Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
вой скорости подвижной системы отсчета) и вектора относитель-
Рис. 39
ной скорости точки.
Кориолисово ускорение равно нулю:
когда переносное движение является поступательным;
относительная скорость в данный момент времени равна
нулю;
относительное движение происходит по направлению, па-
раллельному оси переносного вращения или если в данный момент времени вектор
параллелен этой оси.
V
отн
3.8. Сферическое и произвольное движение твердого тела
Сферическое движение твер-
дого тела - движение, при котором
одна из точек тела во все время
движения остается неподвижной.
Для описания сферического движения твердого тела введем две системы координат: неподвижную - OXYZ
и подвижную -Oξηζ, жестко связанную с телом (рис. 39). Положение
подвижной системы координат по
отношению к неподвижной можно
определить заданием трех углов Эйлера: ψ - угол прецессии, θ угол нутации, φ - угол собственного вращения.
Чтобы построить подвижную систему координат по трем
углам Эйлера, необходимо изобразить линии узлов ОК - линии
пересечения плоскости Oxy неподвижной и плоскости Oξη подвижной систем координат. При этом ось Ox поворачивается на
угол ψ вокруг оси Oz. Ось Oz поворачивается на угол θ вокруг
линии узлов, так определяется положение оси Oζ подвижной системы координат. Поворот линии узлов вокруг оси Oζ на угол φ
определяет положение оси Oξ.
31
Закон изменения углов Эйлера от времени позволяет задать
&&&
уравнения сферического движения твердого тела:
ψ=f1(t), θ=f2(t), φ=f3(t).
Задание сферического движения твердого тела возможно и при
помощи других параметров, например, корабельных углов - крена, тангажа и курса. Сферическое движение можно рассматривать как три одновременно происходящих вращения вокруг оси
Oz, линии узлов и оси Oζ. Углы Эйлера изменяются и их соответ-
ствующие угловые скорости:
,,
позволяют оце-
jwqwyw
===
121
нить их изменения.
Существует ось, скорости точек которой в данный момент
времени равны нулю, её называют мгновенная осью вращения.
Например, в случае качения без проскальзывания подвижного
конуса по неподвижному линия контакта между конусами
является мгновенной осью.
Теорема. Скорость лю-
бой точки тела при его сферическом движении находится
как вращательная вокруг
мгновенной оси вращения с
угловой скоростью, равной
геометрической сумме угловых скоростей составляющих
вращений:
Рис. 40
rv ×=
w
,
где ;
wwww
++= r - радиус-вектор точки тела, проведенный
321
из неподвижного центра;w - мгновенная угловая скорость.
32
Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его сфери-
ческом движении на направление вектора, соединяющего эти
точки, равны между собой. С помощью трёх координат любой
точки (полюса) свободного твердого тела и трёх углов поворота
Эйлера вокруг полюса можно задать положение тела в пространстве (рис. 40). При этом уравнения свободного движения твердого тела имеют вид:
=
=
=
4
5
6
1
2
3
)t(f
()
tf
)t(fx
)t(fy
)t(fx
)t(f
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
y
q
j
A
A
A
=
=
=
Теорема. Скорость любой точки свободного твердого тела
равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса. По теореме сложения
скоростей:
полюсом A:
VVV +=
в VV =
. Следовательно:
вr
. Переносное движение - поступательное с
VVV +=
вr
. Относительное движение - сферическое
A
. Теорема доказана.
AMVV
w
+=
Ar
Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его свобод-
ном движении на направление вектора, соединяющего эти точки,
равны между собой.
33
Контрольные вопросы
1. Какие способы задания движения различают в кинема-
тике, чем они отличаются?
2. Как определяется скорость точки при различных спосо-
бах задания движения?
3. Как определяется ускорение точки при различных спо-
собах задания движения?
4. Что определяет касательное и нормальное ускорения?
5. Чем характеризуется поступательное движение твёрдого
тела?
