Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы конструирования и технологии производства РЭС. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
11
Лабораторная работа №5
4
1j
2
jjj
4
1k
kjjk
4
1j
4
1j
jj0
xaxxaxaay
j
x
"Классические методы поиска экстремума"
Целью настоящей работы является ознакомление с методиками решения
часто встречающихся при конструировании РЭА задач оптимизационного характера, т.е.
задач, направленных на поиск оптимального сочетания параметров устройства,
обеспечивающего наилучшие технико-экономические показатели последнего.
Предлагается решить несколько такого рода задач.
Подготовка к лабораторной работе.
При подготовке к лабораторной работе необходимо ознакомиться с
применяемым при расчетах математическим аппаратом, уяснить постановку задач,
изучить задание на работу.
1. Контрольные вопросы
1. Оптимизационные задачи и их приложение в конструировании радиоэлектронных
устройств.
2. Достаточное условие экстремума числовой функции.
3. Необходимое условие экстремума числовой функции.
4. Понятие функционала, примеры функционалов.
5. Вариация функционала и его аргумента.
6. Необходимое условие экстремума функционала.
7. Поиск экстремума функционала, уравнение Эйлера.
8. Условия Якоби и Лежандра.
2. Практическая часть
Задание 1. Прочность соединения при пайке волной припоя
является функцией следующих параметров: скорости фонтанирования, скорости движения
печатной платы относительно припоя, угла выхода печатной платы, температуры пайки. На
основании экспериментальных исследований получена зависимость выходного показателя у
технологического процесса от параметров х1, x2, х3, x4. Она выражается функцией,
включающей эффекты линейные, квадратичные и парных взаимодействий:
Найти оптимальные значения параметров x
1
.
0
0
0
, x
, x
2
, x
3
4
0
в области
, при
которых показатель y достигает своего экстремального значения.
Для этого необходимо, используя необходимые условия экстремума, составить
систему алгебраических уравнений (см. выражение (2) из приложения 1), решить её и
исследовать функцию y при значениях x, близких к x
0
(j=l,2,3,4).
j
Необходимо получить вариант задания у преподавателя, взять производные от
функции y по xj (j=1-4) и приравнять их к нулю. Получите систему из четырех
алгебраических уравнений ( в которых свободные члены нужно перенести в правую часть ),
которую будем решать методом Крамера.
Для этого вызовите программу PraktOKiT5 из системы MKAD. Заполните матрицу DT
коэффициентами при неизвестных переменных xj (j=1-4). Вычислите определитель матрицы
DT (вычисление происходит автоматически и результат обозначен DT0). Затем заполнить
матрицу DT1, которая совпадает с матрицей DT, где первый столбец неизвестных при x1
заменяется столбцом свободных членов (столбцом из элементов правой части системы
уравнений). Вычислите определитель матрицы DT1, которая называется в программе
12
матрицы DT1x. Подозрительная на экстремум точка
0
1
x
DT
x1DT
x
0
1
DT
DTjx
x
0
j
j
2
i
2
2
ij
xx
y
h
44434241
34333231
24232221
14131211
hhhh
hhhh
hhhh
hhhh
0
4
0
3
0
2
0
1
X
X
X
X
1
a
0
2
3
2
2
,dx]yaya[)]x(y[V
.0yy
d
2u ( 2u ) 0 ,
dx
ў
- - =
u u 0
ўў
+=
2/0 x
02
yy
F
,y
Аналогично, меняя 2-ой, 3-ий, 4-ый столбцы при коэффициентах x
находится по формуле
0
, x
2
3
0
, x
0
,
4
соответственно, в матрицах DT2, DT3 и DT4, вычисляем определители DT2x, DT3x , DT4x.
Находите остальные точки подозрительные на экстремум по формуле
( j=1-4).
Определите какой экстремум реализуется в найденной точке. Для этого найдите
вторые производные от функции y по xj (j=1-4) по формуле
0
0
x
, x
2
0
, x
. Заполните матрицу DH =
3
4
в точке x
0
1
.
,
Заполните столбец X0 =
, автоматически вычисляется столбец-строка X0Т = X0Т.
Вычисляется выражение MX0 = X0T*DH*X0: если оно меньше нуля, то в искомой точке
реализуется максимум, если больше нуля, то-минимум.
Задание 2. В устройствах функциональной радиоэлектроники выходные показатели y
зависят от аргумента x: y(x). Например, при конструировании встречно-штыревых
преобразователей степень перекрытия электродов является параметром, распределенным по
длине. От этого параметра зависит вид амплитудно-частотной характеристики и в конечном
счете потери мощности преобразователя, которые необходимо минимизировать за счет
оптимального перекрытия электродов. Оптимальное распределение определяется
минимизацией функционала V[y(x)], который имеет вид
где а1 - длина, по которой распределяются электроды. Граничные условия у(0)=0, y(a1)=a4.
