Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы конструирования и технологии производства РЭС. Методические указания к лабораторным работам
.pdf
21
j
n
1j
пред
пред
Axy
.
j
x
~
)(F
)x...x(fyn1
maxmin
yy
~
yp
Тип распределения
Параметры
распределения
Метод получения
случайного числа η
Алгоритм вычисления случ. числа η
Равномерное
распределение СВ ζ в
интервале (0,1)
a = 0
b = 1
Метод Коробова
__
Равномерное
распределение на
интервале (a,b)
a
b
Функциональное
преобразование СВ ζ
)ab(a
Экспоненциальное
распределение
λ
То же
ln
1
Нормальное распределение
μ σ Метод
суммирования
)6(
12
1i
i
Генер-е
псевдослуч.
чисел
равномерно
распредел.
На
интервале
(0,1)
F(
1
)=
1
F(
2
)=
2
F(
n
)=
n
1
1
yi=
f(
1
,..
n
)
i=1…n
y
i
My
Dy
P(y
мшн
y
y
мах
)
2
n
n
Метод статистических испытаний
Этот метод основан на возможности генерирования (на ЭВМ) псевдослучайных чисел
xj , в частоте появления которых отражается плотность распределения СВ
. Основой
генерирования является последовательность случайных чисел ξ с равномерным законом
распределения на интервале (0,1).
Для преобразования этой последовательности в последовательность случайных чисел
с функцией распределения F(x) из первой совокупности выбирается число ζ и решается
уравнение относительно η:
. (2.3)
Оценка точности происходит так:
1. Генерируются равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа ζ.
2. Случайные числа ζ преобразуются в с плотностью F() по формуле (2.3).
3. Вычисляются значения yi по формуле
Вычисления проводятся N раз, в результате чего получаем выборку yi, по которой
находим M, D и
Ниже приведена таблица преобразования случайных величин.
Таблица 2.1
Рис. 2.1. Схема метода статистических испытаний
.
.
22
Достоинства этого метода статистических испытаний:
– нет ограничения на рассеяние входных параметров;
– имеется возможность восстановления плотности распределения;
– имеется возможность вычислить оценки числовых характеристик СВ с большой
точностью.
Ограничением метода является сложность генерирования совокупности зависимых
СВ.
23
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Анализ результатов наблюдений методами дисперсионного
анализа
Общие сведения
На практике часто возникает задача определения влияния на состояние объекта
исследования факторов, имеющих только качественную оценку или не поддающихся
измерению. Сюда могут относиться неконтролируемые переменные, случайные уровни
варьирования, которые можно произвольно выбирать и фиксировать во времени.
Типовыми задачами, требующими применения методов дисперсионного анализа,
является задачи определения существенного отличия параметров радиоэлементов в
различных партиях или оценки влияния различных свойств сырья на качество радиодеталей
и РЭА.
Научно обоснованное решение подобных задач при изучении влияния факторов по
величинам их дисперсией и составляет предмет дисперсионного анализа.
Методы дисперсионного анализа базируются на следующих допущениях:
1. Выходной параметр ỹ, для которого требуется определить влияние
независимых факторов x1,x2 … xn, представляет собой распределенную по нормальному
закону случайную величину с математическим ожиданием Му= φ(x1,x2 … xn)= const и
дисперсией Dу= const.
2. Дисперсия единичного наблюдения D, обусловленная случайными ошибками,
постоянна во всех опытах и не зависит от факторов x1,x2 … x
т.е. дисперсии D(yi) (i=
n,
1,2…N) будут равны между собой, а их выборочные оценки s2(yi) однородны, что является
условием воспроизводимости опытов.
Допустим, что необходимо изучить влияние фактора x на фоне случайных
погрешностей, когда дисперсия воспроизводимости D известна . При варьировании фактора
x на N качественных уровнях в результате наблюдения получим ряд значений выходной
величины y1,y2…yg…yN, рассеяние которых характеризуется выборочной дисперсией s
Если отличие s
2
от D незначимо, то разброс наблюдений связан только со случайными
y
2
.
y
причинами и не зависит от влияния фактора x. Если же отличие значимо, то разброс
наблюдений вызван не только случайными причинами, но и влиянием фактора x.
Когда дисперсия воспроизводимости D неизвестна , то проводится серия
дублирующих опытов m при каждом из всех возможных сочетаний качественных уровней
рассматриваемого фактора для определения ее оценки.
