Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Шаг 2.
77 1 3521
2
f
x
1
()( ,).
fx
77
44
2
2
1
i
1
2
1
i
11 0
Pfx P
() ( ,) (7,7)( , )
;
( ) [ ] ( 392)
11
1
11
fx x
.
1
()
fx
x
i
()
fx
k
x
20
0
x
i
4 4 16 16 16
49 7
32 2
1
() 1
fx
()
fx
2
16
.
Следовательно,
4
.
7
21 1
xx P x
77 4 3521
(,) ( , ) (3,1); * (3,1).
44 7 1616
opt
Проверим условия сходимости итерационного процесса (3.9):
()(2 7, 4 7)
fx x x x x
(2 3 1 7,3 4 7) (0,0) .
12 1 2
2
x
На рис. 3.17 приведены стратегии поиска для метода Коши и сопря-
женных градиентов, а в табл. 3.4 и 3.5 – численные результаты поиска.
Таблица 3.4
Метод наискорейшего спуска (Коши)
Номер
итерации
1
2
3
4
5
6
7
kkk
()( , )
xxx
–1,755
–0,866
–0,879
–0,214
–0,108
–0,107
–0,028
–0,027
–0,013
–0,013
12
–7
–7
1,742
0,215
k
0,25
0,503
0,25
0,497
0,25
0,503
0,25
k
kk
(, )
xx
12
1,748
1,748
2,631
0,873
2,847
1,092
2,953
0,985
2,980
1,012
2,994
0,998
2,998
1,001
61
Метод сопряженных градиентов
f
x
f
f
x
x
f
x
x
Таблица 3.5
Номер
итерации
2
kkk
()( , )
xxx
–7
–7
–3/4
7/4
2
2
1
12
1 2
k
P
–7
–7
–35/16
21/16
1/16 4/7
Метод сопряжен-
ных градиентов
Метод Коши
k
3
k
1
k
kk
(, )
xx
12
7/4
7/4
3
1
Рис. 3.17
3.5.Градиентныеметодывторогопорядка
Рассмотренные выше методы используют информацию лишь о
первых производных целевой функции
(),
xxR
В окрестностях точки локального минимума составляющие гради-
()
fx
енты (частные производные)
делать большее число шагов для попадания в
, 1,
in
малы, поэтому проходится
x
i
-окрестность экстремума.
Ускорить этот процесс помогает использование вторых производ-
ных функции
()
x . Нахождение последнего приближения к экстремуму
по-прежнему осуществляется по формуле
1kk k
xx
.
k
Требуется найти приращение
Пусть ()
пространстве R
x – выпуклая функция, дважды дифференцируемая в
n
.
.
.
n
62
Градиентные методы первого порядка использовали разложение
f
x
f
f
x
f
x
f
x
x
H
x
x
H
x
x
H
H
H
целевой функции
()
x в ряд Тейлора в окрестности точки
k
сыванием нелинейных членов, формула (3.7):
() ( ) ( )
xfx fx x
kk
.
T
Добавив в разложение в ряд Тейлора квадратичные члены, полу-
чим:
Пусть
() () () 0,5 ()
xfx fxx x fxx
x
, тогда
kk Tk
.
1k
1
kkk
( ) () ()
xfxfxx
2
2
,
где
1kk
xx
,
1
kk
1
k
()
fx
()()
xfx
.
с отбра-
Будем предполагать, что в точке
функции, поэтому градиент функции
Перепишем условия, используя
1
kkk
( ) () () 0
fx fx Hx x
.
1k
находится экстремум целевой
1
k
()0
fx
k
()
x – матрицу Гессе.
.
Откуда искомое приращение
. (3.16)
Hx fx
kk
1
() ()
А последовательность приближений к точке экстремума можно по-
строить по формуле
1
kk k k
где
1
k
()
x – обратная матрица Гессе в точке
xHx fx
, (3.17)
1
() ()
k
.
Полученная формула носит название формулы Ньютона.
Замечания
1. Если начальное приближение
0
выбрано удачно, то сходимость
метода на порядок выше сходимости градиентных методов. Поэтому
часто метод Ньютона используется для уточнения экстремума.
2. Сходимость метода Ньютона квадратичная. А само направление
сходимости неоднозначно от итерации к итерации.
