Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы конструирования и технологии производства РЭС. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
31
где j – номер выходной величины;
)n,...2,1(j
)N,...2,1(l
1j1y
,
i
y
jl
x
yиx
xy
S,S
y
j
x
j
N
1l
2
ml
N
1l
m211m
N
1l
2l11m
N
1l
1mlyl
N
1l
mll1
N
1l
ml2l1
N
1l
2
2
l1
N
1l
1l1yl
...
...
mm2211y
...
j
y
0y
S
S
g =
N
2
эl
l1
y
( y y )
S
N1
=
-
=
-
е
N
2
эl l
l1
0y
( y y )
S
Nd
=
-
=
-
е
l
y
, l – номер изменения выходной
величины
– значения соответственно величин
;
и
в стандартизованном масштабе;
– средние значение величин;
– среднеквадратическое отклонение величин
и
; N – общее число
наблюдений.
Для вычисления оценок коэффициентов
на основе метода наименьших квадратов
составляется следующая система уравнений:
4.8)
где число уравнений равно m.
Система уравнений решается на ЭВМ. Уравнение регрессии в стандартизованном
масштабе имеет вид:
. (4.9)
В результате решения находят искомые оценки коэффициентов
уравнения
регрессии в стандартизованном масштабе.
Полученное математическое описание в виде уравнения регрессии показывает, как
изменяется положение среднего значения выхода с изменением входных величин.
Оценку работоспособности метода дает коэффициент множественной корреляции R.
Считается нормальным , если R=0.8-0.9.
На практике можно использовать коэффициент , который показывает, во сколько раз
уменьшается интервал ошибки предсказания при переходе от предсказания выходной
величины по среднему значению к предсказанию по эмпирическому уравнению регрессии:
;
где Sy – среднеквадратическое отклонение выходной величины y, которое
рассчитывается по формуле:
;
yэl – экспериментальное значение выходной величины y в l-й точке наблюдения; y -
соответствующее среднее значение выходной величины; S0y - среднеквадратическое
отклонение выходной величины y относительно ее значений, полученных по уравнению
регрессии в натуральном масштабе:
;
- рассчитанное по регрессионной формуле значение выходной величины y в l-й
точке наблюдения; d – число членов в уравнении регрессии.
32
2
4
6
0.2
0.4
0.6
0.8
R
Рис.4.5. Графическая зависимость R от .
Уравнение регрессии имеет практический смысл, если 2.
33
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Поиск экстремума
( x) max
12 n
x ( x ,x ...x )
( x )
( x ) max
Gx
Задачи оптимизации без ограничений
Задачи синтеза конструкций и технологических процессов часто носят
оптимизационный характер, поскольку направлены на выбор варианта, обеспечивающего
наилучшие технико-экономические показатели, такие как масса, объем, электропотребление,
диапазон частот, быстродействие, чувствительность, коэффициент усиления, полоса
пропускания, дальность действия, выходное напряжение, точность, электромагнитная
совместимость, безотказность, долговечность, ремонтопригодность, вибропрочность,
виброустойчивость, ударопрочность, влагостойкость, уровень унификации и
миниатюризации, технологичность, себестоимость и т. д..
Наиболее распространены следующие виды таких задач:
■ оптимизации без ограничений - задача поиска экстремума целевой функции Y(x),
где X=(х1,x2,...,хn) – вектор оптимизируемых параметров. Целевая функция
формализует связь между технико-экономическими
показателями и оптимизируемыми параметрами. Для решения данной задачи
используются классические методы поиска экстремума и итерационные поисковые
алгоритмы:
■ математического программирования - задача поиска условного экстремума целевой
функции на некотором множестве допустимых решений. Этот вид наиболее часто
встречается в конструкторской и технической практике;
■ экстремальные задачи в условиях неопределенностей характеризуются
неопределенностями в описании случайных воздействий на конструкцию и
технологические процессы, множеством ограничений в выборе целевой
функции. Для их решения применяются стохастические методы оптимизации.
В данной работе подробно изучаются задачи первого типа и методы их решения.
Наиболее распространены следующие задачи оптимизации:
Без ограничений:
, где
(вектор оптимизируемых
параметров),
- целевая функция, формализующая связь между технико-
экономическими показателями и оптимизируемыми параметрами. Для ее решения
используются классические методы поиска экстремума;
математического программирования
,
, где G – множество
допустимых решений. Если целевая функция и функции описывающие ограничения
линейны, то используется линейное программирование. Если целевая функция и функции
описывающие ограничения нелинейные, то используются методы нелинейного
программирования.
