Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тепломассообмен. Теплопроводность. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Если отношение диаметров стремится к единице, то такой ряд ста-













, 

новится быстросходящимся, и с достаточной точностью можно ограничиться первым членом ряда:



dd dd

22 21

ln 1

 



dd d d

11 1 1



где

– толщина цилиндрической стенки.





Тогда

k 







. (31)

Следовательно, если стенка трубы тонкая, то при практических расчетах можно пользоваться формулой

QkdlT T  , т. е. как для плоской стенки. При этом если

llxf f

/2dd

()

, то погрешность расчетов не превышает 4 %.

(),

qkT T

llf f

 или

Ошибку можно уменьшить, если в качестве расчетной поверхности в уравнении (31) брать поверхность, со стороны которой коэффициент

теплоотдачи меньше: если

dd ; если

, то

ddd

  , то

0,5( )

dd; если

 .

  , то

КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра 2d на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки (уравнение

(31)). При постоянных значениях сопротивление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть

только от внешнего диаметра. При этих условиях термическое сопротивление теплоотдачи на внутренней поверхности цилиндра



const

с увеличением

d будет увеличиваться, а термическое

Rd. Термическое сопротивление теплопроводности

Rd

и 1d полное термическое

сопротивление теплоотдачи на наружной поверхности цилиндра





Rd

будет уменьшаться. Очевидно, что полное термическое



сопротивление будет определяться характером изменения термических сопротивлений теплопроводности и теплоотдачи от наружной поверхности (рис. 14).

Для того чтобы выяснить, как будет изменяться полное термическое сопротивление при

Рис. 14. Изменение термических

сопротивлений цилиндрической стенки

как функцию внешнего диаметра, для чего возьмем производную

увеличении толщины цилиндрической стенки, исследуем ее

от

выражения (30) и приравняем ее нулю:

()

()2

dd d







Значение

d из последнего выражения соответствует экстремуму,

а именно минимуму функции. Таким образом, при значении диаметра

2/d  термическое сопротивление теплопередачи будет мини-

мальным.

Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи в цилиндрической стенке, называется критическим диаметром и рассчитывается по формуле

При

dd с увеличением

2 кр

кр

полное термическое сопротивле-

ние теплопередачи падает, так как увеличение наружной поверхности оказывает на термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины стенки.

При





dd с увеличением

2 кр

термическое сопротивление теп-

лопередачи возрастает, что указывает на доминирующее влияние толщины стенки.

Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенной на трубу. Термическое сопротивление теплопередачи для такой трубы

   

Из уравнения

11 1 1 1

kd d d d

  

11 с 1 из 223

qTR

 следует, что линейная плотность тепло-

ln ln

вого потока при увеличении внешнего диаметра изоляции будет увеличиваться и при достижении

dd будет иметь макси-

3 кр.из

d сначала

мум. При дальнейшем увеличении внешнего диаметра изоляции тепловой поток будет уменьшаться (рис. 15).

Выбрав какой-либо теплоизоляционный материал для покрытия цилиндрической поверхности, прежде всего нужно

, то

рассчитать критический диаметр тепловой изоляции

кр.из из 2

ся, что величина

2/d  . Если окажет-

d больше наружного диаметра трубы

кр.из

Рис. 15. Влияние толщины изоляции

на удельный тепловой поток

применение выбранного материала в качестве тепловой изоляции в области

ddd приведет к тому, что при увеличении толщины

23кр.из

изоляции будет наблюдаться рост потерь теплоты. Только при

dd потери теплоты вновь станут такими же, как для первона-

3 эф

чального, неизолированного трубопровода (рис. 15).

Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения. Таким образом, для эффективной работы тепловой изоляции необходимо, чтобы

кр.из 2

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ





В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКЕ

ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ

ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат при изменении температуры только от радиуса имеет вид

dT dT

rdr





. (32)

Интегрируя (32), получаем

Tcrc

 . (33)

Значения постоянных интегрирования, а соответственно и зависимость температуры от радиуса будут определяться граничными условиями конкретной задачи.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЙ

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 16), радиус которого

r мал по

сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса. Внутренние источники теплоты

равномерно распределены по объему тела, коэффициент теплопроводности равен  . Задана постоянная температура окружающей среды

T и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи .

При этих условиях температура на поверхности цилиндра одинаковая. Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Температуры на оси цилиндрического стержня

T неизвестны. Кроме этих температур, необходимо найти распреде-

T и на его поверхности

ление температуры в стержне и количество теплоты, отданное им в









окружающую среду.

