Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Окончание табл. 4.7
x
x
x4x5x6x7x8x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
f
m
i
Базис
1
2
3
b
IV
1
2
4
6
k
1 0 –3/8 0 –1/8 0 1
0 1 –1/4 0 1/4 0 3
0 0 –9/8 1 5/8 0 5
0 0
– –
5/8
–7/8
0 –1/8 1 5
8
– 3/8 –
V
1
2
4
3
k
1 0 0 0 –1/5 3/5 4
0 1 0 0 1/5 2/5 5
0 0 0 1 2/5 9/5 14
0 0 1 0 –1/5 8/5 8
– – – – 1/5 7/5
Запишем последовательности опорных планов.
ˆ
Для первых трех шагов приращения
вычисляются только по ис-
k
кусственным переменным, которые входят в искусственную целевую
ˆ
функцию
()
xxx с коэффициентом 1
78
c
i
.
На третьем шаге искусственные переменные исключены, так как
ˆ
все
положительны.
k
Эквивалентная задача решена. Далее приращения
вычисляются
k
на основе исходной целевой функции
() 2
xx x
.
111
0, 0, 0, 0, 7, 9, 5, 5 , ( ) 0, ( ) 10.
xfxfx
222
xfxfx
33
xfxfx
44
xfx
55
xfx
52210 10 10
0, , 0, 0, 2, , , 0 , ( ) , ( ) .
333 3 3
2, 1, 0, 0, 8, 6 , ( ) 4, (
1, 3, 0, 5, 0, 5 , ( ) 7.
4, 5, 8, 14, 0, 0 , ( ) 14.
12
ˆ
ˆ
ˆ
3
)0.
91
Итак, симплекс-метод с введением искусственных переменных
включает два этапа.
I этап
Формирование и решение вспомогательной задачи ЛП с введением
искусственных переменных. Искусственные переменные в начальном
опорном плане являются базисными. Искусственная целевая функция
включает только искусственные переменные. При получении смежных
опорных планов искусственные переменные из базисных переводим в
свободные. В результате получен оптимальный опорный план для
ˆ
вспомогательной задачи
() 0fx .
II этап
Оптимальный опорный план вспомогательной задачи ЛП является
начальным опорным планом основной задачи ЛП. Задача решается для
исходной целевой функции
()f x обычным симплекс-методом.
Замечания
1. Введение искусственных переменных требуется в двух случаях:
ряд базисных переменных
если трудно свести к канонической форме, то просто в любое
в канонической форме отрицательны;
x
i
уравнение-ограничение добавляем искусственную переменную.
2. Встречающиеся в практике автоматического управления задачи
линейного программирования содержат от 500 до 1500 ограничений и
более 1000 переменных. Ясно, что задачи такой размерности можно решать лишь с помощью ЭВМ и специального программного обеспечения. Сложность алгоритма заключается в том, что:
ППП требует канонического вида;
ППП для задач такой размерности требует использования
больших ЭВМ (и параллельных вычислений), так как симплекс-метод
хранит всю таблицу.
3. Вычислительную эффективность симплекс-метода можно оце-
нить следующими показателями:
число шагов (смежных опорных планов);
затраты машинного времени.
Существуют такие теоретические оценки для стандартной задачи
линейного программирования с m ограничений и n
среднее число шагов 2m и лежит в диапазоне
расчетное время пропорционально величине
92
переменных:
2mmn
3
m .
.
4.5.Двойственностьзадачлинейногопрограммирования
j
x
j
x
Теория двойственности представляет собой важное теоретическое
и практическое направления линейного программирования. Основной
идеей теории двойственности является постулат: для любой задачи линейного программирования существует некоторая другая задача линейного программирования, решение которой тесно связано с решением
исходной.
Таким образом, двойственность состоит в существовании пары задач (4.11) и (4.12).
Прямая задача
n
() max;
fx c x
j
jj
1
n
ax bi m
ij j i
1
j
, 1, .
