Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Учебное пособие
.pdf
Скорость и ускорение точки при координатном способе за-
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
v
v
v
a
a
a
dt
n
дания движения можно выразить через проекции на оси
координат:
v ++==
rd
,kzvjyvixv
dv
a ++== .
kzajyaixa
Проекции вектора скорости точки на оси координат равны
первым производным соответствующих координат по времени:
dx
xv
dy
yv,
zyx
dz
&&&
zv,
======
.
Проекции вектора ускорения точки на оси координат равны
вторым производным соответствующих координат по времени:
2
xd
xa
2
2
yd
&&&&
ya,
zyx
2
2
zd
&&
za,
======
.
2
Модуль и направление скорости и ускорения:
222
v
v
)i,vcos( ===
)i,acos( ===
vv ++=
x
v
x
aa ++=
x
a
x
z
y
v
y
)j,vcos(,
222
a
a
z
y
a
y
)j,acos(,
v
z
,
)k,vcos(,
a
z
)k,vcos(,
,
Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения определяются по выражениям:
rd
v
d
vd
a
dt
&
ds
ds
dt
&
sd
)s(
tt
dt
&
,s
t
===
2
&
&&&
s
t
s
n
+=+=== .
r
ds
d
t
s
dt
ds
ds
rd
Вектор скорости точки всегда направлен в сторону ее движения по касательной к траектории (рис. 29). При естественном
способе задания движения вектор ускоренияa можно разложить
на две составляющие – касательное
и нормальное
a
t
a ускорения:
21
2
BP
V
V
BP
V
V
&
&&
t
t
a,sa
n
s
n
== .
r
Касательное ускорение
характеризует изменение скорости по величине и направлено по
касательной к траектории в точке. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости
по направлению и направлено
по нормали к траектории от точки к центру кривизны. Модуль и
Рис. 29
направление вектора ускорения
определяются по выражениям:
B
A
w
==
AP
()
w
na
=,tan
AP
a
t
a
n
B
A
==
,
3.3. Поступательное и вращательное движения твердого тела
Поступательное движение твердого тела – это движение,
при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной самой себе. Все точки тела при поступательном движении движутся по одинаковым траекториям, их скорости и ускорения в каждый момент времени одинаковы по модулю и направлению (рис. 30):
22
AB ǀǀ A'B'; AC ǀǀ A'C'; BC ǀ B'C;'
vvv == ;
CBA
vvv
== ;
CBA
¢¢¢
aaa == ;
CBA
aaa
== .
CBA
¢¢¢
Таким образом, для
dt
j
dt
изучения поступательного
движения твердого тела достаточно изучить движение
какой-либо одной его точки,
например, центра масс. Вра-
щательное движение – это
Рис. 30
движение твердого тела,
имеющего две неподвижные
точки, находящиеся на оси вращения. Все точки тела, лежащие на
оси вращения, неподвижны, а остальные движутся по окружностям, которые лежат в перпендикулярных к оси вращения плоскостях (рис. 31).
Положение тела определяется углом φ, образованным при
повороте жестко связанной с телом подвижной плоскости πн относительно неподвижной плоскости πн. Вращательное движение
твердого тела описывается уравнением:
φ=φ(t).
Угловая скорость – характеризует изменение угла поворота
с течением времени. Первая производная по времени от угла поворота равна алгебраическому значению угловой скорости:
d
&
jw
.
==
Угловое ускорение
характеризует изменение угловой скорости и определяется
первой производной
по времени от угловой скорости или
второй производной
по времени от угла
поворота:
Рис. 31
2
d
d
w
dt
j
we
j
&&&
====
.
2
23
Все точки вращающегося тела движутся относительно оси
t
n
n
вращения по траектории в виде окружности (рис. 31).
Скорость v точки тела, совершающего вращательное движение, определяется произведением угловой скорости ω на расстояние R от точки до оси вращения:
v=Rω.
Вектор скорости точки вращающегося тела направлен по касательной к траектории движения точки в сторону вращения. Полное ускорение точки вращающегося тела складывается из каса-
тельного
и нормального
a
ускорений:
a
aaa +=
, Ra,R
t
a
2
w
n
ew
+= Ra .
e
==
t
,
24
3.4. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
При плоскопараллельном (плоском) движении твердого тела все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой
неподвижной плоскости (рис. 32). Отсюда следует, что перпендикуляр MA остается параллелен своему начальному положению.