При числе факторов больше одного, т.е. при двух-, трех- и многофакторном анализе,
идея остается той же, что и при однофакторном, но процедура усложняется, а объем
эксперимента существенно возрастает, Поэтому при числе факторов более двух
целесообразно переходить к другим методам дисперсионного анализа, позволяющим
сократить перебор вариантов и уменьшить число опытов.
К таким наиболее распространенным методам дисперсионного анализа относятся
латинские и греко-латинские квадраты и неполноблочные планы.
Латинским квадратом называется квадратная матрица (таблица) из n элементов,
встречающихся один раз в каждой строке и в каждом столбце. Например, латинский квадрат
имеет вид:
a b c
b c a
c a b
В терминах дисперсионного анализа латинский квадрат является планом с
ограничением на рандомизацию. Под рандомизацией будем понимать проведение
эксперимента в совершенно случайном порядке так, чтобы исключить влияние на результат
эксперимента неконтролируемых факторов.
24
При планирование такого типа изучается влияние трех источников дисперсии:
первый- строка (фактор А), второй- столбец (фактор В) и третий- латинская буква (фактор
С). При этом предполагают отсутствие взаимодействия факторов и ограничиваются
линейной зависимостью вида:
y
= M+αi+βj+γk+ε
ijk
, (3.1)
ijk
где y
- экспериментальный результат, полученный с i- ым уровнем фактора А, j- ым
ijk
уровнем фактора В и k- ым уровнем фактора С; М - общий эффект во всех опытах (истинное
среднее совокупности из которой получена выборка); αi - эффект строки (фактора А); βjэффект столбца (фактора В); γk- эффект элемента квадрата (фактора С); ε
- случайная
ijk
ошибка в эксперименте.
Два латинских квадрата называются ортогональными, если при наложении одного
квадрата на другой каждая пара одинаковых букв (цифр) встречается только один раз. Если
элементы первого квадрата обозначить латинскими буквами, а второго греческими, то такой
квадрат называется греко-латинским.
Например, греко- латинский квадрат 3X3 имеет вид:
Aα Bβ Cγ
Bγ Cα Aβ
Cβ Aγ Bα
При планировании по греко-латинскому квадрату изучается влияние 4х факторов
(источников дисперсии): фактора А- строки, фактора В- столбца, фактора С- латинской
буквы и фактора D- греческой буквы. Результат эксперимента представляется в виде
линейной модели:
y
= M+αi+βj+γk+σo+ ε
ijko
, (3.2)
ijko
где σo- эффект греческой буквы, а остальные обозначения аналогичны (3.1). Такой квадрат
может рассматриваться как один из частных случаев 4х - факторного эксперимента.
Основные расчетные соотношения однофакторного дисперсионного анализа
При однофакторном анализе проверяется действие одного фактора x. Результаты
эксперимента NXm (где m- число дублирующих опытов) наблюдений
влияния фактора x на выходную переменную ỹ сводятся в таблицу вида:
25
Таблица 3.1
Номер
g-го
фактора
x
Дублирующие опыты (l=1,m)
Средние
g
y
1 2 … l …
m
1
y
11 y12
y
1l
y
1m
1
y
2
y
21 y22
y
2l
y
2m
2
y
g
y
g1 yg2
y
gl
y
gm
g
y
N
y
N1 yN2
y
Nl
y
Nm
N
y
g
y
m
1l
glg
y
m
1
y
N
1g
g
y
N
1
y
N1gm
1l
N
1g
x0
2
g
2
ggl
N1gm
1l
2
gl
SS)yy(m)yy()yy(S
D
1Nm
S
s
2
D
)1m(N
S
s
0
2
0
Среднее
серий (g= 1, N) из повторных наблюдений l
(l= 1, m) для каждого j-го уровня фактора x:
, g=1,2,…N. (3.3)
Общее среднее всех Nxm наблюдений по всем N уровням
. (3.4)
Общая сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений y
от общего среднего y
gl
, (3.5)
где S0- сумма квадратов отклонений внутри серии; Sx- сумма квадратов отклонений
между сериями.
Если в результате анализа оказалось, что влияние качественного фактора x на
выходную характеристику ỹ отсутствует, тогда средние уg (g= 1,2… N) серии имеют
одинаковую оценку математического ожидания и дисперсию D и все Nxm наблюдений
можно рассматривать как выборку, из одной и той же совокупности, распределенной по
нормальному закону.