Требуется определить зависимость у0(х), обеспечивающую экстремум данного
функционала.
Например, при a1=p/2, а2=а3=а4=1 уравнение Эйлера имеет вид
Его общим
решением является у=С1Cosх+С2Sin х. Используя граничные условия, получаем y*=Sinx.
Уравнение Якоби имеет вид
или
,
Так как u(0)=0, то С4=0, u=С3Sinx4. Функция u на отрезке
точке х=0, и условие Якоби выполняется. Поскольку
на экстремали y*(x)=Sinx реализуется минимум.
экстремум на ней реализуется.
откуда u=С3Sin(x-C4).
обращается в нуль в
при любых значениях
Получить у преподавателя вариант задания . Найти экстремаль y*(x) и показать какой
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
- наименование, цель работы;
- полученные численные значения;
- необходимые графики.
то
13
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Основы теории вероятности
1UpAp
0Vp
n
m
Ap
1ba
1a
Ap
BpApBAp
BApBpApBAp
B
A
pBp
A
B
pApBAp
n
1i
i
n
1i
i
ApAp
ii
xXpp
11
ni
i
p
F( x )
xXpxF
F( x )
0xF
0
x
lim F x
1
x
lim F x
xi
x1
x2 … xn
pi
p1
p2 … pn
Событие –это факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Вероятность события –это численная мера степени объективной возможности этого
события.
Вероятность р(А) – вероятность наступления события А.
- достоверное событие,
- невозможное событие,
, - вероятность наступления события А, где m – число благоприятных исходов,
n – число всех исходов.
Пример: В урне a белых и b чёрных шаров. Из урны вынимают один шар и
откладывают. Этот шар оказался белым. Какова вероятность того, что следующий шар тоже
будет белым?
Ответ
.
Основные теоремы:
если события А и В несовместны, то
;
если А и В совместны, то
;
;
когда все события Аi независимы, то
.
Случайные величины (СВ)
Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то
или иное значение, неизвестное заранее какое именно.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения СВ – это всякое отношение, устанавливающее связь между
возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Дискретная СВ задается рядом распределения:
где
,
.
Непрерывная СВ задается интегральной функцией распределения СВ
вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше величины x. :
- неотрицательная величина, т.е. при любых x
.
,
,
.
.
14
Дифференциальная функция распределения или плотность распределения СВ
dF( x )
fxdx
0fx
0
x
lim f ( x )
1f ( x )dx
x
dx)x(fxF
,
)(F)(FXp
dx)x(fXp
n
1i
ii
pxxM
dx)x(fxxM
X
mxM
X
0
mXX
2
0
XMXD
[ ]
n
2
X i X i
i1
D X D ( x m ) p
=
= = -
е
[ ]
2
XX
D X D ( x m ) f ( x )dx
Ґ
-Ґ
= = -
т
XX
D
K
K
xMx
XXD;XXMXMX
21
0
K
K
2
X22
m]X[]X[
задается формулой:
.
Основные свойства дифференциальной функции распределения:
функция f(x) неотрицательная, т.е.
;
.
Связь между распределениями выражается формулой
;
.
Вероятность попадания случайной величины в интервал
,
.
Математическое ожидание для дискретной СВ задается выражением:
;
для непрерывной СВ:
.
Иногда обозначают
.
Часто рассматривается центрированная СВ:
.
Физический смысл математического ожидания – это абсцисса центра тяжести фигуры
описанной кривой плотности вероятности.
Одной из самых важных характеристик , описывающую СВ, является дисперсия:
.
Для дискретной СВ:
;
для непрерывной СВ:
Физический смысл дисперсии – это разброс случайной величины относительно
математического ожидания.
Среднее квадратичное отклонение СВ определяется выражением
.
Начальный момент k-го порядка
.
Центральный момент k-го порядка
.
.
.
15
Основные типы распределения СВ
m m n m
m,n n
p( X m ) p C p q
p1q
npqD;npm
XX
a
m
m
e
!m
a
p)mX(p
aD;am
XX
0
0
t
t
dt)t(a
a
1
, x ( , ),
f ( x )
0, x ( , ).
ab
ba
ab
м
п
п
О
п
п
-
=
н
п
п
П
п
п
о
12
)(
D;
2
m
2
XX
2
2
( x m )
2
1
f ( x ) e
2
2
XX
D;mm
XX
m
Ф
m
ФXp
Биноминальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться или не появиться. Если возможные значения СВ ( случайная величина X –
это число появлений события А) могут принимать значения 0, 1, …, n с равной
вероятностью р, то вероятность того , что X =m
; где
,
математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам, соответственно:
Закон Пуассона
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна р . Для определения вероятности m появлений события в этих
испытаниях при больших n пользуются асимптотической формулой Лапласа.
