Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
2.МОДЕЛИИМЕТОДЫОДНОМЕРНОЙОПТИМИЗАЦИИ
f
K
f
f
Однопараметрическая оптимизация (поиск экстремумов функций
одной переменной) – наиболее простой тип оптимизационных задач.
Эти задачи могут быть как самостоятельными, так и частью более
сложных задач поиска экстремума функции многих переменных.
Напомним постановку задачи одномерной безусловно оптимизации (1.4):
0,
1
1
() min,
xxR.
Ограничения отсутствуют,
JDR
, т. е. задача без огра-
ничений с одномерным вектором. Вид ()
x произвольный.
Методы одномерной оптимизации могут быть разделены на три
группы.
Методы исключения интервалов (сокращение интервала неопре-
1.
деленности).
2.
Методы точечного оценивания на основе полиномиальной ап-
проксимации.
Методы с использованием производных.
3.
2.1.Методыисключенияинтерваланеопределенности
Эта группа методов может использоваться как для непрерывных,
так и для разрывных и дискретных функций, рис. 2.1.
f(x) f(x)
x x
f(x)
x
Рис. 2.1. Типы данных
Методы исключения интервала предъявляют к оптимизируемой
функции единственное требование унимодальности. Кроме того, необходимо иметь возможность определения значений ()
x .
Основная идея интервальных методов основана на теореме исключения интервалов, графическая интерпретация которой приведена на
рис. 2.2.
21
Теорема исключения интервалов. Пусть функция ()
f
x
f
f
f
x унимо-
дальная функция, определенная на
ции. Тогда для
a) если
б) если
в) если
f(x)
*
а
x1 x
x2
12
() () *(,)
xfx xxb;
12 1
() ( ) *(, )
xfx xax;
12 2
() () *(, )
xfx xxx
12 12
b
[,]
xab выполняется одно из условий:
f(x)
x x
x1 x
а
[,]ab
*
, и *x – минимум этой функ-
.
f(x)
x2
b b
а
x1 x
*
x2
x
а б в
Рис. 2.2. Геометрическая иллюстрация теоремы интервалов
Данная теорема дает правило последовательного исключения частей исходного интервала, включающее три этапа:
Установление первоначального интервала неопределенности.
I.
Уменьшение интервала неопределенности по выбранному алго-
II.
ритму.
Оценка экстремума с заданной точностью.
III.
Установление первоначального этапа обычно носит эвристический
характер, на основе опыта и интуиции исследователя, либо из физических характеристик процесса.
II этап – уменьшение границ оптимизации – собственно и включает
сам метод поиска экстремума. Ниже рассмотрены основные методы одномерной оптимизации.
2.1.1.Методполовинногоделения(дихотомии)
Как и все методы одномерного поиска метод дихотомии имеет хорошую геометрическую иллюстрацию, приведенную на рис. 2.3. Первоначальный интервал [,]ab делится на две равные части и заданная точ-
ность нахождения решения ε откладывается в обе стороны от точки деления. Затем интервал поиска сужается в соответствии с теоремой интервалов и
онной процедуры стандартные и определены формулами (1.14).
процедура деления повторяется. Правила останова итераци-
22
x
x
f
f
x
x
L
L
()fx
a x* b
Рис. 2.3. Геометрическая иллюстрация метода дихотомии
Алгоритмизацияметода
Шаг 1. Задание интервала [,]ab и точности вычисления ε.
Шаг 2. Вычисление пробных точек
ab
111
ab
222
2
, ( );
ffx
2
2
, ( );
ffx
2
1nn .
Шаг 3. Если
если
Шаг 4. Если ba
если
Шаг 5.
ba
*min{:(),()}
Шаг 6. Печать результатов
fbx (a – старое значение);
21 2
fax (b – старое значение).
21 1
Шаг 5;
Шаг 1.
xfx fx .
12
*, ( ),
fx n.
*
Замечание 1. Если длина первоначального интервала (начальная
стратегия)
[,]
ab
1
,
то после n итераций интервал (конечная стратегия) сокращается:
1
n
n
2
(2.1)
L
1
/2
23
Замечание 2. Иногда в Шаге 2 алгоритма не используется величина
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
точности, т. е. ε = 0. Логика от этого не меняется, все шаги алгоритма
сохраняются, однако увеличивается количество итераций n.
2.1.2.Минимакснаястратегияпоискаоптимума
Формализуем стратегию поиска оптимума для интервальных методов. В методе дихотомии величина исключаемого интервала зависит от
пробных точек
лесообразно уменьшить интервал в одном и том же соотношении и желательно это отношение сделать максимальным.
Подобную стратегию называют минимаксной стратегией поиска.
Цель подобной стратегии – минимизация максимально возможного интервала неопределенности, в котором находится минимум (максимум)
некоторой функции.