Несмещенная общая оценка дисперсии по всем Nxm наблюдениям имеет вид:
с числом степеней свободы f=Nm-1.
Выборочная дисперсия внутри серий находится по формуле:
, (3.6)
, (3.7)
26
с числом степеней свободы f=N(m-1).
D
1N
S
s
x
2
x
2
0
2
x
s
s
F
Выборочная дисперсия внутри серий
с числом степеней свободы f=N-1 .
Проверка значимости влияния фактора x производится с помощью критерия Фишера
по формуле:
, (3.8)
. (3.9)
Если вычисленное значение по результатам наблюдений F
значения F
, найденного по таблице Фишера при заданном уровне значимости g,% и
крит
окажется больше
расч
соответствующих степенях свободы (3.7) и (3.8), то влияние фактора признается значимым.
27
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Планирование и обработка результатов пассивного
к21
х...х,xX
i
у
~
)x...x,x(fy
k21i
i
y
~
n
1j
n
1ij
n
1j
2
jjjjiijii0n21
...xbxxbxbb)x...x,x(fy
jjijj0
b,b,b,b
х
1
х
2
x
j
x
k
y
1
y
2
y
j
y
q
Объект
эксперимента методами регрессионного анализа
Рассмотрим следующую структурную схему объекта исследования (рис.4.1),
Рис. 4.1.Структурная схема объекта исследования.
где
- i-ая выходная величина;
- входные величины;
= случайные неконтролируемые возмущения.
Под моделью объекта по i- ому каналу будем понимать функцию
. (4.1)
Т.к. имеют место случайные неконтролируемые возмущения, то изменение
носит
случайный характер, и при составлении математической модели эксперимента по его
результатам применяют методы регрессионного анализа.
Если объект исследования не допускает преднамеренного варьирования входных
переменных в необходимом диапазоне, то для накопления статистического материала
применяется пассивный эксперимент.
Применение метода пассивного эксперимента может быть успешным, если при его
проведении соблюдаются необходимые условия: правильное определение времени
регистрации данных, обеспечении независимости соседних измерений и входных
переменных друг от друга, достаточный объем эксперимента и т. д.
Выбор структуры модели является наиболее сложной процедурой, так как до начала
исследований экспериментатор не располагает необходимой априорной информацией.
Построение модели упрощается, если в качестве ее составляющих используются
полиномы, которые следует включать в уравнение регрессии. В теории эксперимента чаще
всего математическое описание представляется в виде полинома путем разложения в ряд
Тейлора
(4.2)
Разложение в ряд Тейлора чаще всего используется потому, что фактически любую
функцию, не имеющую бесконечных разрывов, можно представить рядом Тейлора.
Здесь:
- постоянные коэффициенты уравнения, оценки которых необходимо
определить в результате постановки и проведения пассивного эксперимента, n- число
наиболее существенных входных величин, полученных в результате отсеивающего
эксперимента.
Если для статической оценки результатов пассивного эксперимента применяются
методы регрессионного анализа, то необходимо выполнить ряд предпосылок:
28
1. результаты наблюдений
N21
y...y,y
y
~
)N,1l(Dyl
2
l
S
)n,1j(xj
y
~
)n,1j(xj
j
)(K
xy
)t(x
)t(y
T
T
T
xy
dt)t(y)t(x
T2
1
lim)(K
)t(x
)t(y
t
N
1
1
N
ll
l
xy
xy
x(t ) x y( t ) y
R ( )
( N )S S
tn...t2,t1,0
N)35,025,0(n
выходной величины в точках факторного
пространства представляют собой независимые случайные величины,
распределенные по нормальному закону, а процесс изменения
должен быть
стационарным во времени;
2. дисперсии
этих случайных величин должны быть равны друг другу
(выборочные оценки
3. все значения входных величин
малой ошибкой по сравнению с ошибкой измерения входной величины
4. входные величины
5. все соседние измерения по каждой
однородны);
должны измеряться с пренебрежимо
;
не должны быть коррелированны между собой;
ой входной величине должны быть
независимы.
Число коэффициентов уравнения (4.2) определяет объем эксперимента. Выбирают
такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет
требованию предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой
точностью.
На предварительной стадии исследования объекта обычно выбирают полином первой
степени, предполагая, что параметры объекта лежат в области, в которой расположен
экстремум исследуемой функции и поэтому объект описывается линейной моделью. Если же
линейная модель оказывается неадекватной, то в нее включают члены парного
взаимодействия xixj и т.д. до тех пор, пока модель не окажется адекватной. В большинстве же
случаев квадратичная модель оказывается достаточно работоспособной в пределах
имеющихся ограничений.