34
Классические методы поиска экстремума
1.
)x(F
2.
1
xxx
3.
)(xl
линейная
функция,
если
)x(l)x(l)xx(l
)x(cl)cx(l
2121
пример:
baxxl )(
4. Дифференциал
функции
0
))xx((
д
д
5.
( x )
- экстремум в
точке х=х*,
если
0d
.
1.
)]([ xyVF
2.
)()(
1
xyxyy
3. Линейность функционала
))x(y(L))x(y(L))x(y)x(y(L
))x(y(cL))x(cy(L
2121
пример:
1
0
x
x
dx)yx()gy)x(p())x(y(L
4. Вариация функционала
)]([ xyV
равна
0
)y)x(y(V
д
д
5.
)]([ xyV
экстремум при
y=y*(x)
0V
0)x(X
X
0
д
д
......
0
дx
д
n
1
0)( XXHX
T
)(XH
X)X(HX
T
Таблица 5.1
Основные свойства и условия экстремума функций и функционалов:
Решение задач оптимизации без ограничений
Для функций многих переменных необходимое условие экстремума имеет вид
где
Если при этом будут выполняться и достаточные условия экстремума:
это достаточное условие экстремума (максимума), где
матрица размера n x n вторых производных функции (x), вычисленных в точке х*,(где х -
столбец аргументов), то решение системы (5.1) будет служить решением соответствующей
оптимизационной задачи. Исследование выполнения условия (
достаточно сложно, часто вместо этого проводят исследование поведения функции Y= (x)
вблизи точки экстремума х* для выяснения вопроса, является ли она точкой максимума,
минимума или седлообразной точкой.
- обозначение градиента функции,
,
или
(5.1)
-
- вещественная симметричная
) на практике
35
Оптимизация функционалов
1
0
,dx)x(y)]x(y[V
0
V [ y( x )] V [ y( x ) y ]
a
d ad
a
=
¶
=+
¶
0
dy( x ) y( x x )
a
aD
a
=
¶
=+
¶
1
0
x
x
,dx))x(y),x(y,x(F)]x(y[V
))(),(,( xyxyxF
1
0
x
x
yy
0ydx)F
dx
d
F(
yy
FиF
0yFyFFF
yyyyyxy
0)uF(
dx
d
u)F
dx
d
F(
yyyyyy
Понятие функционала и необходимое условие его экстремума
Понятие функционала есть обобщение понятия функции. Числовая функция y=f(x) -
есть отображение некоторого числового множества G на некоторое множество G1, ставящее
каждому числу хG в соответствие некоторое число уG1. Функционал V[y(x)] - есть
отображение, ставящее каждой числовой функции у(х), принадлежащей определенному
классу (например, классу непрерывных функций) в соответствие некоторое число, т.е.
функционал отображает некий класс F числовых функций на числовое множество G. В
качестве примера функционала можно привести, например, функционал вида
ставящий в соответствие любой интегрируемой на отрезке [0,1] функции
число, равное интегралу от неё по указанному отрезку.
Приращением, или вариацией, аргумента функционала dy называют разность между
двумя функциями, принадлежащими классу, на котором определен функционал: dy=y(x)-
y1(x) (по аналогии с приращением аргумента числовой функции), вариация функционала
(аналог дифференциала числовой функции) есть величина
для сравнения, дифференциал числовой функции
, (5.2)
.
Необходимое условие экстремума функционала аналогично такому условию для
числовой функции, а именно, если функционал V[y(x)], имеющий вариацию, достигает
экстремума при аргументе у*(х), то при у=у*(х) выполняется условие
dV=0. (5.3)
В радиотехнике достаточно распространены задачи на оптимизацию, связанные с
оптимизацией функционалов вида
где функция
трижды дифференцируема и для любого функционального
(5.4)
аргумента граничные точки допустимых кривых фиксированы: у(х)=у0, y(x1)=y1 (задача
Лежандра).
Необходимое условие экстремума функционала (5.3) имеет вид
где
- частные производные функции по соответствующим переменным.
, (5.5)
Условие (5.5) можно записать в виде:
,
Интегральные кривые решения уравнения Эйлера y=y(x,C1,C2) называют
экстремалями - только на них может достигаться минимальное или максимальное значение
функционала (5.4). Однако, чтобы установить, в действительности ли на них достигается
экстремум, и определить его вид, необходимо исследовать следующие достаточные условия
экстремума:
1) условие Якоби: решение уравнения
(уравнение Эйлера).
