Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
уравнении вместо свободного члена ib использовать значение кон-
трольной суммы
соответствие:
c . Между корнями должно выполняться следующее
i
xx
ii
1
.
При реализации метода Гаусса по схеме единственного деления
предполагалось, что диагональные элементы не равны нулю. Это можно
гарантировать только на нулевом шаге (k = 0) в исходной системе. Од-
нако в ходе преобразований вполне возможны ситуации, что главные
диагональные элементы станут нулевыми. В этих условиях схема единственного деления становится неработоспособной, так
как в ходе преобразований происходит деление на главные элементы. Выходом в такой ситуации является использование модификации метода Гаусса –
метода главных элементов.
Основнаяидеяметода
1. На каждом шаге выбирают главный элемент матрицы А – максимальный по модулю коэффициент в матрице a
строка.
2. Для всех строк, кроме главной, вычисляются множители:
. Строка p – главная
pq
a
iq
m
i
.
a
pq
3. К каждой неглавной строке добавляют главную, умноженную на
сомножитель m
. В результате q-й столбец – нулевой.
i
4. Вычеркиваем p-ю строку и q-й столбец. В результате получаем
1
матрицу А
, размерность которой на единицу меньше предыдущей мат-
рицы А.
5. Процедуру повторяем с первого шага (n – 1) раз.
6. В результате составляем новую систему уравнений из вычеркну-
тых строк. Полученная матрица не треугольного вида, как в схеме единственного деления Гаусса. Но каждое уравнение содержит разное количество неизвестных: в последнем уравнении – 1
неизвестное, в (n – 1)-м –
2 неизвестных и т. д., в первом уравнении – все n неизвестных. Такой
вид преобразованной системы позволяет последовательно находить неизвестные, начиная с последнего уравнения.
Решение той же самой системы методом Гаусса с выбором главного элемента представлено в табл. 4.4. В таблице выделены главные элементы и главные
строки.
81
Метод Гаусса с выбором главного элемента
Таблица 4.4
k mi
0 0 3 –1 0 5 7
–1/4 –2 1 1 0 0
–1 2 –1
1 –1
5/6 –5/2 5/4 – –15/4 –5
Прямой ход
ход
Обратный
– – – – –
2 –
– – – – –
– – – – –
Коэффициенты при неизвестных
x
1
3
x
= 2
1
x
2
–1 – 5 7
5/12
x
= 1
2
x
3
4
– 5/12 5/6
x
= 3
3
b c
15 20
2x
2
3x
1
4x
3
Симплекс-метод тесно связан с «методом Гаусса с выбором главного элемента» и основан на ряде утверждений, декларируемых в виде
следующих теорем.
Теорема 1. Множество опорных планов – выпукло.
Теорема 2. Если задача линейного программирования разрешима,
то экстремум целевой функции достигается на одном из опорных планов (допустимом базисном решении).
То есть оптимальное решение соответствует крайней точке выпуклого множества.
Число опорных планов конечно и определяется числом
!
C
m
n
n
!( )!
mn m
.
Основная идея симплекс-метода состоит в направленном переборе
опорных планов с последовательным уменьшением целевой функции.
Принадлежит эта идея двум авторам: американскому математику
Дж. Данцигу (1947 г.) и российскому математику Л.В. Канторовичу
(1939 г.).
Алгоритм симплекс-метода включает три основных этапа:
I. Выбор начального опорного плана.
II. Переход от начального
опорного плана к другому опорному
плану с лучшим значением целевой функции.
82
III. Продолжение поиска опорного плана, улучшающего целевую
x
x
x
x
x
x
x
x
функцию до достижения оптимального плана. Приведение системы для
смежного опорного плана к каноническому виду.
Определение. Смежным опорным планом называют план, отли-
чающийся от текущего лишь одной переменной.
Таким образом, механизм симплекс-метода состоит в получении
смежных опорных планов.