Если
Если
Если
k
()
x положительно определена – спуск целевой функции.
k
()
x отрицательно определена – подъем целевой функции.
k
не определена, то нет однозначности в стратегии поиска.
()
x
63
Пример. Дана целевая функция
f
x
ffx
f
x
f
x
() 8 5 4
xxx xx .
22
1212
Найти минимум функции методом Ньютона при начальных усло-
10
0
виях
x
10
. Отметим, что точное решение (0,0).
Решение
Формула метода Ньютона
1
kk k k
xHx fx
1
() ()
Шаг 1. 0k
28 4
xx
25 4
()
Hx
()
fx
12
xx
21
22
2
112
22
10,10
xx
xx x
12 2
200
.
140
.
f
2
16 4
()
Hx
1
()
Hx
10 0 0
xHx fx
.
10 10 4 200 0
1
x
10 4 16 140 0
1
144
410
10 4
1
144
1
() ()
Решение получено за 1 шаг.
Пример. Дана целевая функция
() 2 7 7
xx xxx x x.
Найти минимум функции при
22
121212
0
x
Отметим, что точное решение (3,1).
Решение
Формула метода Ньютона
1
kk k k
xHx fx
.
1
() ()
.
.
416
.
0
методом Ньютона.
0
64
Шаг 1. 0k
ffx
f
x
H
x
f
27
xx
()
fx
()
Hx
12
47
xx
21
22
2
112
22
0,0
xx
xx x
12 2
21
()
Hx
14
.
7
7
.
f
2
.
41
1
()
Hx
10 0 0
xHx fx
.
04173
1
x
01271
1
12
7
1
() ()
1
7
.
.
Решение получено за 1 шаг.
3.5.1.МодифицированныйметодНьютона
Обеспечивает более устойчивую сходимость, чем метод Ньютона.
Метод обеспечивает уменьшение целевой функции от итерации к ите-
1
рации за счет поиска
вдоль направления
k
() ()
xfx
k
методу Коши.
Формула модифицированного метода Ньютона получена на основе
обычной формулы метода Ньютона дополнением адаптивного коэффициента
где
. Формула имеет вид
k
1
kk k
xHxfx
, (3.18)
находится из решения задачи одномерной оптимизации
k
() [ ( ) ( )]
.
k
k
()min()
kk k
kkk
xHxfx
1
() ()
k
.
0
1
k
, аналогично
Замечание
1. Метод устраняет неоднозначность сходимости метода, обуслов-
ленной определенностью матрицы
()Hx .
65
2. Параметр
f
полнение условия поиска по целевой функции
, выбираемый на каждом шаге, и обеспечивает вы-
k
kk
() ( )
xfx
, которое
1
в методе Ньютона может нарушаться.
3. Метод эффективен, если вычисление первой и второй производ-
ных не вызывает сложностей. Вторая сложность метода – построение и
решение уравнения
0
, содержащего матрицу Гессе.
66
4.ЛИНЕЙНОЕПРОГРАММИРОВАНИЕ
j
j
x
Задачей линейного программирования (ЛП) называется оптимизационная задача, в которой целевая функция линейна на множестве линейных ограничений:
() min;
fx c x
n
ax bi mx
ij j i j
1
Ограничения, накладываемые на координаты
ствами и неравенствами (I и II рода).
которым литературным источникам составляет примерно 70 % всех оптимизационных задач. Используется при решении экономических, военных, промышленных и организационных задач. Столь широкое использование объясняется доступностью математического обеспечения
для задач большой размерности и наглядностью
Решение любой задачи ЛП начинается с построения математической модели практической задачи. Это важный и трудоемкий процесс,
своего рода искусство и интуиция.
Построение модели включает следующие три этапа:
1) определение переменных задачи;
2) представление ограничений в виде линейных уравнений или не-
равенств;
3) задание линейной целевой функции и смысла оптимизации.
n
jj
j
1
, 1, , 0.
решений.
(4.1)
, могут быть равен-
4.1.Классическиезадачилинейногопрограммирования
Существует ряд классических задач ЛП, постановки и решения которых известны и формализованы.
4.1.1.Задачатехническогоконтроля
В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают
контролеры 1 и 2 разрядов.
Норма выработки ОТК за 8 часов (день) не менее 1800 изделий:
контролер 1 разряда проверяет 25 изделий/час (точность 98 %).
контролер 2 разряда проверяет 15 изделий/час (точность 95 %).
