Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

– сила параллельна оси, т.к. Fπ=0;

– линия действия силы пересекает ось, т.к. h = 0.

Момент силы относительно осей прямоугольной системы координат можно определить по выражениям:

yF)F(m

y z

zF)F(m

xF)F(m

где Fx,Fy, Fz – проекции вектора силыF на оси координат; x, y, z – координаты точки приложения вектора силыF относительно

точки пересечения осей координат.

Величину момента силы относительно точки пересечения осей координат можно определить по выражению:

222

)()()()(

FmFmFmFm

++=

zyx

Пара сил - система из двух равных по модулю и направленных в про-

Рис. 17

Рис. 18

тивоположные

стороны сил, их

линии действия параллельны (рис. 17). Равнодействующую пара сил не имеет. Пара оказывает вращательный эффект на твёрдое тело, который численно характеризуется моментом пары сил. Плоскость, проходящая через линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары сил. Кратчайшее расстояние d между линиями действия пары сил называется плечом пары сил.

Момент пары сил - величина, равная произведению модуля одной из пары сил на ее плечо, которая может быть отрицательной или положительной (рис. 18).

Свойства пары сил:

– можно складывать моменты пар сил относительно произвольной точки, при этом сумма будет равна моменту пары сил;

– можно перемещать пару сил в плоскости действия, не из-

()()(

)

меняя действия пары сил на твердое тело, сохраняя при этом ее момент;

– пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия;

– эквивалентный момент двух пар, действующих на твердое тело и лежащих в пересекающихся плоскостях, равен геометрической сумме моментов составляющих пар;

– две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар, например:

= ,,, .

2.5. Условия равновесия произвольной системы сил

Рис. 19

ную систему сил, приложенных к твердому телу, можно заменить эквивалентной системой, приложенной в произвольной точке те-

ла и состоящей из силы, равной главному векторуR системы, и пары сил, момент которой равен главному моменту темы относительно точки приведения (рис. 19). Главным векторомR системы сил называется геометрическая сумма всех

сил системы:

Произвольной системой сил называется система сил, на которую не наложено никаких ограничений в отношении направления и точек приложения сил. В соответствии с основной теоремой статики любую произволь-

PlFdPPmFFmPFm -=

M сил сис-

ii1

Главным моментом

(

)

M системы сил относительно центра

приведения называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно этого центра:

Произвольную систему сил преобразуют в соответствии с методом, основанным на лемме Пуансо.

Лемма. Силу можно переносить параллельно самой себе в

точку тела, не изменяя её действие и добавляя при этом пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения (рис. 20).

Рис. 20

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и

достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:

00 ==оM,R ,

или

F 0

÷ ø

111

Условия равновесия могут быть использованы для определения реакций связей при решении статически определимой задачи. Задача является статически определимой если число неизвестных реакций связи равно количеству уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

В случае если на тело действует плоская система сил, т.е.

(

)

(

)

=ni

(

)

(

)

1,01,01

=ni

(

)

()(

)

1,01,01

=ni

силы, которые лежат в одной плоскости (рис. 21), то условия равновесия будут определяться тремя равенствами:

sin

cos

F 0

или (при условии, что отрезок AB не перпендикулярен оси Ox):

или (при условии, что точки A, B, C не лежат на одной прямой):

iyFi

ixFi

Рис. 21

2.6. Центр системы параллельных сил (центр тяжести)

Для системы параллельных сил введем понятие центра параллельных сил. Рассмотрим систему параллельных сил F1,…Fn,

приложенных в точках А1,…Аn(рис. 22). Такая система имеет равнодействующую, модуль которой:

При повороте данной системы сил на некоторый угол α ли-

нии действия каждой из представленных сил будут сохранять

свою параллельность, также повора- чиваясь на угол α.

Модуль равнодействующей в

таком случае будет оставаться величиной постоянной, но направление равнодействующей всякий раз будет меняться. Можно попытаться опре-

Рис. 22

делить такую геометрическую точку C, через которую будет проходить

линия действия равнодействующей системы при любых её углах поворота. Такая точка C называется центром параллельных сил.

Координаты центра параллельных сил определяются при помощи последовательного применения теоремы Вариньона относительно оси. В окончательном виде формулы для пространственной системы параллельных сил:

ixi

;

iyi

;

izi

Силы тяжести можно считать параллельными силами. В таком случае центр параллельных сил тяжести называется центром тяжести твердого тела. Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую

проходит линия действия равнодействующей сил тяжести при любом положении тела в пространстве.

Равнодействующую сил тяжести

этих частиц обозначимP(рис. 23). Мо-

Рис. 23

дуль этой силы называется весом тела и определяется

Координаты центра тяжести тела т. С (хс, ус, zс) находятся по

формулам:

ixi

iyi

;; ,

izi

где хi, уi, zi – координаты частиц твердого тела в выбранной системе отсчета.

Замечание. Центр тяжести твердого тела может находиться и вне пределов данного твердого тела (например, для кольца).