При этом точки M и A имеют одинаковые траектории, скорости и
ускорения. Таким образом, плоское движение твердого тела можно рассматривать как движение плоской фигуры S в ее
плоскости.
Рассмотрим, как происходит задание движения плоской фигуры. Для этого
введем подвижную систему координат,
совершающую поступательное движение
с точкой A. Движение плоской фигуры
Рис. 32
является сложным, оно складывается из
переносного движения, то есть поступа-
тельного движения подвижной системы координат вместе с полюсом (точкой A) и относительного движения, то есть вращения
вокруг полюса. При этом необходимо задать две координаты полюса и один углом между отрезком, жестко связанным с телом, и
24
направлением одной из неподвижных осей. Уравнения движения
j
w
&
=
w
e
&
=
для плоской фигуры можно записать в виде:
xA= xA(t); yA= yA(t); zA= zA(t)
В качестве полюса при задании плоского движения может
приниматься любая точка тела. Поэтому от выбора полюса зависит вид первых двух уравнений движения, но не зависит закон
изменения угла.
Изменение угла поворота плоской фигуры характеризуется
угловой скоростью
, она также не зависит от выбора полю-
са. Изменение угловой скорости характеризует угловое ускорение
.
.
Теорема. Скорость любой точки тела при плоском движе-
нии находится как сумма скорости полюса и скорости данной
точки во вращательном движении вокруг полюса.
Данную теорему можно применить при описании сложного движения точки:
движется поступательно, BA
тельное движение вращательное. Следовательно:
vvv += , так как подвижная система
ArB
v
v
v
BA
r
w
== , , так как относи-
BA
vvv += .
BAAB
Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры
на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между
собой.
3.5. Мгновенный центр скоростей
Мгновенный центр скоростей (МЦС) - это точка плоской
фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Если фигура совершает плоское движение, то в данный момент
времени существует МЦС, и притом единственный. Чтобы определить положение, необходимо воспользоваться следующим.
1. Для определения МЦС надо знать только направления
векторов скоростей
и
V
A
каких-нибудь точек А и В плоской
V
В
фигуры (или траекторию этих точек). МЦС будет находиться в
точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А
и В к векторам скоростей этих точек (или касательным к их
траекториям).
25
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры
BP
V
V
надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной
точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.
3. Угловая скорость ω плоской фигуры равна в каждый мо-
мент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к
её расстоянию до мгновенного центра скоростей P. Например,
угловую скорость фигуры, изображенной на рис. 33, а, можно
определить, используя выражения
B
A
AP
Рис. 33
==
.
w
Некоторые частные случаи определения МЦС.
а) Мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности,
если скорости точек А и B плоской фигуры параллельны друг
другу, а линия АB не перпендикулярна линиям действия векторов
скоростей, тогда и скорости всех точек фигуры будут
параллельны.
Такая фигура, совершая плоскопараллельное движение в
общем, в данный момент времени имеет мгновенное поступательное распределение скоростей. Угловая скорость ω тела в этот
момент времени будет равна нулю (рис. 33, б).
б) Если векторы скоростей
и
V
A
точек А и В плоской
V
В
фигуры параллельны друг другу и при этом линия AB⊥
, то
V
i
мгновенный центр скоростей P определяется точкой пересечения
26
прямой, содержащей AB, с прямой, проведенной через концы
B
24
e +w
векторов
в) Если известны вектор скорости
и
V этих точек (рис. 33, в).
V
A
B
какой-нибудь точки В
V
В
фигуры и угловая скорость ω, то положение МЦС – точки Р, лежа-
щей на перпендикуляре к
, определяется из равенства
V
В
BP = VB/ω.
г) Если плоскопараллельное дви-
жение осуществляется путем качения без
скольжения одного цилиндрического тела
по поверхности другого неподвижного
тела, то точка касания P имеет скорость,
равную нулю, и будет являться мгновен-
Рис. 34
ным центром скоростей (рис. 34).
3.6. Мгновенный центр ускорений
Точка, ускорение которой в данный момент времени равна
нулю, называется мгновенным центром ускорения (МЦУ). Для
того чтобы определить положение МЦУ, необходимо полупрямую (рис. 35), по которой направлен вектор полного ускорения
a какой-либо точки B, повернуть вокруг точки B на острый
угол
ö
æ
e
÷
=
m
ç
arctg .