(4.11)
Двойственная задача
() min;
zy b y
В данных задачах , ,
m
aycj n
ji i j
1
i
abc – заданные числа; ,
ij i j
m
i
ii
1
, 1, .
(4.12)
y – переменные.
i
Каждая из задач I и II называется двойственной по отношению к
другой.
Общей для двух задач является матрица ограничений
a .
ij
Важность двойственности задачи линейного программирования состоит в возможности при практической реализации симплекс-метода
замены целевой функции
() max fx на () minfx . Эта замена ос-
нована на двух теоремах двойственности.
Теорема 1. Если существует оптимальный план одной задачи, то и
существует оптимальный план другой, при этом справедливо неравенство
nm
cx by
11
ji
Неравенство переходит в равенство, если
jii
. (4.13)
и y оптимальны.
93
Теорема 2. Если
x
A
A
**
,
y – оптимальные планы, то компоненты пла-
нов связаны соотношениями
baxy
cayx
Сравним двойственные задачи.
n
iijji
1
j
**
0;
(4.14)
m
jijij
1
i
**
0.
1. Матрица ограничений
В исходной задаче
...
aa
11 1
A
...
aa
21 2
... ... ...
n
n
...
aa
1
mmn
То есть матрица
1
является транспонированной к матрице А.
a
ij
В двойственной
aa a
11 21 1
aa a
A
1
12 22 2
... ... ... ...
...
...
aa a
12
nn mn
...
2. Число ограничений и переменных.
В исходной задаче:
n переменных,
m ограничений.
В двойственной:
m переменных,
n ограничений.
3. Правые части ограничений – это коэффициенты целевой функ-
ции двойственной задачи.
4. Знаки ограничений и цель задачи меняются на противополож-
m
m
ные.
В исходной задаче:
а) знак ограничений <,
б) целевая функция max.
В двойственной:
а) знак ограничений >,
б) целевая функция min.
Для практических целей рассмотренные правила позволяют составить схему соответствия двойственных задач, представленных в табл. 4.8.
94
Таблица 4.7
Соответствие двойственных задач ЛП
Исходная задача Двойственная задача
Целевая функция max Целевая функция min
Константы в правых частях ограничений
Коэффициенты целевой функции
j-й столбец коэффициентов в ограни-
чениях
j-я строка коэффициентов в ограни-
чениях
j-я неотрицательная переменная j-е неравенство вида ≥
j-я переменная, не имеющая ограни-
чений в знаке
i-е неравенство вида ≤ i-я неотрицательная переменная
i-е соотношение в виде =
Коэффициенты целевой функции
Константы в правых частях ограничений
j-я строка коэффициентов в огра-
ничениях
j-й столбец коэффициентов в огра-
ничениях
j-е соотношение в виде =
i-я переменная, не имеющая огра-
ничений в знаке
Практическая ценность проблемы двойственности состоит в следующем.
1. Переход от исходной задачи к двойственной полезен, если число
ограничений исходной задачи велико и много больше числа переменных. При этом объем вычислений в основном определяется числом ограничений.
2. Если по какой-то причине решение исходной задачи затруднительно, то пытаются решить
двойственную задачу, а затем на основе
приведенных выше Теорем 1 и 2 находится решение прямой задачи.
В табл. 4.9 приведено решение двойственной задачи об использовании сырья. Исходные данные для прямой задачи приведены в табл. 4.2.
Отметим, что графическое решение, показанное выше на рис. 4.1, привело к оптимальному плану:
20, 30 , ( ) 120xfx
.
Использование решения двойственной задачи должно привести к
такому оптимальному решению.
Запишем прямую и двойственную задачу.
Для решения двойственной задачи введен искусственный базис:
переменные
,yy, которые исключаются из опорного плана на третьем
67
шаге.
95
Прямая задача:
fx x x
() 3 2 max;
xx
52160;
12
xx
34180;
12
x
7 196.
