Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы конструирования и технологии производства РЭС. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
41
ПРИЛОЖЕНИЕ 7. Методы активного эксперимента
)n,1j(x
бi
j
или xD+-
n
2N
Номер
опыта
0
x
1
x
2
x
Значения
выходной
величины
1
2
3
4
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
+
1
y
2
y
3
y
4
y
0
x
0
b
1
x
2
x
3
x
2
2
3
x
3
x
4n
Планирование и обработка результатов активного эксперимента
Если объект исследования (конструкции РЭС, технологические процессы) допускают
целенаправленное изменение наиболее существенных входных параметров (факторов), то
применяют активный эксперимент.
По результатам активного эксперимента обработанным методом регрессионного
анализа, получают полиноминальную математическую модель.
Факторами будем называть наиболее существенные входные величины. Область
определения фактора, т.е. совокупность всех значений, которые может принимать данный
фактор может быть непрерывной и дискретной. В задачах планирования активного
эксперимента всегда выбираются дискретные множества уровней. Фактор должен быть
управляемым (поддерживаемый постоянным в течении опыта), однозначным, измеряемым с
достаточной точностью, между ними не должно быть линейной корреляции.
Как правило при активном эксперименте факторы варьируются на двух уровнях
(верхнем «+» и нижнем «-») отличающихся от базового уровня
на значение шага
варьирования
.
Эксперимент, при котором реализуются все неповторяющиеся сочетания уровней
факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Число точек наблюдений в
этом плане
, где n- число факторов, варьируемых на двух уровнях. Условия
эксперимента представляют в виде таблицы, называемой матрицей планирования, где строки
соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов.
Ниже приведена матрица планирования при n=2.
Таблица 7.1
В план эксперимента введена фиктивная переменная
определения
к плану ПФЭ
. Для того, чтобы получить план эксперимента для трех факторов
добавляют один столбец, в котором фактор
уровне и повторяют этот план, когда
варьируется на верхнем уровне. Такая же процедура
, которая служит для
,
,
,
варьируется на нижнем
и для
и т.д.
42
Ниже приведена матрица планирования для n =3
Номе
р
опыта
0
x
1
x
2
x
3
x
l
y
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
y
j
x
ji
x
)m,1g(y
g
Номер
опыта
Полуреплика 1
x3=x1x
2
Полуреплика
2
x3=-x1x2
X1X2X
X1X2X3
1
2
3
4
3n
2
2
21
xx
3 1 2
x x x=
132
3
2
3 1 2
x x x=-
3
x
321
xxx1
321
xxx1
321
xxx1
3232211
xxxxxx
1x
2
1
0 1 1 2 2 12 1 2
y x x x x
21
2
32133132212
xxxxxx;xxxxxx
X1 X3 X1 X
2
X
3
X
2
+
+
-
+
-
+
+
+
-
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
Таблица 7.2
В тех случаях, когда эффект фактора
другой фактор, имеет место взаимодействие факторов
зависит от уровня на котором находится
для оценки которого вводят ещё
один столбец произведения этих факторов. Так как выходная величина носит случайный
характер, то эксперимент проводится с nпараллельными опытами и определяется среднее
значение выходной переменной yпо каждой строке матрицы планирования
.
Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызываемых наличием помех,
используется случайная последовательность при постановке опытов.
Число опытов в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов
модели, что приводит к большой избыточности опытов. В этом случае используют дробный
факторный эксперимент (ДФЭ).
Таблица 7.3
Рассмотрим процедуру построения дробного факторного эксперимента для
исходя из плана
Полученный дробный план
вторая полуреплика. Символическое произведение трёх столбцов
называются определяющим контрастом, который позволяет определять смешанные эффекты.
Так если
Модель линейная , если
Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками уравнения:
вместо парного взаимодействия
является полурепликой ПФЭ
, то будем иметь
т.к.
.
.
вводим фактор
если
и
- то
,
.
есть
-
43
123113222311
b;b;b
.
15n
3n
2
y
s
0
x
)n,1j(xj
j
j,бj
j
x
xx
x
j
x
j,б
x
гоj
j
x
гоj
Не рекомендуется использовать ДФЭ для
.
Композиционные оптимальные планы для квадратичных моделей
Если линейные модели построенные с помощью ПФЭ и ДФЭ, неадекватны, то
переходят к построению квадратичных моделей.
Оптимальный план для квадратичной модели целесообразно строить таким образом,
чтобы он включал точки плана для линейной модели. Это позволяет сократить число опытов
Такие планы называются композиционными планами второго порядка и помимо ядра
плана, в качестве которого могут использоваться планы ПФЭ или ДФЭ, включают звёздные
точки и нулевые центральные точки.