÷
ç
2
w
ø
è
и затем отложить на ней от точки B отрезок
длиной:
a
Рис. 35
BQ =
B
Точка Q будет определять положение МЦУ в данный момент времени. При ускоренном вращении фигуры поворот полу-
прямой, по которой направлен вектор
a вокруг точки B , нужно
B
производить в направлении вращения фигуры. При замедленном
вращении поворот осуществляется в направлении, обратном
27
вращению фигуры. Если угловое ускорение тела в данный момент
времени равно нулю ε = 0, то μ = 0 и мгновенный центр ускоре-
ния лежит на прямой, по которой направлен вектора
.
a
B
Положение МЦУ также можно определить, зная направление и значение угловой скорости ω и углового ускорения ε тела и
направление ускорений
,
a
A
двух каких-либо точек A и В в
a
B
данный момент времени.
В таком случае положение МЦУ будет определяться точкой пересечения Q полупрямых, повернутых от линий действий
векторов
a ,Ba , согласно вышеупомянутому правилу, на угол μ
A
(рис. 36, а - при ускоренной вращательной составляющей дви-
жения твердого тела; б - при замедленной вращательной составляющей движения твердого тела).
Рис. 36
Мгновенный центр ускорений можно применять для определения ускорений точек фигуры, совершающей плоскопараллельное движение. На основании свойств МЦУ следует, что
Q
a
a
A
A
=
.
Q
B
B
Таким образом, модули ускорений точек фигуры, совер-
шающей плоскопараллельное движение, прямо пропорциональны
их расстояниям до мгновенного центра ускорений. Кроме этого:
- положение МЦУ находят с помощью модуля и направле-
ния угловой скорости и углового ускорения тела, а также модуля
и направления вектора полного ускорения какой-либо точки в
данный момент времени;
28
- положение МЦУ возможно найти с помощью модуля и
направления угловой скорости и углового ускорения тела, а также направления векторов полных ускорений каких-либо двух точек в данный момент времени;
- при определении кинематических параметров тела и его
точек при плоскопараллельном движении, наряду с теоремой ускорений, можно использовать свойства МЦУ.
3.7. Сложное движение точки
До сих пор мы рассматривали движение точки или тела по
отношению к одной заданной системе отсчета (неподвижной системе декартовых координат или подвижной системе естественных осей). Такой вид движения является простым. Если рассмат-
ривается движение точки или
тела одновременно по отношению к двум системам отсчета,
одна из которых неподвижна
(стационарна), а вторая движется, то такое движение считается
сложным. Рассмотрим точку М,
движущуюся по отношению к
подвижной системе отсчета
Ox1y1z1, которая, в свою очередь, движется относительно
другой условно неподвижной
Рис. 37
системы отсчета Oxyz (рис. 37).
1. Движение, совершае-
мое подвижной системой отсче-
та Ox1y1z1 и всеми связанными с нею точками (включая точку m,
неизменно связанную с точкой М) по отношению к неподвижной
системе отчёта, является для точки М переносным. Траектория 1-
1 будет являться траекторией переносного движения. Скорость
той неизменно связанной с подвижными осями точки m, с кото-
рой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М,
называется переносной скоростью точки М и обозначается
V ,
пер
29
а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М и
обозначается
a .
пер
2. Движение, совершаемое точкой М по отношению к
подвижной системе отсчета (к осям Ox1y1z1), называется относительным. Траектория 2-2 будет называться относительной
траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Ox1y1z1 на-
зывается относительной скоростью
тельным ускорением
. При определении данных величин
a
отн
, а ускорение - относи-
V
отн
движение самих осей Ox1y1z1 во внимание не принимается (они
считаются неподвижными).
3. Движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz, называется абсолютным или
сложным. Траектория 3-3 называется абсолютной траекторией,
скорость - абсолютной скоростью
, а ускорение - абсолютным
V
абс
ускорением
. При сложном
a
абс
движении абсолютная (полная) скорость точки равна геометрической
сумме относительной и переносной
скоростей:
Рис. 38
VVV += .
перотнабс
Данные векторы направлены по касательным к соответст-
вующим траекториям (рис. 38). Если угол между векторами
V
и
равен α, то модуль абсолютной скорости можно опреде-
пер
V
отн
лить по формуле:
2
2
отнабс
2
пер
2
2
отн
a
cos
VVVVV ++= .
пер
При сложном движении точки абсолютное ускорение равно
геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или кориолисова (теорема Кориолиса):
.aaaa
++=
корперотнабс
Вектор кориолисова ускорения равен удвоенному вектор-
ному произведению вектора переносной угловой скорости (угло-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]