Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Тепломассообмен. Теплопроводность. Учебное пособие
.pdf
Дифференциальное уравнение (17) и его решение (19) такие же, как
x
x
f
f
x
в случае 1 и 2. Постоянные интегрирования находим из граничных
условий:
при 0x
при x
TT
TT
;
1w
.
2w
Тогда распределение температуры в пластине:
TT q q
ww v v
Tx T x x x
()
w
1
21
22
2
,
или после преобразований
q
Tx T T T
() ( )
112
www
v
2
2
2
xx
.
2
Отнимем от правой и левой части уравнения температуру стенки
T , тогда
2w
q
Tx T T T T T
() ( )
212 12
www ww
v
2
2
2
xx
.
2
Случай 4. Несимметричные условия охлаждения пластины
Рассмотрим пластину толщиной с равномерно распределенными
внутренними источниками теплоты, условия отвода теплоты от которой различны (рис. 10): с одной стороны пластины находится одна
жидкость с коэффициентом теплоотдачи
пластины
теплоотдачи
T , а с другой стороны – другая жидкость с коэффициентом
1
и температурой вдали от пластины
2
и температурой вдали от
1
T . Необходимо
2
найти распределение температуры в пластине.
В случае несимметричных условий отвода теплоты от пластины
плоскость, через которую тепловой поток отсутствует, сместится из
центра пластины к одной из ее поверхностей в некоторую точку
0
Решения следует искать отдельно для левой половины пластины и для
ее правой половины (воспользовавшись общим решением (19) дифференциального уравнения (17)), в которых будут разными граничные
.
31
условия и, следовательно, изменятся
xx
x
значения постоянных интегрирования.
Граничные условия для правой по-
ловины пластины:
1) при
плотность теплового
0
потока
dT
dx
xx
0
;
0
2) на поверхности пластины при
из уравнения теплоотдачи
x
dT
Рис. 10. Плоская пластина
с несимметричными условиями
отвода теплоты
dx
x
Подставив значения постоянных
интегрирования из таких граничных
условий в уравнение (19) и выполнив
()
TT
22 2
wf
.
группировку подобных членов, получим распределение температуры в
правой части пластины для
прав 22
TxT x x x
() ( ) ( ) ( )
f
20
xx:
0
qqxq
vv v
2
0
. (21)
2
Температура правой поверхности пластины
q
TTx T x
() ( )
220
wf
v
2
.
Граничные условия для левой половины пластины:
1) при
x плотность теплового потока
0
dT
dx
xx
2) на внешней границе при
dT
dx
0x
0
x
32
0
;
0
из уравнения теплоотдачи
()
TT
11 1
wf
.
Подставив значения постоянных интегрирования из данных гра-
x
x
ничных условий в уравнение (19) и выполнив группировку подобных
членов, получим распределение температуры в левой части пластины
для
0
x
:
0
лев 2
TxT x x
()
qx qx q
vv v
f
1
00
1
. (22)
2
Температура левой поверхности пластины
qx
0
TTx T
(0)
11
wf
v
.
1
Для определения координаты
приравняем решения для правой и
0
левой части пластины в этой точке:
прав лев
() ()TxTx
00
,
получим
TT
x
0
21
ff
q
v
1
11
12
2
2
.
Значение температуры в данном сечении (максимальная температура)
можно определить по (21) или (22):
()TTx
00
.
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКЕ
ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в бесконеч-
ной цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром
и наружным диаметром
d
(рис. 11) с постоянным коэффициентом
2
d
1
33
теплопроводности . На наружных поверхностях трубы поддержива-
р
ются постоянными значения температуры
T и 2wT . Необходимо
1w
найти распределение температуры в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее. В рассматриваемом случае дифференциальное
уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат (ось Оz совмещена
с осью трубы):
2
1TT
2
T
10TT
rz
2
rr
r
22
22 2
.
Так как труба бесконечная и
изотропная, то дифференциальное
Рис. 11. Теплопроводность цилин-
ической стенки
д
уравнение теплопроводности примет вид
2
1
TT
2
rr
r
0
. (23)
Граничные условия:
при
rr 1wTT; при 2rr 2wTT. (24)
1
Если решить уравнение (23) совместно с условиями (24), то получим уравнение температурного поля в цилиндрической стенке. Задача
решается введением новой переменной. При этом получим
Постоянные интегрирования c
lnTc rc
. (25)
12
и c2 можно определить, если в
1
уравнение (25) подставить граничные условия (24):
ln( / )
rr
TT T T
,
()
www
112
34
1
ln( / )
rr
21
или
Frl
ln( / )
dd
TT T T
. (26)
()
www
112
ln( / )
1
dd
21
Выражение (26) представляет собой уравнение логарифмической
кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является нелинейным, можно объяснить следующим.
В случае плоской стенки удельный тепловой поток q остается одинаковым для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную
величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменной, так как величина поверхности зависит от радиуса.
Для определения теплоты, проходящей через цилиндрическую по-
верхность величиной 2
в единицу времени, следует воспользо-
ваться законом Фурье:
2( )
lT T
QF
dT
dr d d
12
ww
ln( / )
21
. (27)
Из уравнения (27) следует, что теплота, проходящая через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса.
Тепловой поток на единицу длины трубы
()
TT
Q
q
l
l
12
ww
d
1
2
ln
d
2
1
. (28)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, имеет размерность [Вт/м] и называется линейной плотностью теплового потока.
Как видно из уравнения (28), при неизменном отношении диаметров
линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки.
Тепловой поток через единицу внутренней поверхности
2( )
TT
Q
q
1
dl
1
35
12
ww
d
2
ln
d
1
d
1
.
