δ
2
плоской стенке
δ
n
x
Сложив левые и правые части уравнений (16), получим
TT q
1(1) 1122
wwn nn
//.../
.
Отсюда плотность теплового потока:
Величина
TT TT
1 ( 1) 1 ( 1)
wwn wwn
12
12
i
, равная сумме тепловых сопротивлений всех n
i
...
n
n
i
q
n
1
i
n
1
.
i
i
слоев, называется полным тепловым или термическим сопротивлени-
ем теплопроводности многослойной стенки.
Температуры на границе соприкосновения двух соседних слоев:
TTq
2111
ww
TTq
3222
ww
...
TTq
(1)
wn wn n n
/,
/,
/.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]