1
nm
2, 3.
12
Симплекс-таблица двойственной задачи
m
Базис
i
y
1
Двойственная задача:
( ) 160 180 196 min;
fy y y y
5 3 7 y 3;
yy yy
1 2 3 4 6
2 4 2;
yy y y
y 3y 4y
2
12 5 7
Fyy
иск 67
123
.
Таблица 4.9
y
5
y 7y
6
b
I
II
III
IV
0
0
–1
y
6
y
7
ˆ
y
3
y
7
ˆ
y
3
y
2
ˆ
y
1
y
2
5 3
7
–1 0 1 0 3 3/7
2 4 0 0 –1 0 1 2 –
–7 –7
–7
1 1 – –
5/7 3/7 1 –1 0 1 0 3/7 1
2
–2 –4 – 0 1 1 –
1/2
4
0 1 –1 0 3/14 3/7
0 0 –1 0 1 2 1/2
1/2 1 0 0 –1 11/2 1
0 – – 0 0
–28
– – 0 0
1 0 2 3/7
0 1 –1 2/7
– – 56
Таким образом, получен следующий оптимальный план двойственной задачи:
y
Fy
32
*
, , 0;
77
*
( ) 120.
96
Для получения оптимального решения прямой задачи воспользуем-
x
j
x
j
j
ся соотношением из Теоремы 2
Подставив оптимальные значения вектора
*
ные значения вектора
:
m
cayx
jijij
1
i
**
0
.
*
y , получим оптималь-
**
52160 0;
xx
12
3
7
**
34180 0;
xx
12
**
20, 30.
xx
12
2
7
Получен тот же оптимальный план, что и при решении прямой задачи.
4.5.1.Экономическаятрактовкадвойственности
Если прямую ЗЛП (4.11) рассматривать как задачу об использовании сырья (ресурсов), то параметры задачи имеют следующий экономический смысл.
В прямой задаче:
– количество единиц j-го продукта;
c – стоимость единицы j-го продукта;
– ресурс (запас) i-го сырья.
b
i
В обратной задаче:
y – стоимость единицы i-го сырья.
i
Тогда стоимость всех ресурсов
m
by
.
ii
1
i
А стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на выпуск единицы j-й продукции, не меньше окончательной стоимости этого продукта:
m
ayc
ii j
1
i
Если коэффициенты ограничений
точки зрения предприятия эти ресурсы имеют определенную ценность.
Здесь понимается, что те ресурсы, которые предприятие не может использовать полностью, имеют для него низкую ценность (то есть предприятие не согласно нести расходы на увеличение запасов таких ресур-
min
.
b понимается как ресурсы, то с
i
97
сов). Например, дорогостоящее оборудование, не используемое на
j
x
j
j
x
предприятии, имеет для него ценность, равную нулю. А максимальную
ценность имеют те ресурсы, которые используются полностью. На них
предприятие согласно нести расходы. Поэтому можно считать, что любой вид ресурса обладает некоторой «теневой ценой», определяющей
ценность данного ресурса для получения предприятием дохода, равного
разности
(прибыль – затраты). А под оптимальным планом понимается
прибыль
отношение
.
затраты
Определение оптимальных «теневых цен» – основная цель двойственной задачи.
Оптимальное двойственное решение можно интерпретировать как
набор оценок ресурсов, то есть теневые цены. При этом цель прямой задачи – найти сколько и какой продукции
заданных стоимостях продукции
c и объемах имеющихся ресурсов
необходимо произвести при
b .
i
Подобная интерпретация двойственности производится на основе
модели американского экономиста В. Леонтьева «Затраты – выпуск».
Эта модель описывает экономическую систему, состоящую из ряда
взаимосвязанный отраслей, выпускающих один вид продукции, и использующей один вид производства. Производство каждой из отраслей
должно удовлетворять спрос других отраслей и внешних источников.
