Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепломассообмен. Теплопроводность. Учебное пособие
.pdf
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
x
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых
искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае
решаемые уравнения содержат частные производные и называются
дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходится прибегать к численным
дам [3, 5, 7–9].
При решении дифференциального уравнения в частных производных достаточно часто используется метод конечных разностей (МКР).
Идея решения краевых задач МКР состоит в следующем: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.
При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело
представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (
частные производные дифференциальных уравнений
конечными разностями, получают систему линейных
алгебраических уравнений для определения температуры (как локальной характеристики) в каждом узле
сетки. Полученная система является незамкнутой,
для ее замыкания используют разностное представление граничных условий. В результате получают
замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с по
мощью вычислительной техники. Численным называется решение, полученное в виде таблицы чисел.
Рассмотрим применение МКР для моделирования
процесса переноса теплоты через бесконечную плоскую пластину (рис. 18).
Методом конечных разностей решим дифференциальное уравнение
теплопроводности (12) для неограниченной плоской пластины при
следующих условиях:
1) толщина пластины равна
;
T
T
1w
-
Рис. 18. Расчет-
мето-
заменяя)
ная схема
T
2w
51
2) коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность ма-
x
x
x
териала пластины не зависят от температуры;
3) внутренние источники теплоты в пластине отсутствуют (0)
q
v
4) на обеих поверхностях пластины поддерживаются постоянными
значения температур (т. е. заданы граничные условия первого рода):
;
TT
01
,
TT
w
;
2
w
5) температурное поле стационарно.
При заданных условиях температура будет изменяться только в
направлении оси
, т. е.
Ty
Tz
0
и
0
.
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (12) примет
вид
2
Tx
или
0
2
2
Tx
. (45)
0
2
Граничные условия:
при
при x
0x
1wTT;
TT
.
2w
Дифференциальное уравнение теплопроводности в полной математической постановке решим методом конечных разностей на равномерной сетке. Для этого разобьем пластину по толщине на 1N
равных промежутков с шагом
h
, т. е. построим конечно-
1
N
разностную сетку (рис. 19). Воспользуемся неявной схемой записи
дискретных аналогов производных [3, 5, 7–9].
Заменим дифференциальные операторы в (45) на их конечноразностные аналоги:
TT
T
xh
52
1ii
,
следовательно,
x2xix
x
x
x
x
x
x
x
2
TTT
T
iii
22
xh
где i – номер узла по координате.
0
2
11
,
1
Рис. 19. Конечно-разностная схема:
,
, …,
x
2
3
,
1
– координаты внутренних узлов;
1N
– координаты граничных узлов
N
1N
В результате такой аппроксимации получим уравнение
2
TTT
11
iii
2
h
0
,
следовательно,
20
TTT
11
iii
, 2... 1iN. (46)
Введем рекуррентное соотношение
TT
, (47)
1iii i
где и – прогоночные коэффициенты.
Из (47) следует
TT
. (48)
11 1iiii
Подставим (47 и (48) в (46), получим
20,
TT T
iiiiiii
11 11
N
или
21 2
TT
ii
ii
1
11
53
iii
1
. (49)
Сравнивая (49) и рекуррентное соотношение (47), можно зак-
N
лючить:
21
i
i
, следовательно,
i
1
i
Начальные значения прогоночных коэффициентов
2
1
i
и
i
1
i
2
и
1
1
из граничных условий первого рода.
Так как:
при
0x и 1i
температура 1wTT и выражение (47) имеет
вид [5]
TT T
112 1 1w
,
то
1
.
i
1
найдем
при x и iN
0 и
1
температура
TT .
11w
TT
2
w
T ;
, то
2w
Листинг программы в среде MathCAD приведен на рис. 20. Графически распределение температуры в бесконечной плоской пластине
показано на рис. 21 условными значками.
Алгоритм расчета стационарного температурного поля в плоской
пластине можно представить в виде следующих этапов [5]:
1) задаем геометрические условия ( ), теплофизические свойства
материала стенки (
, c и ), граничные условия 1(wT , 2)
T , число
w
участков разбиения (N);
2) рассчитываем шаг сетки:
h
;
1
N
3) рассчитываем прогоночные коэффициенты в первом узле раз-
ностной сетки
4) прямой прогонкой рассчитываем значения
,
и температуру на правой границе пластины NT ;
1
и
i
i
при
2...( 1)iN;
5) обратной прогонкой рассчитываем температурное поле по (49)
при ( 1)...2iN ;
54
Рис. 20. Пример решения МКР дифференциального уравнения
теплопроводности при стационарном режиме в системе MathCAD
55
по (50)
Рис. 21. Стационарное температурное поле
в бесконечной пластине
6) получаем численное решение уравнения теплопроводности в ви-
де таблично заданного распределения температуры.