, a=np > 0 – параметр закона Пуассона
.
Поток событий – последовательность событий, наступающих одно за другим.
Плотность потока – среднее число событий в единицу времени.
; λ(t) – плотность потока.
Если λ(t) = const, то пуассоновский поток называется простейшим потоком. Для него
число событий, попадающих на любой участок длины τ, распределено по закону Пуассона с
параметром
.
СВ называется равномерно распределённой величиной на интервале (α,β), если для
нее функция плотности вероятности f(x) задается формулой:
.
Распределение по нормальному закону (гауссово распределение)
Нормальным называют распределение непрерывной СВ, которое описывается
плотностью
где математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам,
соответственно:
Можно видеть, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: m и
σ . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.
Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (,):
,
.
,
16
где
dte
2
1
)x(Ф
x
2
2
t
x
~
x
~
)t(x
~
x~
1
t
X1X
)t(
1
t
)(R)t,t(R
11
2
t
21
tt
СП
Стационарные
Нестационарные
Эргодические
Неэргодические
t
x
- табулированная функция Лапласа.
Случайное поле точек – совокупность точек, случайным образом распределённых на
плоскости (в пространстве).
Плотность поля – число точек на единицу площади.
Экспериментальные методы исследования конструкций технологических процессов.
Оценка параметров распределения случайных величин и процессов
Пусть исход эксперимента представляется некоторой СВ
. При N-кратном
повторении эксперимента получают конкретный ряд значений х1…хn – конечную выборку
объёма N из генеральной совокупности, содержащей все возможные значения СВ
Чаще всего процесс рассматривается во времени t и
и представляет собой
.
случайный процесс (СП) (рис.1.1.).
Рис. 1.1. Реализации CП во времени
Рис.1.2. Классификация СП
Обычно случайные процессы зависят от времени и вычисление математического
ожидания и других моментов , в общем случае, зависит от начального момента времени
отсчета
.
Когда все начальные моменты и степенные моменты распределения не зависят от
времени – СП называется строго стационарным. В этом случае, математическое ожидание
не зависит от времени
и автокорреляционная функция
не
зависит от момента времени
можно вычислить по формуле:
, а только от сдвига времени
.
Рассмотрим k-ю выборочную функцию СП (рис.1.1), тогда математическое ожидание
17
T
XK
T
0
1
m ( k ) lim x (t )dt
T
®Ґ
=
т
,
dt)t(x)t(x
T
1
lim)k,(R
K
T
0
K
T
X
X
m
f ( x )
N
1i
i
x
N
1
x
X
dx)x()x(xD
2
X
2
XX
N
1i
2
i
2
X
)xx(
N
1
S
N
1i
2
i
2
X
)xx(
1N
1
S
0
x
f(x)
а коэффициент автокорреляции для к-го процесса находится по формуле:
Если СП стационарен и определённые предыдущими формулами
для различных выборок , то процесс называется эргодическим.
Для наиболее полной характеристики случайной величины (процесса) необходимо
знать функцию её распределения f(x).
Рис.1.3. Пример функции распределения
Геометрическая интерпретация математического ожидания – это абсцисса центра
тяжести фигуры описанной
.
На практике функция вероятности точно не известна, поэтому пользуются оценками
мат. ожидания и дисперсии по экспериментальной выборке СП (x1x2…xN).
Оценка математического ожидания
и RX одинаковы
.
Дисперсия – это степень рассеяния значений СВ относительно
Оценка дисперсии
.
При малых значениях N пользуются несмещённой оценкой дисперсии
Дисперсия характеризует разброс случайной величины относительно
математического ожидания.
.
.
.
18
Коэффициент парной корреляции
x
~
y
~
xy
R
yx
n
1i
ii
xy
SS)1N(
)yy)(xx(
R
2
xx
SS
2
yy
SS
1R1
xy
0Rxy
x
~
y
~
y
y
x
x
Rxy=0
y
y
x
x
Rxy<0
Rxy>0
Чтобы знать в какой мере и в каком направлении влияет одна СВ
на другую
, т.е.
оценить, как сильно они связаны, используют коэффициент парной корреляции
; где
и
- среднеквадратические
отклонения случайной величины x и y.
.
Рис.1.4. Представление R на плоскости
Если
, значит связь между
и
отсутствует; если Rxy >0, - оба процессы
.
связаны и развиваются в одном направлении (оба возрастают или убывают); если Rxy <0,
значит оба процессы связаны и развиваются в разных направлениях (один возрастает, другой
убывает).