Согласно закону Фурье через изотермическую поверхность радиусом r проходит тепловой поток

. (34)

 

Величина этого теплового потока определяется мощностью внутренних источников теплоты

Подставив выражение (35) в (34)

и разделив переменные, получим

Рис. 16. Стержень с внутренними

тепловыделениями

Так как при

rr wTT, то из выражения (36) получим



Trc

cT r

Подставив последнее выражение в (36), получим

 

После интегрирования будем иметь



. (36)







q :

qqr

dT rdr



. (35)



. (37)

Максимальная температура на оси стержня (при 0)r

TT

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ



С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внут-

ренним диаметром янном коэффициенте теплопроводности

ки теплоты

q равномерно распределены по объему тела. Заданы по-

стоянные температуры сред коэффициентов теплоотдачи

верхности трубы. Необходимо найти распределение температуры в цилиндрической стенке, температуры ее поверхностей

ловой поток через нее.

d и наружным диаметром 2d (рис. 17) при посто-

[2, 4]. Внутренние источни-



T и

T , а также постоянные значения

на внутренней и наружной по-

T , 2wT и теп-

а б в

Рис. 17. Теплопроводность цилиндрической стенки

с внутренними источниками теплоты

Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь. Дифференциальное уравнение (32) и его решение (33) будут теми же, изменятся граничные условия и соответственно постоянные интегрирования. Граничные условия будут различными для разных случаев отвода теплоты.

Случай 1. Теплота отводится только через наружную





















поверхность (внутренняя поверхность теплоизолирована)

Если теплота отводится только через наружную поверхность (рис. 17, а), то граничные условия будут следующими:



 





()

22 2

;

при

rr 0q, или

rr



   





Из этих граничных условий определим постоянные интегрирова-

c и 2c в уравнении (33) и получим распределение температуры в

ния

цилиндрической стенке:

222

 

qr qr

Tr T

() 1 1 2ln

    



  

22 2 22

 

  

rrrr

 

  

 

Температура наружной поверхности цилиндрической стенки



TTrrT

() 1

 

222











 

Окончательно с учетом температуры наружной поверхности

Tr T

  

() 1 ln



 

 

rrr

222

 

  



. (38)

Плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности найдется как

qTT

()1

   

22 2

  









Температура на внутренней поверхности стенки























222

 

qr qr

 



  

22 2 22

rrrr

1111

112ln

 

  

rrrr

 

  

 

Случай 2. Теплота отводится только через внутреннюю

поверхность (внешняя поверхность теплоизолирована)

Если теплота отводится только через внутреннюю поверхность (рис. 17, б), то граничные условия запишем следующим образом:

 



 





;

()

11 1

при

   

Аналогично предыдущему случаю из этих условий определяются соответствующие постоянные интегрирования, и после подстановки их в уравнение (33) получаем распределение температуры в цилиндрической стенке при отводе теплоты только через внутреннюю поверхность:

 

Tr T

() 1 2ln

   

qr qr

 

rrrr



11 1 2 2

 

     

 

Температура внутренней поверхности

TTrrT

() 1

111

  

















Окончательно с учетом температуры внутренней поверхности

Tr T

  

() 2ln



 

 

rr r

12 2

 

 

. (39)

 

Удельный тепловой поток с единицы теплоотдающей поверхности























qTT

 



11 1















Случай 3. Теплота отводится с внутренней и внешней

поверхности

В случае если теплота отдается окружающей среде как с внутренней, так и с внешней поверхности, должен существовать максимум температур внутри стенки (рис. 17, в). Изотермическая поверхность с

rr , соответствующая максимальной температуре 0T , разделяет ци-

линдрическую стенку на два слоя. Во внутреннем слое теплота передается внутрь трубы, во внешнем – наружу.

Максимальное значение температуры соответствует условию



и, следовательно, 0q. Таким образом, для решения данной

задачи можно использовать уже полученные выше соотношения (38) и (39), в которых следует заменить на r

внутренний и наружный радиус

соответственно:

внеш

TrT

() 1 2ln

  

внут

TrT

  

() 2ln

qr r



   

rrr

222

 

rr r

10 0

 

   

 

, (40)

 

 

. (41)

 

Запишем максимальные перепады температур во внешнем и внутреннем слоях:











2ln 1



, (42)

 



















qr r











2ln 1



. (43)

 

Вычитая соответственно левые и правые части двух последних уравнений, получаем выражение для перепада температур через цилиндрическую стенку, в котором единственной неизвестной величиной останется координата радиуса цилиндра, для которого тепловой поток равен нулю:

qr r r

   

000



Это уравнение необходимо решить относительно

qr r T T

vww



 

 

rr rr

00 21

 



 

21 1 2

2ln



2ln 2ln



. (44)

Подставив вычисленное из уравнения (44) значение ние (42) или (43), найдем максимальную температуру

 

 

r в выраже-

T в рассматри-

ваемой стенке. Для определения распределения температуры во внутреннем слое в уравнение (41) подставляются значения текущей координаты

rrr , а для нахождения распределения температуры во

внешнем слое в уравнение (40) подставляются значения текущей координаты

rrr .

Если температуры внешних поверхностей цилиндрической стенки

T и 2wT равны, то уравнение (44) упрощается. В этом случае

 .

2ln

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]