Для получения смежного опорного плана одну базисную переменную превращают в свободную, а эту свободную вводят в базисные переменные. Основной здесь вопрос – какую переменную выбрать, чтобы
целевая функция уменьшалась. Симплекс-метод позволяет целенаправленно получать смежные планы, избегая простого перебора вершин.
Рассмотрим этот механизм.
Составим симплекс-таблицу для задачи использования ресурсов (4.3).
Для этого запишем задачу в каноническом виде и заменим цель поиска
максимум на минимум.
() 3 2x min;
zx x
5 2 160;
3 4 180;
7 196.
12
xxx
123
xx x
12 4
xx
15
.
Начальный опорный план и начальная симплекс-таблица приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Начальный опорный план
Базис
3
4
5
k
Свободные переменные
b
1
5 2 1 0 0 160 32
3 4 0 1 0 180 60
7
–3 –2 – – –
2
0 0 0 1 196 28
3
4
5
Q
i
ik
3033
14
204 2
2
05
x
3
x
07
x
5
02
00
83
I. Итак, это начальный опорный план
x
x
x
x
базисные,
, xx – свободные. Свободные – значит, что они могут при-
12
1
. Переменные
нимать любые значения, но чаще их выбирают нулевыми.
0, 0 160, 180, 196
12345
xxx x .
Сам опорный план
1
(0, 0, 160, 180, 196) x .
, ,
xx –
345
Целевая функция
1
() 0zx
.
II. Нахождение смежного плана.
Его цель: одну переменную из свободных перевести в базис, так,
чтобы целевая функция уменьшалась.
Для овладения механизмом получения смежных опорных планов
необходимо ввести ряд соотношений. Для этого целесообразно записать
задачу ЛП в стандартной векторно-матричной форме. Одновременно
введем несколько определений.
n
() min
fx c x
jj
1
j
n
ax bi m
bim
ij j i
1
j
0 1,
j
0 1,
i
Определение. Приращение целевой функции
, 1,
jn
– это величина
k
cca
kk iik
i баз
(4.8)
,
где k свободным переменным, в нашем примере k = 1, k = 2.
означает, что суммирование ведется только по базисным пе-
базi
ременным, но для столбца свободных переменных.
Приращения вычисляются только для свободных переменных, то
есть индекс k свободным.
– важнейшая величина, по которой и делают заключение о том,
k
какая из свободных переменных при переводе ее в базисную дает
уменьшение целевой функции.
Это заключение основывается на следующей лемме.
Лемма 1. Если все приращения симплекс-плана 0
, следова-
k
тельно, текущий опорный план оптимальный.
84
Симплекс-метод использует следствие этой леммы.
x
x
x
x
x
x
x
x
Улучшение целевой функции приносит та свободная переменная
, приращение которой отрицательно: 0
k
.
k
Так как в текущем опорном плане может быть несколько отрицательных
обычно выбирают переменную
В нашем примере такой переменной является
это может быть и
, то выбирать для замены можно любую переменную
k
, так как
2
с минимальным 0
k
0 .
2
.
k
. Строго говоря,
1
, но
k
Другая важнейшая величина симплекс-алгебры – это отношение
b
Величины
вычисляются для выбранного k-го столбца (с мини-
i
мальным значением
). Величина
k
переменных уйдет в свободные на место
числяется только для 0
отношение
минимально.
i
a . Выбирается та переменная
ik
i
. (4.9)
i
a
ik
определяет, какая из базисных
i
, при этом отношение вы-
k
, для которой
1
Теоретической основой этого шага служит лемма.
Лемма 2. Если хотя бы одно из приращений 0
ди коэффициентов
есть хотя бы один положительный, то существует
a
ik
и при этом сре-
k
опорный план, улучшающий текущий.
Выбранная для данного примера переменная х
меняется местами с х1.
5
Элемент, стоящий на пересечении выбранного столбца и выбранной
строки, называется ведущим, а вся строка – ведущей строкой.