19
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Анализ точности при конструировании и разработке
)n,1j(x
___
j
)n,1j(x
~
___
j
)x~...x~,x~(
n21
____
n1ii
m,1i),x,...x(fy
)x~(M
j
)x~(D
j
)n,1k;n,1j(R
jk
i
y
~
M( y )
D( y )
)...(
1 n
xxx
0 0 0
1 2 n
x ,x x
0
jj
x M( x ), j 1,n
0
0
0
0
2
00
1
1 1 1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
jj
jj
kk
jj
n n n
n j j k
j j k
x x ,
j j k
x x , j ,n,
kj
j ,n
x x ,k ,n
n
j
j
x x ,
j
j ,n
ff
y f ( x , ,x ) x x x
x x x
f
x
x
0
jj
j
j
xx
дx
дf
A
0
jj
0
kk
kj
2
jk
xx
xx
дxдx
fд
A
2
0
2
1
jj j j
j
дf
A x x
дx
j ,n
j
x
j
x ( j 1,n)
j j j
x x M( x )
0)x~(M
j
)x~(D)x~(D
jj
)x~()x~(R)xx~(M
kjjkkj
технологии РЭС
Понятие точности
Точность РЭА характеризует степень приближения истинного значения выходного
параметра к его номинальному значению при отклонениях входных параметров,
соответствующих производственным погрешностям.
Под производственными погрешностями параметров РЭС понимают разного рода
отклонения от номинальных значений, указанных в схемах, чертежах и другой технической
документации, которые возникают за счет нестабильности технологических процессов и
неоднородности исходных материалов.
Внутренние параметры РЭС которые описываются совместной плотностью распределения
являются случайными величинами
. Выходная
величина y является случайной величиной и описывается формулой:
(2.1)
Вероятностный метод
Исходной информацией для анализа является математическая модель (2.1) и
статистические характеристики входных параметров: математическое ожидание
дисперсия
математически описать статистические характеристики выходного параметра
, коэффициент парной корреляции
. Необходимо
.
Из центральной предельной теоремы следует, что если некоторый параметр
случайной величины y зависит от достаточно большого числа СВ (по любому закону
распределения) – она приближённо подчиняется нормальному закону распределения.
Для описания СВ, подчиняющихся нормальному закону распределения, достаточно
определить математическое ожидание
(2.1) в окрестности
точки
и дисперсию
, где
. Разложим в ряд функцию
.
,
,
Реальный уровень произвольных погрешностей входных параметров позволяет
ограничиться членами разложения второго порядка.
Введем коэффициенты чувствительности Аij по формулам:
учтем, что
;
- является СВ из-за стохастического характера изменения параметров
;
, воспользуемся формулами для средних величин:
;
;
,
,
;
20
где
)x~(D)x~(D)x~()x~(
kjkj
n n n
0 0 0
1 2 n jk jk j k jj j
j k j 1
11
M( y ) f ( x ,x ,...x ) A R ( x ) ( x ) A D( x )
22
n1jn
1k
kjjkkjj
n
1j
2
j
)x~()x~(RAA)x~(DA)y~(D
y
~
maxmin
y,y
)y~(
)y~(My
Ф
)y~(
)y~(My
Фyy
~
yp
minmax
maxmin
1
n
i
i
j
j
дy
yy
дx
DD
=
=
е
2
j
i
i
1
1
2
ii
y 1 n
1n
i
n
n
дy
дx
дy дy
... R ... ...
дx дx
дy
дx
s
s s s
s
йщ
къ
къ
къ
йщ
къ
къ
=
къ
къ
лы
къ
къ
къ
къ
лы
j
x
0
jjj
xxx
0
jjj
yyy
0
j
j
j
x
x
x
0
j
j
j
y
y
y
n
1j
jj
xAy
n
1j
0
0
jj
jjj
y
xA
a,xay
min
j
max
j
пред
j
xxx
.
Используя свойства математического ожидания СВ, на основании предыдущих
формул определяем
. (2.2)
Первый член выражения (2.2) представляет собой выходной параметр при средних
значениях, второй является поправкой , обусловленной корреляцией входных величин,
третий – поправкой за счёт нелинейности функции.
Используя свойства дисперсии случайных величин и учитывая только линейные
члены разложения, определяем
.
Математическое ожидание и дисперсия - это количественные оценки точности, на их
основании рассчитывается показатель серийнопригодности как вероятность того, что
выходной параметр
укладывается в пределы
.
, где Ф(.) – нормированная
функция Лапласа.
Метод моментов
Изменение выходной величины yi приближенно можно описать формулой
.
Пусть
- дисперсия входного параметра xj. Требуется определить дисперсию
распределения параметра yi.
где R матрица корреляции параметра
Метод наихудшего случая
Для упрощённого расчёта при разработке конструкции и технологии РЭС
используется метод наихудшего случая.
Расчёт производится для абсолютных
относительных
;
отклонений.
и
В случае предельных симметричных отклонений входных параметров:
,
,
.
;
или для
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]