Рассмотрим подобный план для
-числа факторов (рис.7.1). Здесь 1,2,3,4,5,6,7,8-
точки ядра плана, 9,10,11,12,13,14- звёздные точки расположенные на расстоянии от
центра плана число их равно n2, 15 точка в центре плана.
Рис. 7.1. Ортогональный позиционный план
Критерии ортогональности и ротатабельности
Критерий ортогональности – независимость столбца плана друг от друга. Замена
путём любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок, оставшихся
коэффициентов. Критерий ротатабельности требует такого расположения
экспериментальных точек в области планирования, при котором дисперсия
оценка
значений выходной переменной в точке наблюдения зависит только от расстояния от этой
точки до центра плана и
согласуется с требованием равнозначности всех направлений от
центра плана.
Основные расчётные формулы
Полный и дробный факторный эксперимент.
1.Преобразование факторов
, где
уровень
фактора;
- верхний или нижний уровень варьирования;
- шаг варьирования
в безразмерные величины
- базовый
фактора.
44
В матрице планирования +1 и -1 сокращенно <+> и <->.
2
imax
max
N
2
l
l1
S
G
S
=
=
е
2
l
S
y
~
2
m
2n
l lg l
y1
1
S ( y y ) ;N 2
m1
=
= - =
-
е
max крат
G G ( из таблицы)<
)1m(f
1
2
fN=
1 1 2
00
N
l
lN
y
y y ...y
или
NN
1 1 2 2
1
N
lj l
j j jN N
l
jj
zy
z y z y ...z y
или
NN
1 1 1 2 2 2
1
N
lj li l
j i j i
l
ij ij
z z y
z z y z z y ...
или
NN
n...2,1j
ji
ij
z
j
jj
2St
NN
22
2
ll
y
22
l 1 l 1
jy
2
SS
S
S,где S
Nm N m N
b
==
= = =
ее
критрасч
tt
)1m(Nf
2
y
2
ag
расч
S
S
F
22
1
1
N
ag l l
l
S ( y y )
Nd
)1m(Nf,dNf
21
критрасч
FF
2.Проверка воспроизводимости опытов по критерию Кокрена
, где
- выборочная дисперсия выходной величины
матрицы планирования из m параллельных опытов
по l-ой строке
если
,
при числе степеней свободы
и
уровне значимости q, %, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.
3.Оценки коэффициентов уравнения регрессии рассчитываются по формулам:
,
,
,
где
соответствующее оцениваемым взаимодействиям,
(n – число линейных элементов), индекс
- значения факторов в условных
принимает значение
переменных (+1 или -1).
4. Гипотеза о статистической значимости коэффициента по критерию Стьюдента:
заданном
если
при
то данный коэффициент статистически значимый.
6. Проверка гипотезы об адекватности модели по F-критерию Фишера:
, где d – число членов аппроксимирующего полинома
Если
гипотеза об адекватности математической модели принимается.
45
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
2
0 при x 0 и при x 4
f ( x )
( x 4 ) 5
при 0 x 4
100
м
<>
п
п
п
п
=
н
- - +
п
ЈЈ
п
п
п
о
3x
0 при x 0 и при x 10
f ( x )
10xe при 0 x 10
-
м
<>
п
п
=
н
п
ЈЈ
п
о
2
0 при x 0 и при x 2
f ( x )
x5
( ) 1 при 0 x 2
50
м
<>
п
п
п
=
н
-
п
- + Ј Ј
п
п
о
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1
Вариант №1
1. Плотность вероятности:
2. Случайные величины x и y:
x= (10 13 15 17 9 16 12 14 11 13)Т
y = (22 27 23 28 27 20 19 27 30 21)Т
3. Случайная величина z :
z = (8 11 10 21 9 12 11 15 10 18 14 15 16 19 17 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 21
9 10 17 16 18 17 15 16 17 18 24)
Вариант №2
1. Плотность вероятности:
Т
2. Случайные величины x и y:
x= (6 9 12 15 19 14 17 18 11 7)Т
y = (32 37 33 38 37 30 39 37 30 31)Т
3. Случайная величина z :
z = (3 4 7 8 9 9 12 14 15 15 17 23 24 26 24 25 24 27 29 30 30 29 30 28 27 26 23 22 27 26
25 25 29 31 34 39 38 37 38 35 )
Вариант №3
1. Плотность вероятности:
2. Случайные величины x и y:
x= (2 0 3 1 4 5 1 2 3 4)Т
y = (12 17 23 18 17 20 19 17 10 21)Т
3. Случайная величина z :
Т
46
z = (11 11 13 18 21 21 22 23 25 29 29 32 37 38 37 36 38 37 38 34 35 34 35 39 42 41 45 45
5x
0 при x 0 и при x 4
f ( x )
50xe при 0 x 4
-
м
<>
п
п
=
н
п
ЈЈ
п
о
2
0 при x 1 и при x 2
f ( x )
x 0.5x 2 при 1 x 2
м
< - >
п
п
=
н
п
- + + - Ј Ј
п
о
0 при x 0 и при x
f ( x )
xsin x / 5 при 0 xpp
м
<>
п
п
=
н
п
ЈЈ
п
о