Пассивный эксперимент с учетом условий накопления статистических данных
может применяться для получения математического описания технологических процессов в
производстве РЭА (изготовление печатных плат, оксидирование анодной фольги для
электролитических конденсаторов, синтез ферритовых антенн и т. д.), а также для
моделирования процессов функционирования радиоэлектронных устройств.
Основные расчетные выражения
1. Определение интервала съема данных
Для непрерывных технологических процессов важно знать, какая корреляционная
связь между входными и выходными величинами в зависимости от временного сдвига τ
между ними. Чтобы оценить временной сдвиг τ используют взаимно – корреляционную
функцию
, которая для непрерывных
и
определяется формулой
Для дискретных значений
объема выборки
асимптотически несмещенные оценки взаимно – корреляционных
и
снятых через равные промежутки времени
(4.3)
и
функций вычисляют по формуле
, (4.4)
где
;
– число используемых сдвигов;
N – объем выборки.
29
Вид функции взаимной корреляции
)(R
xy
)(R
xy
)(R
xy
з.э
)t(x
з.э
t
)(R
xy
N
xx l l
2
l1
x
1
R ( ) x(t ) x x(t ) x
( N 1)S
tt
=
й щй щ
= - + -
к ъ к ъ
л ыл ы
-
е
)(R
xx
)(R
xx
)(R
xx
)t(x
0
t
0
t
з.э
τ
э.з
Rxy(τ)
τ
0
R
xx
1
0.05
Рис.4.2. Взаимно-корреляционная функция
приведен на рис.4.2.
.
По расположению максимума функции
эквивалентного запаздывания
скачок функции
промежуток времени
на входе объекта наиболее полно отражается на входе только через
.
Величина интервала съема данных
, физический смысл которого состоит в том, что всякий
должна обеспечивать некоррелированность
на оси определяют время
наблюдений, т. к. согласно предположениям регрессионного анализа соседние наблюдения
должны быть стохастически независимы. Асимптотически несмещенная оценка
(корреляционной функции входной переменной) определяется по формуле:
Вид корреляционной функции
приведен на рис.4.3.
(4.5)
Рис.4.3. Корреляционная функция
.
По корреляционной функции
соседними измерениями
временем корреляции
Практически интервал
, когда последние становятся независимыми. Их называют
.
выбираются из условия
определяют промежутки времени между
времени измерения переменных и не больше времени эквивалентного запаздывания
, и не должен быть меньше
.
30
2. Определение времени наблюдения T
)t(x
нв
хxx
P
0.94
0.95
0.96
o.97
0.98
0.99
3.52
3.68
3.90
4.19
4.6
5.3
x
x
t
1
p
2
p
x
x
~
p
t
T
t
p
x
~
x
xj
jjl
1j
y
l
yl
S
xx
;
S
yy
P
2
∆T
t
x
H
x(t) xB
P
1
Пусть задан рабочий диапазон изменения технологической переменной
во
времени и это изменение представляет собой случайный стационарный процесс (рис.4.4)
.
Таблица 4.1
Рис.4.4. Рабочий диапазон изменения переменной x(t).
Весь диапазон
дискретность проведения опытов
x в нижний и верхний интервалы диапазона
Если величина
разбивают на ряд одинаковых интервалов
и вероятности
и
попадания случайной величины
. Пусть известны
.
имеет симметричное распределение внутри диапазона, то р1=р2=р.
Время наблюдения определяется по формуле:
, (4.6)
где – параметр, характеризующий среднее число попаданий переменной в крайний
интервал диапазона за время эксперимента;
– интервал получения данных;
– вероятность попадания случайной величины
в крайний интервал диапазона
(находится по временному графику случайной величины или по результатам
предварительных исследований закона распределения случайной величины).
Значения параметра находятся из табл.4.1, задаваясь вероятностью Р, с которой
необходимо рассчитать коэффициенты уравнения регрессии; на практике чаще всего
выбирается Р = 0.95 , т.е. при уровне значимости q=5%, где
q=(1-Р)100%.
3. Обработка данных пассивного эксперимента
Производится методом регрессионного анализа, который позволяет получить оценки
коэффициентов нелинейных уравнений регрессии.
Прежде всего, величины переводятся в стандартизованный масштаб по формулам:
, (4.7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]