Тепловой поток через единицу внешней поверхности
2( )
TT
12
ww
d
2
ln
d
2
d
1
.
Q
dl
q
2
2
Плотности теплового потока через внутреннюю и внешнюю стенку
неодинаковы, причем первая больше второй.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ
Рассмотрим теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку, состоящую из n однородных слоев. Примем, что контакт
между слоями совершенный и температура на соприкасающихся по-
верхностях соседних слоев одинакова.
Заданы температуры на внешних поверхностях стенки, коэффициенты
теплопроводности и толщины слоев
(рис. 12).
для плоской многослойной стенки.
При стационарном тепловом режиме
линейная плотность теплового потока
не меняется по толщине стенки, т. е.
Метод решения аналогичен методу
q
l
0
.
r
Составим систему уравнений ли-
нейных плотностей теплового потока
Рис. 12. Теплопроводность мно-
гослойной цилиндрической
стенки
qdd
TT
1(1)
wwn
ln
22 2
для каждого из слоев. Выразим из них
температурные напоры и почленно
сложим уравнения, тогда
d
11 1
2
ln ln ... ln
dd d
11 22
36
31
nn
.
Отсюда линейная плотность теплового потока
()
TT
1(1)
Величина
d
1
ln
2
d
ii
q
l
1
i
называется линейным термическим сопро-
wwn
n
1
i
1
2
.
d
1
i
ln
d
ii
тивлением теплопроводности отдельного слоя, а величина
i
n
1
d
1
ln
2
d
ii
i
1
представляет собой термическое сопротивление всех
слоев и называется полным линейным термическим сопротивлением
теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.
Температура на границе соприкосновения любых слоев
qd
TT
(1)
wn wn
ln
1
2
nn
ln
1
.
d
Внутри любого слоя температура изменяется по логарифмической
кривой, распределение которой можно найти по формуле (26).
При наличии термического сопротивления контакта выражение для
линейной плотности теплового потока примет вид
()
TT
1(1)
q
l
ii
wwn
nn
1
ln
2
ii i
11
dR
ii
1 к
dd
.
1
1
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ
ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА
(ТЕПЛОПЕРЕДАЧА)
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним диаметром
тоянном коэффициентом теплопроводности . Заданы постоянные
d и наружным диаметром 2d (рис. 13) при пос-
1
37
температуры подвижных сред
f
f
T и
1
T , а также постоянные значе-
2
ния коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхности трубы
линдрической стенки
и 2 . Необходимо найти температуры поверхностей ци-
1
T , 2wT и удельный тепловой поток через нее.
1w
Рис. 13. Теплопроводность цилиндрической
стенки при граничных условиях третьего рода
Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной
стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь и
при установившемся тепловом режиме количество теплоты, которое
будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить
через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно
и то же. Так
же как в случае плоской стенки, выразим плотности теплового потока для теплопроводности и двух процессов теплоотдачи [1, 2, 4,
6]. Выразим температурные напоры и почленно сложим уравнения:
q
11 1
TT
ff
12
l
ddd
11 1 2 2
d
ln
2
.
2
Тогда линейная плотность теплового потока определится как
()
TT
12
q
l
11 1
ddd
11 1 2 2
ff
d
2
ln
2
. (29)
38
Обозначим
R
k
l
11 1
ddd
11 1 2 2
1
d
ln
2
,
2
с учетом которого уравнение (29) запишем как
()
.
12
Величина
qkT T
llf f
k называется линейным коэффициентом теплопередачи.
l
Она характеризует интенсивность передачи теплоты от одной среды к
другой через разделяющую их стенку. Значение
k численно равно
l
количеству теплоты, которое проходит через стенку трубы длиной
один метр в единицу времени от одной среды к другой при разности
температур между ними в один кельвин.
Величина 1/
k , обратная коэффициенту теплопередачи, назы-
ll
вается линейным термическим сопротивлением теплопередачи:
111 1
R
l
kd d d
11 1 2 2
l
d
2
ln
. (30)
2
Отдельные составляющие полного термического сопротивления
представляют
R
1
1
l
d
11
и
R
1
2
l
– линейные тепловые сопро-
d
22
тивления теплоотдачи на соответствующих поверхностях;
d
1
2
Rd
l
c
ln
2
– линейное тепловое сопротивление теплопроводности
1
стенки.
В отличие от термических сопротивлений теплоотдачи для плоской
стенки здесь термические сопротивления теплоотдачи зависят не только от коэффициента теплоотдачи, но и от диаметра стенки.
Температуры поверхностей цилиндра:
q
1
TT
11
wf
l
TT
,
d
11
39
22
wf
q
l
1
d
22
.
В случае теплопередачи через многослойную цилиндрическую
R
стенку линейная плотность теплового потока определяется как
()
TT
12
q
l
11 1
ddd
11 2 1
ff
i
n
1
d
i
1
ln
2
ii n
.
Величина
называется полным термическим сопротивлением
l
теплопередачи многослойной цилиндрической стенки:
11 1 1
R
l
kd d d
liin
n
11 2 1
1
i
d
i
1
ln
.
2
Температуры стенок
qd
TT
wm f
(1) 1
li
m
11
dd
11
2
i
1
ii
ln
1
.
С учетом контактного термического сопротивления слоев полное
термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки
nn
11 1
R
l
dddd
11 1 2 1
11
ii
dR
ii
ln
2
ii i n
1
1 к
.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ТОНКИХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕНКАХ
На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок которых мала по сравнению с диаметром. В этом случае при расчетах можно пользоваться упрощенными формулами. Для получения таких фор-
мул поступим следующим образом. Величину
ряд:
dd d
22 2
ln 1 1 ...
dd d
11 1
1
2
ln /dd разложим в
2
21
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]