48 49 50 51 51 55 59 58 37 59 57 60)Т
Вариант №4
1. Плотность вероятности:
2. Случайные величины x и y:
x= (1 3 5 7 9 6 2 4 1 3)Т
y = (32 27 33 28 37 30 39 37 40 31)Т
3. Случайная величина z :
z = (22 26 29 27 30 31 34 39 42 42 48 49 49 48 51 50 50 48 51 50 51 54 57 59 61 62 62 63
28 31 30 38 50 65 67 69 70 71 75 76)
Вариант №5
1. Плотность вероятности:
Т
2. Случайные величины x и y:
x= (14 12 19 12 9 18 12 14 16 13)Т
y = (29 27 25 22 21 20 19 27 24 21)Т
3. Случайная величина z :
z = (9 9 10 11 11 13 15 17 21 23 27 29 30 31 30 32 34 33 34 35 37 38 36 36 38 39 41 42 45
45 49 49 51 51 53 52 33 39 55 56)
Т
Вариант №6
1. Плотность вероятности:
2. Случайные величины x и y:
x= (20 23 24 28 29 26 22 24 21 23)Т
y = (2 7 3 8 7 2 9 7 3 1)Т
3. Случайная величина z :
z = (13 16 15 26 14 17 16 20 15 23 19 20 21 24 22 17 16 19 20 21 22 23 24 25 27 28 28 29
34 35 42 41 43 49 49 51 53 53 54 54)
Т
47
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
008.00
0007.0
8.0000
07.000
R
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
005.00
0003.0
5.0000
03.000
R
Вариант №1
Коэффициенты уравнения
b1=1 b2=2 b3=2 b4=1
Значения входных величин Xi
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(1 1 1 1)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.04 0.04 0.04 0.04)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
Вариант №2
Коэффициенты уравнения
b1=1 b2=2 b3=3 b4=4
Значения входных величин Xi
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(1.5 1.5 1.5 1.5)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.05 0.05 0.05 0.05)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
48
Вариант №3
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
007.00
0007.0
7.0005.0
07.05.00
R
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
008.00
0009.0
8.0002.0
09.02.00
R
Коэффициенты уравнения
b1=1 b2=2 b3=2 b4=2
Значения входных величин Xi
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(1 1 1 1)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.06 0.06 0.06 0.06)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
Вариант №4
Коэффициенты уравнения
b1=2 b2=2 b3=3 b4=5
Значения входных величин Xi
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(2 2 2 2)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.07 0.07 0.07 0.07)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
Вариант №5
Коэффициенты уравнения
b1=2 b2=3 b3=4 b4=5
Значения входных величин Xi
49
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
01.04.00
1.0002.0
4.0000
02.000
R
1x1x1x1x
4
0
3
0
2
0
1
0
008.00
0009.0
8.0000
09.000
R
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(3 3 3 3)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.03 0.03 0.03 0.03)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
Вариант №6
Коэффициенты уравнения
b1=3 b2=2 b3=2 b4=3
Значения входных величин Xi
Математические ожидания входной величины Mx
Mx=(1 1 1 1)Т
Дисперсии входной величины Dx
Dx=(0.08 0.08 0.08 0.08)Т
Матрица коэффициентов парной корреляции R
50
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №3
Вариант №1
Метод моментов
Входные значения сопротивлений:
Z1=(50 55 55 48 55 50 49 53 52 50)
Т
Z2=(50 48 45 50 50 52 51 50 51 55)Т
Метод статистических испытаний
Mx = 1 Sx = 0.2
Вариант №2
Метод моментов
Входные значения сопротивлений:
Z1=(70 75 75 78 75 70 79 73 72 70)
Т
Z2=(70 78 75 70 70 72 71 70 71 75)Т
Метод статистических испытаний
Mx = 2 Sx = 0.4
Вариант №3
Метод моментов
Входные значения сопротивлений:
Z1=(56 51 50 47 51 50 57 50 52 56)
Т
Z2=(47 49 55 50 54 47 53 50 53 50)Т
Метод статистических испытаний
Mx = 3 Sx = 0.3
Вариант №4
Метод моментов
Входные значения сопротивлений:
Z1=(69 71 73 75 68 70 74 73 71 71)
Т
Z2=(73 78 76 71 71 74 73 71 72 75)Т
Метод статистических испытаний
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]