Достоверность решения стационарного уравнения теплопроводности для бесконечной плоской пластины можно оценить сравнением
полученных данных с аналитическим уравнением.
Интегрируя дважды уравнение (45), получаем
()Tx cx c .
12
Значения коэффициентов
Так как при 0x
c и 2c находим из граничных условий.
1
1wTT и при x 2wTT, то
TT
12
cT,
21w
c
1
ww
,
следовательно, аналитически распределение температуры в бесконечной плоской пластине имеет вид
TT
12
()
Tx x T
ww
56
. (50)
1
w
Сравнение решений уравнения теплопроводности (методом конеч-
x
x
x
р
ных разностей при стационарном режиме и уравнения (50)) показано
на рис. 21 сплошной линией, откуда следует, что данные, полученные
с помощью аналитической зависимости, точно описывают положения
точек (полученных МКР) при стационарном режиме теплообмена.
АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ
Математическая формулировка граничных условий второго рода
(согласно закону Фурье) при рассмотрении процесса теплопроводности в бесконечной пластине (рис. 22) будет иметь вид:
на левой границе
на правой границе
0; ;
xq
xq
1
;.
2
T
(51)
T
(52)
Анализ соотношений (51 и (52) позволяет сделать выводы:
при
во) на левой границе производится подвод теплоты,
следовательно, происходит нагрев материала;
при
во) на левой границе производится отвод теплоты,
следовательно, происходит охлаждение материала;
при
во) на правой границе производится подвод тепло-
ты, следовательно, происходит нагрев материала;
при
во) на правой границе происходит охлаждение ма-
териала [5].
0q (направление вектора слева напра-
1
0q (направление вектора справа нале-
1
0q (направление вектора справа нале-
2
0q (направление вектора слева напра-
2
57
T
q
1
Рис. 22. Задание
граничных усло-
вий вто
ого рода
q
2
Для определения значений начальных прогоночных коэффициен-
x
x
N
и 1 в соотношении
тов
1
TT
и значения температуры NT
112 1
необходимо использовать граничные условия, записанные для левой
(0)x и правой ()x
границы пластины.
Так как
TT
T
xh
21
00
,
x
то
TT q
21 1
h
0
x
.
Тогда
hq
TT
12
1
.
Следовательно,
hq
1 ;
1
1
1
.
Из граничных условий, записанных для правой границы пластины:
T
x
TT
TTh
1NN
q
T
2
xh
;
x
NN
1
,
следовательно,
hq
TT
NN
TT
11 1
1
,
NN N
58
2
.
то
f
f
x
N
f
f
N
x
f
2
f
T
N
(1 )
hq
12
N
N
1
.
Аппроксимацию граничных условий третьего рода (при извест-
T ,
ных значениях температур сред
чи
1
и
)
можно выполнить по аналогии с граничными условиями
2
T и коэффициентах теплоотда-
1
2
второго рода [5].
Так как (рис. 23):
при
при x
0x
T
()
TT
111
f
T
x
()
TT
22
;
,
f
T
T
1
1
T
то
T
xh
Следовательно, из
1
TT
21 1 1
0
x
TT
112 1
h
1
TT
11
hT
;
1
имеем
11
h
.
Рис. 23. Задание
.
1
граничных усло-
вий третьего рода
2
Из граничных условий, записанных для правой границы:
T
N
h
21
hT
122
(1 )
f
N
.
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
Рассмотрим применение МКР для моделирования нестационарного
процесса переноса теплоты через бесконечную плоскую пластину.
Расчетная схема задачи соответствует рис. 18.
59
Примем следующие допущения:
x
x
x
x
1) толщина пластины равна
;
2) коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность ма-
териала пластины не зависят от температуры;
3) внутренние источники теплоты в пластине отсутствуют (0)
q
v
4) на обеих поверхностях пластины поддерживаются постоянными
значения температур:
;
TT
01
5) температура пластины в начальный момент равна
,
TT
w
;
2xw
T .
0
Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая имеет вид
222
c
T TTT
222
yz
. (53)
При заданных условиях температура будет изменяться только в
направлении оси
, т. е.
Ty
Tz
0
и
0
.
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (52) примет
вид
TT
c
2
. (54)
2
Начальные и граничные условия:
при 0
0TT, 0 x;
при
1wTT,
0x
;
0
при x
TT
, 0 .
2w
Будем пользоваться неявной схемой аппроксимации дифференциального уравнения. Заменим дифференциальные операторы в (54) на
их конечно-разностные аналоги [5]:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]