4.6.Динамическоепрограммирование
Во многих задача ЛП на допустимое множество ограничений накладывается дополнительное условие некоторых переменных
численными могут быть все переменные (полностью целочисленная задача) или часть переменных. Например, число работников-контролеров
в задаче ОТК не может быть не целым.
На практике задачи целочисленного программирования (ЦП) решаются с помощью симплекс-метода, как для обычных ЗЛП. Если в результате решения все искомые переменные будут
целыми, то считается,
что задача решена. В противном случае нужные переменные округляются до ближайшего целого так, чтобы не нарушались ограничения
ЗЛП. Обычно этот способ решения дает хорошее целочисленное решение, близкое к оптимуму целевой функции, но только в случае, если переменные задачи велики. Если же значения переменных малы (например
булевы, 0 и 1), то подобное решение даст неприемлемые результаты.
. Цело-
,
98
В общем случае для задач ЦП наиболее известным является метод
ветвей и границ, а также метод Гомори. Оба эти метода предназначены
как для решения полностью, так и для частичных задач ЦП.
МетодГомори
Запишем ЗЛП в стандартном (каноническом) виде.
n
() min
fx c x
jj
1
j
n
ax bi m
ij j i
1
j
, 1, ,
0 , 1, ,
bim
i
0, 1, ,
xjn
j
xZ
,
j
(4.15)
где Z – множество целых чисел.
Если полностью целочисленная задача ЦП содержит только 2 переменные, то ее можно решить графически. Для этого сначала строится
допустимая область из ограничений, как при обычной ЗЛП. Затем, считая, что допустимая область целочисленной ЗЛП состоит из точек целочисленной координатной сетки, перемещаем графически ЦФ из
оптимальной вершины в ближайшую целочисленную координату. Это и
считается оптимумом целочисленной задачи.
x
2
4
3
2
1
D
x
1
1 2 3 4 5
Рис. 4.4. Графический способ решения задачи ЦП
На рис. 4.4 приведен пример графического решения. Решение
обычной ЗЛП позволило получить оптимальную вершину D {5,5; 1}.
99
Перемещая ЦФ до ближайшей целой координаты x1 в допустимой об-
j
x
j
x
x
x
x
ласти, получаем решение задачи ЦП: точку C {5,1}.
В случае, если координат задачи ЦП больше двух, то графический
способ неприемлем и рекомендуется использовать метод Гомори.
Его основная идея состоит в последовательном отсечении от допустимого множества решений нецелочисленной ЗЛП оптимальных нецелочисленных решений, содержащих точки с целыми координатами.
Эти отсечения производятся включением в задачу дополнительных ог-
раничений на переменные
.
ОписаниеалгоритмаГомори
1. С помощью симплекс-метода находим решение x
бования целочисленности переменных. Если все переменные
то задача решена. Иначе – шаг 2.
,1,
2. Среди нецелых элементов
bi m выбираем любой bk, напри-
i
мер с максимальной дробной частью.
По k-й строке симплекс-таблицы составляется дополнительное ограничение вида
В последней формуле m переменных j
n
{} {}
j
ax b
своб.
kj j k
.
своб. означает, что в сис-
теме m базисных переменных остальные переменные j = m + 1 … n –
свободные.
Также в этой формуле принято обозначение целой [a] и дробной
части {a} действительного числа а:
[] {}aa a
.
*
ЗЛП без тре-
целые,
С помощью вспомогательной
x
0
переменной это ограничение
1
n
представляется в виде равенства
n
{} {}
1
nkjjk
j
ax b
своб.
.
В симплекс-таблицу m вводится дополнительной (m + 1)-строкой с
базисным элементом
:
1n
aab
11,1 1, 1
nnm nnn
...
, (4.16)
где
{ }, { }, 1,
.
1, , 1
, то такая симплекс-таблица перестает соответство-
Так как
aabbjmn
nj kj n k
b
0
1
n
вать допустимому базисному решению (опорному плану).
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]