, (5.6)
36
которое должно обращаться в нуль в точке x0 пучка экстремалей
12
y( x,C ,C )
,0
yy
F
.0
yy
F
и больше не
обращалось в ноль ни в какой другой точке отрезка [x0, x1], на котором задан функционал.
2) условие Лежандра:
в случае максимума функционала
в случае минимума функционала
Некоторые справочные сведения
1. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения
имеет вид:
где к=а1/2, А и В - константы интегрирования, определяемые из начальных условий.
2. Функция u(х)=СSinax - периодическая; её период равен 2π/а. Нули функции - числа
вида m π /a, m=0,± 1,±2,±3,... .
у" + ау=0
у(х)=АCosкx+ВSinкx,
37
ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Анализ стабильности РЭС
i 1 l n
x z ,...,z ,...,z
( 1, )
l
z l L
il
xz
l
z
nb
z z z
j x l
x K z
x
K
x
MK
x
DK
H
ll
z z z
H
j j l
x x z
zx
M x M k z
2
zx
D x D k z
z
M ( y )
z
D ( y )
N N N N
z j z j jk jk z j z k jj z j
j 1 j 1 k 1 j 1
11
M y A M x A R x x A D x
22
N N N
2
z j z j j k jk z j z k
j 1 j 1 k 1
D y A D x A A R ( x ) x
jk
В процессе производства, эксплуатации РЭС на них оказывают влияния различные
воздействия. Наиболее характерные виды воздействий тепловые, механические, влияние
влаги.
Под влиянием этих воздействий изменяются внутренние (входные) параметры РЭС xi
,которые в общем случае могут быть описаны детерминированными моделями:
,
где
- внешние (дестабилизирующие) воздействия.
Внешние воздействия вызывают обратимые изменения параметров, постепенные
необратимые и внезапные необратимые. Первые два класса изменений учитываются при
оценке стабильности. Анализ постепенных и внезапных необратимых изменений позволяет
оценить закономерности изменения свойств конструкции при длительном
функционировании по показателям надежности.
Анализ стабильности при обратимых изменениях параметров
Способность конструкции РЭА сохранять во времени свои параметры в пределах
установленных знаний при влиянии внешних воздействий называется стабильностью.
Обычно при анализе стабильности указывается конкретный вид воздействия, по отношению
к которому определяется этот показатель. Тогда обратимые изменения параметров
определяются зависимостью
(6.1)
Для одноименных элементов конструкции РЭС имеется случайная реализация
зависимости
которых зависимость (6.1) аппроксимируется линейной
коэффициент
,которые, в общем случае, различны для каждого интервала:
.При этом выделяются интервалы внешнего воздействия
, где линейный
является случайной величиной с числовыми характеристиками
, на
и
;
.
Используя числовые характеристики линейных коэффициентов, можно определить
математическое ожидание и дисперсию изменения первичных параметров под действием
внешнего воздействия z:
;
. (6.2)
Числовые характеристики выходного параметра относительно начального значения
при изменении внешнего воздействия на величину z
и
вычисляются по
формулам, аналогичным формулам при оценке точности вероятностным методом:
,
)
,
в двойных суммах последних формул следует учесть
.
На практике наиболее распространенным и значимым по интенсивности
дестабилизирующем фактором является температура. Для большинства элементов
38
конструкции РЭС принята аппроксимация зависимости параметра x от температуры t0 двумя
0
x / Tx
x
, ( ); , ( );
н н в в
M D M D
2
00
x н x н
нн
M K M x ,D K D( ) x ;
2
00
x в x в
вв
M K M x ,D K D( ) x
T H T H T В T В
M ( y ) , D ( y ) ; M ( y ) , D ( y )
гр
y
отк
t
()
отк
P t t
прямыми на интервалах: -200С – Тн , 200С – Тв (рис. 6.1)
Рис. 6.1. Аппроксимация нелинейной температурной зависимости параметра x
двумя прямыми.
В этом случае используют статистические характеристики линейного температурного
коэффициента
, где
изменение параметра x относительно номинального
значения x0 при изменении T на ΔT , для нижнего αн и верхнего αв интервалов:
Для этих интервалов определяют
,
и по формулам (6.2) и (6.3) определяют соответственные характеристики выходного
параметра
.