2.7. Равновесие при наличии трения скольжения

и трения качения

При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции, которая имеет две составляющие - нормальную и силу трения скольжения. В результате экспериментальных исследований были установлены законы Амонтона – Кулона.

1. Сила трения скольжения при равновесии тела принимает

значения от нуля до максимального значения.

2. Cила трения скольжения достигает максимального значения при определённой величине нормальной реакции, а также определяется материалами и состоянием контактирующих поверхностей, от площади контакта не зависит.

max

fNF =

тр

где f - коэффициент трения скольжения (рис. 24).

Трением качения называется сопротивление, которое воз-

никает при взаимном качении тел по их поверхностям. В деформации тел их касание происходит вдоль площадки AB, получается распределенная система сил реакции, которую можно заменить силой и

Рис. 24

парой (рис. 25). Силу, в свою очередь,

можно разложить на две составляющие нормальную и силу трения скольжения. В случае равновесия тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством:

=Nδ,

cmax

где δ - коэффициент трения качения (по аналогии с трением скольжения), имеет размерность длины. Коэффициент трения качения зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

Рис. 25

Контрольные вопросы

1. Из каких разделов состоит теоретическая механика?

2. Какие модели материальных тел применяются в теорети-

ческой механике?

3. Какие виды связей вы знаете? Как направлены их реакции?

4. Что такое система сходящихся сил, как найти их равнодей-

ствующую? Запишите условие равновесия сходящейся системы сил.

5. Что такое момент силы относительно точки и какие

свойства он имеет?

6. В каких случаях момент силы относительно оси может

быть равен нулю?

7. Какими свойствами обладает пара сил?

8. Что такое главный вектор и главный момент системы сил?

9. При каком условии произвольная система сил будет

находиться в равновесии?

10. Как рассчитываются координаты центра тяжести тела?

3. КИНЕМАТИКА

Всякое движение материальных тел совершается в пространстве с течением времени. Движение тел в пространстве рассматривается относительно выбранной системы координат, жестко связанной с некоторым телом, называемым телом отсчета. Время считается абсолютным и необратимым, т.е. протекающим равномерно и одинаково от прошлого к будущему для всех точек пространства и во всех системах координат, независимо от того, движутся они или нет. Отсчет времени ведется с момента начала изучения движения материального тела.

Системой отсчета называют систему, состоящую из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени. При изучении движения материального тела, в случае, когда расстояние, проходимое телом, значительно больше его размеров, тело можно заменить материальной точкой.

Основными задачами кинематики являются:

– описание способов задания движения тела;

– определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.

3.1. Способы задания движения

Задать движение – означает дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. Традиционно различают следующие способы:

– векторный способ задания движения;

– координатный способ задания движения;

– естественный способ задания движения.

При векторном способе задания движения положение точки определяется с помощью радиус-вектора, который проводится из неподвижной точки в выбранной системе отсчета. При движении материальной точки M в пространстве в любой момент времени t можно задать положение данной точки относительно не-

подвижного центра О с помощью вектораr (рис. 26), при этом с течением времени радиус-вектор меняется и по величине, и по

направлению. Закон движения матери-

альной точки в пространстве задается векторным уравнением вида:

)t(rr = .

Положение материальной точки

M можно задать изменяемыми во вре-

Рис. 26

мени координатами x, y, z декартовой системы координат (рис. 27). В коор-

динатной форме задание движения осуществляется с помощью координат точки как функции времени:

x(t),x

y(t),y

í ï

z(t).z

При введении единичных векторов координатных осей

k,j,i (ортов) можно получить связь

между векторным и координатным способами задания движения точки, которая выражается следующим равенством:

kzjyixr ++= .

Для задания движения точки

могут быть использованы и другие системы координат, например,

Рис. 27

цилиндрическая, сферическая, полярная.

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки заранее известна, например, точка движется по прямой или по окружности. Траекторией называется линия, которую за определенный промежуток времени описывает движущаяся в пространстве материальная точка. Для задания движения точки естественным способом необходимо (рис. 28):

– знать траекторию движения точки;

– выбрать на траектории точку, начало отсчета;

– указать положительное и отрицательное направление от- счета криволинейной координаты s;

– задать закон изменения криволинейной координаты как

функции времени:

s=s(t).

Таким образом, положение

движущейся материальной точки М на траектории относительно точки О начала отсчета будет определено криволинейной коорди-

Рис. 28

натой s. Радиус-вектор r точки М относительно какой-либо фикси-

рованной точки можно выразить сложной функцией времени:

))t(s(rr = ,

при этом

== ,

где n,t – единичные векторы касательной и нормали к траектории в точке М; ρ – радиус кривизны траектории в точке М.

3.2. Скорость и ускорение точки

Скорость и ускорение точки являются важнейшими кинематическими характеристиками ее движения. Скорость точки является кинематической мерой, характеризующей быстроту и направление движение точки в данный момент времени. Скорость определяется первой производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета:

v =

Ускорение точки характеризует изменение скорости точки по величине и направлению. Его величина определяется как первая производная по времени от скорости или вторая производная по времени от радиус-вектора этой точки:

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]