III. Приведение системы к каноническому виду.
Так как переменную
ввели в базис, то она должна в третьем
1
уравнении иметь коэффициент, равный единице, а во всех остальных –
нулю. Записав второй столбец 00
, осуществим эквивалентные преоб-
1
разования с первой строкой системы.
Преобразование основано на методе Гаусса с выбором главного
элемента.
К каждой неглавной строке добавляем главную, умноженную на
a
ik
a
pk
, где
a – главный или ведущий элемент;
lk
коэффициент
m
i
k – номер столбца ведущего элемента; p – строка ведущего элемента.
85
Таким образом, можно записать следующий смежный план:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
28, 0, 20, 96, 0 ,
2
() 328 84.
fx
2
Полностью симплекс-таблица для решения задачи приведена в
табл. 4.6. На каждом шаге выделен ведущий элемент и выбранное приращение.
Таблица 4.6
Симплекс-таблица
Переменные
1
5 2 1 0 0 160 32
3 4 0 1 0 180 60
7
0
0 4 0 1 –3/7 96 24
1 0 0 0 1/7 28 –
–
2
0 0 0 1 196 28
–2 – – –
2
–2
3
1 0 –5/7 20 10
– – 3/7
4
b Q
I
II
m
i
–5/7
–3/7
–2
0
Базис
3
4
5
k
3
4
1
k
–3
5/14
III
–1/7
IV
2
4
1
k
2
5
1
k
0 1 1/2 0 –5/14 10 –
0 0 –2 1
1 0 0 0 1/7 28 196
– – 1 –
0 1 –3/14 5/14 0 30
0 0 –2 1 1 56
1 0 2/7 –1/7 0 20
– – 6/14 4/14 –
Запишем последовательности опорных планов.
Шаг 1.
0, 0, 160, 180, 196 , ( ) 0xfx
11
05 02
x
3
3 0 3 3, 2 0 4 2
14 2
x
07 00
x
5
1
–2/7
.
56 56
.
86
Шаг 2.
Шаг 3.
28, 0, 20, 96, 0 , ( ) 3 28 84xfx.
22
02 0 5/7
x
3
2 0 4 2, 0 0 3 / 7 3 / 7
24 5
x
30 3 1/7
x
1
.
28, 10, 0, 56, 0 , ( ) 104xfx
33
21/2 2 5/14
x
2
0 0 2 1, 0 0 1 2 / 7
34 5
x
3 0 3 1/ 7
x
1
Шаг 4.
20, 30, 0, 0, 56 , ( ) 120xfx – оптимальный план.
44
2 3 /14 2 5 /14
xx
22
0 0 2 6 /14, 0 0 1 4 /14
35 45
Так как все приращения положительны (
xx
3 2 / 7 3 1/ 7
xx
11
, 0
), следовательно,
34
опорный план нельзя улучшить.
Замечание
Если на шаге I выбрать
k
разрешающим столбцом, то страте-
2
гия поиска такова:
xfx
xfx
0, 45, 70, 196, 0 ( ) 90;
22
20, 30, 0, 0, 56 ( ) 120.
33
.
.
.
Оптимум достигнут за 2 шага.
4.4.2.Методискусственногобазиса
Необходимым условием применения симплекс-метода является наличие опорного плана, то есть допустимого базисного решения канонической системы уравнений. Для этого должны выполняться следующие
условия:
система должна иметь каноническую (ступенчатую) структуру;
присутствуют только ограничения-равенства;
правые части ограничений положительны;
переменные задачи положительны.
Без этих условий нельзя получить опорный план. Однако в реальных задачах далеко не всегда выполняются перечисленные условия.
87
Существует специальный метод, называемый искусственным бази-
x
x
x
f
сом, который позволяет в любой задаче линейного программирования
получить начальный опорный план.