6. Как описывается вращательное движение тела, какие
параметры его характеризуют?
7. Как определяется скорость любой точки тела при
плоском движении?
8. Что такое МЦС и как определяется его положение?
9. Что такое МЦУ и как определить его положение?
10. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?
11. Как определяется абсолютная скорость и абсолютное
ускорение при сложном движении точки?
12. Чем отличается простой вид движения от сложного?
13. Как определяется скорость точки при плоском
движении?
14. Как можно задать положение свободного твёрдого тела
в пространстве?
15.Как строится подвижная система координат с помощью
углов Эйлера?
16. Какими способами можно задать сферическое движение
тела?
34
4. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел с учетом действия сил, вызывающих это движение. Движение с геометрической точки зрения
изучалось в кинематике. В динамике принимают во внимание
силы, которые могут быть переменными, а также инертность тел.
4.1. Основные определения
Инертностью называют свойство материальных тел различным образом изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Масса служит количественной мерой
инертности тела, то есть она определяет способность тела сохранять свое состояние покоя или движения. Тело можно рассматривать как материальную точку, например, если тело проходит расстояние, значительно превышающее его размеры, или совершает
поступательное движение, то его можно считать материальной
точкой.
4.2. Основные законы динамики
Законы были систематически изложены впервые И. Ньютоном в 1687 году. Они установлены путем обобщения
результатов большого количества опытов и наблюдений
над движением тел.
Первый закон (инерции): если равнодействующая всех сил,
приложенных к материальной точке, равна нулю, то эта материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения:
n
F
å
k
1
ì
=
0
,v
ï
Þ=
0
í
ï
=
const.
v
î
Второй закон (основной закон динамики): если равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке, не равна
нулю, то эта материальная точка приобретает ускорение, пропорциональное равнодействующей и направленной по ней:
35
F
n
a = или
m
=
Fam
å
k
1
Данное выражение представляет собой основное уравнение динамики (ОУД).
Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами,
лежащими на прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению.
4.3. Основные задачи динамики
На основе изложенных законов динамики могут быть решены следующие типы задач.
1. Первая задача динамики сводится к определению силы,
действующей на тело с известной массой на основе ОУД, при
этом известны характеристики движения точки.
2. Вторая (обратная или основная) задача динамики сводится к определению характеристик движения тела, то есть координат и скорости в зависимости от времени. При этом известны
действующие на точку (тело) силы и его масса.
3. Общая задача динамики заключается в определении как
неизвестных характеристик движения, так и неизвестных сил.
При этом случае заданы некоторые характеристики движения
тела и некоторые силы. Все инженерные задачи относятся к
этому типу.
4.4. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки
Основной закон динамики при решении задач проектируют
на оси координат. Рассмотрим декартовую систему координат,
проектируя ОУД на оси, получим:
36
где
dt
dt
dt
ååå
dt
m
x
y
Рис. 41
2
z
M
F
n
0
2
2
yd
xd
,
,
2
2
F
1
F
2
2
zd
- проекции ускорения на координатные оси
2
xd
dt
dt
dt
=
2
2
yd
=
2
2
zd
=
2
m
m
m
ü
F
ï
å
kx
ï
ï
ï
F
å
ý
ky
ï
ï
ï
F
å
kz
ï
þ
Оx, Oy, Oz;
FFF ,, - суммы проекций сил, дейст-
kzkykx
вующих на точку на оси координат (рис. 41).
Данные выражения называются дифференциальными уравнениями движения в проекции на оси декартовой системы координат.
4.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
при действии переменных сил
Рассмотрим прямолинейное движение точки под действием
переменной силы.
1. Сила зависит от времени )t(FF = . В этом случае ОУД,
спроецированное на направление движения, имеет вид:
dV
m = или )(1tF
)(tF
dV = .
Интегрируя последнее уравнение при заданных начальных
условиях, получим скорость точки в зависимости от времени:
V=V(t).