Основные понятия надежности РЭС при длительном функционировании
Внезапные и постепенные отказы
Внезапные отказы – скачкообразные изменения одного или нескольких параметров.
Они бывают из-за дефектов элементов РЭА, из-за накапливания необратимых изменений
состояния элементов.
Постепенные отказы – постепенное изменение значения одного или нескольких
параметров, связанное с достижением параметром y граничного значения
.
Надежность – это свойство РЭА выполнять заданные функции с заданными
характеристиками в определенных условиях для определенного промежутка времени.
Состояние аппаратуры, при котором она выполняет заданные функции с заданными
характеристиками, называется – работоспособностью. Свойство РЭА сохранять
работоспособность в течение некоторого заданного промежутка времени называется –
безотказностью.
Поскольку отказ случайное событие, то интервал времени от момента включения РЭС
до первого отказа (наработка) представляет случайную величину
. Основной
количественной характеристикой безотказности принято считать вероятность безотказной
работы на заданном интервале времени, т.е. вероятность того, что наработка до первого
отказа превышает заданную величину t. Принимая момент первого включения за начало
отсчета, записываем вероятность безотказной работы в виде
/
39
отк
ttЈ
отк
tt>
( ) ( ) 1 ( )
отк
q t P t t P t
0t
отк
t
dq t dP t
t
dt dt
00
()
ср отк
T M t t t dt P t dt
()
()
P
0
0
( ) exp
t
P t d
()
N
j
j
P t P t
j
P (t )
1,jN
( ) 1 1
N
j
j
P t P t
( ) ( ) ( ) ( , )
отк отк гр гр гр
P t P t t P t t P t t t y
()
отк
P t t
Рис.6.2. Функции распределения Р и q
Вероятность того, что отказ произойдет после включения через время, не
превышающее заданного значения t , т.е., что
, как вероятность события,
противоположного тому, при котором
;
.
Функция q(t) представляет собой функцию распределения случайной величины
, равна
.
Плотность вероятности момента первого отказа:
.
Средняя наработка до отказа (или среднее время безотказной работы):
.
Интенсивность отказов находится по формуле:
;
.
Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов связаны взаимнооднозначным соответствием:
.
Влияние отказа элементов на отказ РЭС определяется двумя основными способами
соединения элементов с точки зрения надежности: последовательным и параллельным.
Последовательное соединение с точки зрения надежности означает: отказ хотя бы
одного элемента РЭС приводит к отказу всей аппаратуры в целом. Вероятность безотказной
работы последовательно соединенных элементов рассчитывается следующим образом:
,
где
- вероятность безотказной работы j – элемента,
При параллельном соединении отказ РЭА происходит тогда и только тогда, когда
откажут все элементы. Вероятность безотказной работы
Вероятность безотказной работы с учетом внезапных и постепенных отказов:
где
- вероятность безотказной работы по внезапным отказам;
.
,
40
()
отк
P t t
- вероятность безотказной работы по внезапным отказам за счет
( , )
гр гр гр
P t t t y
гр
y
гр
t
гр
yy
, 0, 0
t
P t e t
0
1
t
ср
T e dt
1
N
j
j
1,jN
1,
jн
jN
j
k
jjнj
k
N
j
j
t
отк
P t t e
накапливающихся необратимых изменений;
- вероятность безотказной работы по постепенным отказам за счет
достижения параметром y граничного значения
,
- время достижения
.
Расчет надежности с использованием экспоненциальной модели
Экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы:
где - постоянная интенсивности отказов.
Экспоненциальный закон определяется одним параметром
. Верно и обратное
утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы
как функция времени подчиняется экспоненциальному закону.
Среднее время безотказной работы в этом случае:
.
Для экспоненциальной модели может быть определена интенсивность отказов
последовательно соединенных элементов
Расчет вероятности безотказной работы по хаотическим внезапным отказам на основе
экспоненциальной модели проводится в следующем порядке:
1.Составляется перечень элементов входящих в РЭС
.
2. Для каждого элемента в справочной литературе определяется интенсивность отказа
в номинальном режиме
.
3. Рассчитываются коэффициенты нагрузки для элементов .
4. По справочной литературе, в зависимости от коэффициента нагрузки,
определяются поправочные коэффициенты
5. Рассчитывается интенсивность отказов
и вероятность безотказной работы РЭС
и рассчитываются
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]