Пусть задача линейного программирования приведена к стандартному виду:
Пусть все
тельны,
n
() min;
fx c x
n
j
1
0
b , но часть или все базисные переменные отрица-
i
0
. Следовательно, опорного плана нет.
j
jj
j
1
ax bi m
ij j i
, 1, .
Дополним уравнения-ограничения искусственными переменными
0, 1,
(предполагаем, что все
j
jn).
Введем m переменных (по количеству уравнений): 0, 1,
,
ni
которые в новой системе будут базисными, а отрицательные
im
0
x
j
уйдут в свободные.
В результате получим следующую эквивалентную задачу.
m
ˆ
() min;
fx x
ni
i
1
n
Здесь переменные
ax x bi m
xknm
ij j n i i
j
1
0, 1, .
k
не имеют никакого отношения к исходной
nix
, 1, ;
(4.10)
задаче линейного программирования. Они служат лишь для получения
опорного плана и называются искусственными переменными. А новая
ˆ
целевая функция
сформирована для полноты задачи.
()
x
В оптимальном опорном плане искусственные переменные должны
быть равны нулю. В противном случае нарушится условие первоначальной задачи.
В начальном опорном плане искусственные переменные являются
базисными, то есть не равны нулю, а в оптимальном плане искусственные переменные должны быть равны нулю. Значит, искусственные переменные
должны стать в оптимальном плане свободными. В этом переводе и состоит основная идея метода: перевод искусственных переменных из базисных переменных в свободные. Рассмотрим механизм
такого перевода на примере.
88
Пример
x
() 2 max;
fx x x
12
25;
xx
12
35;
xx
12
237;
xx
12
xx
12
, 0.
xx
12
9;
Перепишем ЗЛП в стандартной форме. Для этого введем дополни-
, , ,
тельные переменные
xxx и запишем задачу в канонической
3456
форме.
() 2 min;
fx x x
12
2 5;
xxx
123
3 5;
xx x
12 4
2 3 7;
xx x
12 5
9;
xx x
12 6
0, 1,6.
xi
Свободные переменные
примут значения
i
, 0xx
12
5, 5, 7, 9.xx xx
34 56
, при этом базисные переменные
Так как часть базисных
переменных отрицательны, следовательно опорного плана нет. Для получения начального опорного плана введем переменные
в двух
, xx
78
первых уравнениях-ограничениях и сформулируем вспомогательную
задачу:
ˆ
fx x x
() min;
xxx x
2 5;
xx x x
12 4 8
2 3 7;
xx x
12 6
xi
i
78
123 7
3 5;
xx x
12 5
9;
0, 1,8.
Таким образом, начальным базисом является
1
0, 0, 0, 0, 7, 9, 5, 5x .
89
Симплекс-таблица с искусственным базисом
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Таблица 4.7
m
i
Базис
1
2
3
4
5
6
7
8
b
I
1
3
0
–1
–
1/3
II
–
1/5
–
9/5
–
2/5
7
8
5
6
ˆ
k
7
2
5
6
ˆ
k
2 1 –1 0 0 0 1 0 5 5
1
3
0 –1 0 0 0 1 5 5/3
–2 3 0 0 1 0 0 0 7 7/3
1 1 0 0 0 1 0 0 9 9
–3
5/3
–4
0 –1 1/3 0 0 1
1/3 1 0
1 1 – – – –
–
1/3
–
1/3
0 0 0 1/3 5/3 5
10/3 2
–3 0 0 1 1 0 0 –1 2 –
2/3 0 0 1/3 0 1 0
–
5/3
– 1
–
1/3
– – – 4/3
–
1/3
22/3 11
III
1
2
5
6
ˆ
k
k
1 0 –3/5 1/5 0 0
0 1 1/5
–
2/5
0 0
0 0 –9/5 8/5 1 0 9/5
0 0 2/5 1/5 0 1
– – 0 0 – – 1 1
– – –1/5
–
3/5
– –
90
3/5 –
1/5
–
1/5
2/5 1
–
8/5
–
2/5 –1/5
2
8
6
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]