Математически это может быть записано в виде
где – множество стратегий, удовлетворяющих условию максимизации;
– величина интервала после n шагов.
n
Рассмотрим минимаксную стратегию для двух точек
x , т. е. 2n (рис. 2.4).
12
1
и
. Так как местонахождение *x неизвестно, то це-
2
min max ( ),
Lxx
(2.2)
nqq
q
11
1
и
2
,
x1 x2
10
Рис. 2.4. Схема минимаксной стратегии метода дихотомии
Здесь всего два интервала: 2(0)x
критерием (2.2) необходимо сначала найти
Из рис. 2.5 следует, что линия
Но по условию (2.2) нужно выбрать стратегию min
0,5
стратегией является
выполнения условия
L . Это выполняется при
n
x вводится некоторое значение
12
и 1(1 )
ограничивает условие
x
21
. Тогда в соответствии с
max[ 0,1 ]
xx
.
n
21
L , что таковой
n
12
при котором
() (0,5 ) () (0,5 )
fx f fx f
Следовательно, искомая стратегия определяется как
xx L
.
12
(1 ) (1 ) (1 )
.
12
222
22
, ,
n
x
12
0,5xx . Но для
,
x
21
.
24
x
x
x
x
x
x
f
x2 x1 = x2
x1
0 1
Рис. 2.5. Схема минимаксной стратегии в плоскости пробных точек
При практическом использовании минимаксной стратегии для двух
точек даны такие рекомендации:
1)
точки
1
и
следует размещать на одинаковом расстоянии от
2
середины интервала (симметричная схема);
размещение пробных точек
2)
1
и
необходимо выполнить так,
2
чтобы отношение длины исключаемого интервала к длине интервала
поиска была величиной постоянной.
2.1.3.Методзолотогосечения
На основе минимаксной стратегии более эффективны схемы сокращения интервала неопределенности. Это достигается делением интервала на неравные части.
На рис. 2.6 графически приведены два первых шага сокращения
интервала поиска в методе золотого сечения.
τ 1 – τ
τ
0 1
x1 x2
0
x1 x2
Рис. 2.6. Геометрическая иллюстрация метода золотого сечения:
а – сокращение интервала неопределенности на начальном шаге;
б – сокращение интервала неопределенности на втором шаге
Рассмотрим сокращение интервала неопределенности.
1. Пусть задан интервал единичной длины.
Точки
1
и
выбраны в соответствии с рекомендациями 1 мини-
2
максной стратегии.
Пусть
xfx ,
21
0, 4x
1
и
0,6x
2
, исключаем интервал 2[,1]x,
() ()
так как ищем минимум.
2. Рассмотрим интервал
Выберем вторую точку x
[0, ]x.
2
в соответствии с рекомендацией 2 мини-
2
максной стратегии и запишем отношение исключаемого интервала ко
всей длине интервала, т. е.
25
1(1)(1)
L
x
x
1
2
2
… .
Так как в числителе длина исключаемого интервала, то с одной
стороны (из числителя) она равна (1 )
, а из рисунка (1 )
.
Исходя из этого равенства запишем уравнение для нахождения τ:
,
(1 ) (1 )
2
21
,
2
Положительный корень этого уравнения
10.
(1 5)
0,61803
2
Схема поиска, при котором пробные точки делятся в таком отношении, называются методом золотого сечения.
Замечания
1. Схема сокращения интервала неопределенности приведена на
рис. 2.7.
L1
.
L4
L3
Рис. 2.7. Геометрическая иллюстрация сокращения интервала
в методе золотого сечения
L5
L2
Длина интервалов от шага к шагу уменьшается в одном и том же
отношении
:
LLL
1
23
LLL
234
...
.
2. После n шагов величина интервала
11N
3. Любой интервал
валу. Если [, ]
ab , то перейдем к новой переменной
[, ]ab
n
может быть сведен к единичному интер-
. (2.3)
()
y
()
ba
L
a
.
Перепишем пробные точки с учетом введенной величины
12
()(1); ().x a ba x a ba
26
:
4. В методе золотого сечения отношение интервалов постоянно и
f
L
L
f
x
L
L
L
равно ≈ 0,61803. Однако существует метод Фибоначчи, в котором это
отношение меняется как числа последовательности Фибоначчи:
FF FF F
, {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…}.
01 1 2
Отношение интервалов в методе равно
1,
kk k
F
11n
, т. е. {1/2, 1/3, 2/5, 3/8,
F
n
5/13…}.
2.1.3.Методравномерногопоиска
На интервале [,]ab (рис. 2.8) выбирается k равноотстоящих точек и
в них вычисляются значения функции ()
a x1 x2 x3 … b
Рис. 2.8
Если
– длина интервала
1
[,]ab
x .