Заработная плата:
контролер 1 разряда – 4$ / час;
контролер 2 разряда – 3$ / час.
67
Ошибка контролера приносит убыток фирме 2$.
Фирма может использовать не более:
8 контролеров 1 разряда;
10 контролеров 2 разряда.
Требуется выполнить дневной план и минимизировать затраты
фирмы.
Построение модели
1. Введем переменные задачи:
x – число контролеров 1 разряда.
1
x – число контролеров 2 разряда.
2
2. Ограничения на переменные:
а) ограничения по условию задачи:
8;
x
б) в день необходи
1
x
2
мо изготовить 1800 изделий (за 8 часов работы).
8 (25 15 ) 1800,
200 120 1800,
xx
12
xx
12
10;
5 3 45.
xx
12
3. Задание линейной целевой функции.
Расходы фирмы имеют две составляющие:
заработная плата контролеров;
убытки из-за ошибок контролеров.
Таким образом, один контролер соответствующего разряда обхо-
дится фирме:
1 разряд
4 + 2 · 0,02 · 25 = 5 $/ч.
2 разряд
3 + 2 · 0,05 · 25 = 4,5 $/ч.
Запишем целевую функцию затрат на ОТК за 8 часов:
() 8(5 4,5 ) 40 36f xxxxx .
12 12
Итак, вся задача технического контроля может быть сформулиро-
вана следующим образом:
( ) 40 36 min;
fx x x
12
при 5 3 45;
8, 10;
0, 0.
xx
12
xx
12
xx
12
(4.2)
68
4.1.2.Транспортнаязадача
О рациональном перевозе однородных продуктов из пунктов про-
изводства в пункты потребления.
В каждом пункте
Пункт
B потребляет jb количества продукта, 1,j n .
j
A производится ia количество продукта, 1,im .
i
Предполагается, что спрос соответствует предложению:
mn
ab
ij
ij
11
Транспортные издержки перевозки продукта из пункта A
составляют c
.
ij
.
i
Требуется минимизировать транспортные издержки и удовлетво-
рить запросы всех потребителей за счет производства.
Введем переменные
пункта A
в Bj.
i
Математическая постановка задачи имеет вид
x – количество продукта перевозимого из
ij
mn
() min;
fx c x
ij
n
, 1, ;
, 1, ;
x 0.
j
m
i
ij
ij ij
11
xai m
ij i
1
x bj n
ij j
1
в пункт Bj
4.1.3.Задачаодиете
Имеется n различных продуктов. Стоимость каждого продукта со-
ставляет c
Ингредиенты продуктов следующие:
Суточная потребность конкретного человека в энергии, жирах,
белках и углеводах составляет
.
j
калорийность
жиры
белки
углеводы
a ;
2 j
a ;
3 j
a .
4 j
(1,)
ajn ;
1
j
, , , bb bb единиц соответственно.
1234
69
Требуется удовлетворить суточную потребность в энергии, не пре-
j
x
s
s
sss
вышая потребления жиров, белков, углеводов при минимальных затратах.
Пусть
– количество потребления j-го продукта.
Математическая постановка задачи имеет вид
n
() min;
fx c x
nn
jj
11
nn
jj
11
jj
j
1
ax b axb
jj jj
1133
axb axb
jj jj
2244
; ;
; .
4.1.4.Задачаобиспользованиисырья
Изготавливаются два продукта
, ,
ss.
123
Запасы каждого сырья равны
На единицу продукции П
На единицу продукции П
уходит
1
as;
21 2
as.
31 3
уходит:
2
as
12 1
as;
22 2
as.
32 3
П и П
12
, , bb b.
123
a количества сырья
11
;
Требуется так запланировать выпуск продуктов П
из трех видов сырья
:
1
и П2, чтобы до-
1
ход от реализации продукции был максимален при имеющихся запасах
сырья. Считается, что сбыт обеспечен.
Исходные данные задачи удобно представить в виде таблицы.
В табл. 4.1 представлены данные для общей постановки задачи.
Таблица 4.1
Исходные данные задачи об использовании сырья
Вид сырья Запасы сырья
1
2
3
b
1
b
2
b
3
Доход
П
П2
1
a
11
a
21
a
31
c
1
a
12
a
a
c
22
32
2
70
Расход сырья на единицу продукции
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]