Данное уравнение перепишем в следующем виде:
dx=V(t)dt.
Интегрируя данное уравнение, при заданных начальных
условиях получим закон движения точки вдоль прямой как некоторой функции времени:
x=x(t).
37
2. Сила зависит от перемещения. В этом случае ОУД, спро-
dt
dx
dxdxdtdVdt
m
dt
ектированное на направление движения, имеет вид:
dV
m = .
)(xF
Для разделения переменных в данном уравнении и его интегрирования воспользуемся следующей подстановкой:
dV
dV
V
==
В результате уравнение движения можно привести к виду:
dV
V )(
1
= .
dxxF
Дважды интегрируя данное уравнение с учетом заданных
начальных условий, можно получить скорость как функцию перемещения и закон движения: V=V(x), x=x(t). Можно получить
скорость в виде функции времени V-V(t) в результате совместного
решения
3. Сила зависит от скорости. В этом случае модель силы
имеет вид:
F=F(V).
В инженерной практике такие задачи встречаются, когда необходимо учесть сопротивление среды. Обычно используют следующие модели:
(вязкое сопротивление, движение в жидкости),
VRm-=
2
R=
ηV
(сопротивление газовой среды, движение в воздухе).
4.6. Принцип Даламбера
Задачи динамики, связанные с определением реакций связи, в общем случае являются достаточно сложными. Ж. Даламбер
предложил способ решения таких задач динамики путём сведения их к задачам статики. Уравнение движения для несвободной
точки:
38
na
FFam +=
где
na
FF , - активная и пассивная силы.
Перепишем уравнение в виде:
na
.
0=-+ amFF
Вектор (- am ) можно рассматривать как некоторую силу, которая
прикладывается к материальной точке и уравновешивает активную и пассивную (силу реакции связи) силу. Эта сила называется
даламберовой силой инерции:
amI -= .
Она направлена противоположно ускорению.
Принцип Даламбера: в любой момент времени движения
точки силы, действующие на неё, могут быть уравновешены добавлением силы инерции, то есть:
na
.
0=++ IFF
Сила инерции лишь условно прилагается к точке, то есть
это фиктивная сила. Как любой вектор, сила инерции может быть
разложена на составляющие. При криволинейном движении точки её представляют суммой касательной и нормальной силы
инерции:
III +=
,
n
t
2
где
Vd
;
mI
t
dt
mV
mI
== .
n
r
Нормальную силу инерции частицы вращающегося тела:
2
rw
mIn= .
называют центробежной силой. Она всегда направлена в сторону
выпуклости траектории.
4.7. Основные теоремы динамики
4.7.1. Теорема об изменении количества движения точки
Количество движения материальной точки - векторная
величина, равная произведению массы точки на вектор скорости:
39
VmQ = .
(
)
=-=-=
-
&
&
dt
Импульс силы на некотором интервале времени - векторная величина, равная произведению вектора силы на продолжительность
интервала времени ее действия:
ttFS -=
0
Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за
тот же промежуток времени:
SVmVm =-
.
0
1
При решении задач данное уравнение необходимо спроектировать на оси координат:
010101
4.7.2. Теорема об изменении момента количества
движения точки
По аналогии с вектором силы можно вычислить момент
вектора количества движения точки относительно любого центра:
)Vm(ml =
0
Понятие момента количества движения относительно оси часто
используется при решении задач. Для этого данное уравнение
необходимо спроектировать на оси координат:
l
=
x
l
=
y
.
),Vm(xm
),Vm(ym
,zSmzmz,ySmymy,xSxmxm
l
=
z
Производная по времени от вектора момента количества
движения точки относительно некоторого центра равна моменту
действующей на точку силы относительно того же центра:
ld
0
= .
Следствие: если момент силы относительно некоторого центра
равен нулю, то момент количества движения точки относительно
этого же центра сохраняет свою величину и направление (закон
сохранения момента).
40
).Vm(zm
()
Fm
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]