, то длина каждого частичного ин-
тервала равна
1
. Сравнивая значения функции ()
x , выбираем такое
k
значение функции, при котором
интервал
вал
вновь делится на k частей и процесс сокращения интервала про-
2
11
xx
kk
L
,
, т. е. длина интервала
min( ( ))
fx . Далее рассматривается
k
k
2
L
. Далее интер-
2
1
k
должается до тех пор, пока не будет выполнено условие останова (1.11).
2.1.4.Сравнительныйанализметодовисключенияинтервалов
В соответствии с введенными выше характеристиками алгоритма
оптимизации сравним методы поиска минимума функции одной переменной по двум характеристикам:
скорость сходимости (сходимость);
число шагов k получения минимума с точностью ε (эффектив-
ность).
27
Пусть показателем скорости сходимости будет величина
LNL
L
K
()
N
. (2.4)
1
Тогда для интервальных методов одномерного поиска существуют
следующие оценки.
Метод половинного деления
() 0,5
N
1
L
1
/2
N
.
/2
N
0,5
L
Метод золотого сечения
1
N
() 0,618 .
N
1
N
1
Метод равномерного поиска
1
n
.
()
222
L
N
(1) 1
NLN K
1
1
Для нахождения числа шагов N воспользуемся тем же соотношением
()
LN
.
1
N
Приравняв правую часть уравнения заданной точности ε, можно
получить следующие соотношения:
1. Метод половинного деления
2ln()
N
, 0,5 ,
/2
N
ln(0,5)
следовательно
N
ln ln 0,5.
2
2. Метод золотого сечения
N
1
ln( )
ln(0, 618)
.
3. Метод равномерного поиска
2ln()
NN
1, 1
2
ln
.
В табл. 2.1 приведены количественные характеристики интервальных методов.
28
Таблица 2.1
x
f
f
Основные характеристики интервальных методов
α(N)
N(ε)
Метод
Половинного
деления
N = 2 N = 5 N = 10 ε = 10
–1
ε = 10
0,5 0,177 0,031 7 14 26
–2
ε =
10
4
Золотого сечения 0,618 0,147 0,013 6 11 18
Равномерного поиска 0,0016
510
7
4 6
2.2.Методыточечногооценивания
При рассмотрении методов исключения интервалов к оптимизируемой функции предъявлялось лишь одно требование – унимодальность. Если увеличить количество требований, то можно построить более эффективные алгоритмы поиска.
Потребуем от целевой функции выполнения свойств унимодальности и непрерывности на интервале определения
[,]ab .
Основная идея этой группы методов связана с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом. Затем полученный полином,
как легко дифференцируемая функция, используется для оценки экстремума.
Метод базируется на теореме Вейерштрасса.
Теорема. Любая непрерывная на интервале [,]ab функция может
быть аппроксимирована на нем полиномом с любой степенью точности.
Точность аппроксимации достигается либо увеличением степени
полинома, либо уменьшением интервала аппроксимации. На практике
редко используют полином выше 3-й степени, а вот уменьшение интервала – конструктивный путь.
Методквадратичнойаппроксимации(методПауэлла)
Для построения квадратичного полинома необходимы три точки:
, ,
xx. Значение функции в этих точках:
123
()ffx . Обозначим полином ()gx:
33
() () ()( )gx a a x x a x x x x . (2.5)
01 1 2 1 2
В формуле (2.5) неизвестными являются коэффициенты интерпо-
ляции
, , aaa
012
.
( ), ( ),
fx f fx
112 2
29
ляции
x
f
x
f
x
f
f
x
Введем критерий интерполяции () ()
gx f x.
ii
На основе введенного критерия найдем коэффициенты интерпо-
, , aaa:
012
xx f gx a
xx f a a x x gx
, ( ) ;
11 1 0
, ( ) ( );
220121 2
, ()()()().
xfaaxxaxxxxgx
33013123132 3
Следовательно
af ,
01
f
a
21
1
,
x
21
1
a
2
xxxxx
32 31 21
fff
31 21
Для оценки точки оптимума функции ()
точку для аппроксимированной функции ()gx
'( ) ( ) ( ) 0gx a a x x a x x
12 2 2 1
.
x найдем стационарную
из условия '( ) 0gx .
.
Отсюда уравнение для нахождения стационарной точки
12 12
(2 )aa xxx
= 0.
Следовательно, стационарная точка по методу Пауэлла определяется следующим соотношением
*
x
ст
axx
112
22
a
2
. (2.6)
Пример
Найти экстремум методом Пауэлла для функции
16
() 2 , [1, 5]fx x x
.
2
x
Пусть
1, 5, 3xx x.
12 3
Значения функции в этих точках:
18; 23,33; 53,2ff f .
12 3
Запишем квадратичную аппроксимацию:
axx
*
x
112
22
a
2
.
Отсюда
fffff
21 31 21
aa
12
21 32 31 21
,
xxxxxxx
2,665, 3,067aa.
12
1
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]