Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурный и кинематический анализ механизмов. Учебное пособие
.pdf
2.3. Векторные уравнения для скоростей и ускорений
При построении планов скоростей и ускорений механизма
рассматривают обычно лишь точки звеньев, совпадающие с кинематическими парами. Например, рассматривают точки звеньев,
располагающиеся в центрах вращательных кинематических пар
(шарниров).
Рассмотрим основные уравнения, используемые для построения планов скоростей и ускорений.
Из теоретической механики известно, что скорость любой
точки абсолютно твердого тела можно представить как геометрическую сумму скоростей переносного и относительного движения. В плоском механизме каждое звено в общем случае совершает плоскопараллельное движение, которое можно представить
как состоящее из переносного движения вместе с произвольно
выбранным полюсом, и движения относительно этого полюса. За
полюс принимается обычно точка, скорость которой известна.
Чтобы применять графические методы кинематического
исследования механизма, необходимо научиться составлять векторные уравнения скоростей и ускорений для двух случаев расположения рассматриваемых точек.
1. Две точки (А и В) принадлежат одному звену и удалены
друг от друга на расстоянии
. Скорость и ускорение одной
точки (например, точки А) известна. Требуется определить скорость и ускорение другой точки (точки В).
Составляем векторное уравнение скоростей:
,
где
,
,
- соответственно векторы скоростей точки В, точ-
ки А, точки В относительно условно неподвижной точки А, взятой в качестве полюса. Скорость движения точки В относительно
точки А можно рассмотреть на рис. 2.3.
При относительном вращательном движении звена вокруг
точки А точка В движется по дуге окружности, описанной из точ-
ки А. Поэтому скорость
направлена по касательной к дуге
этой окружности в точке В, то есть перпендикулярно прямой АВ.
Направление скорости
соответствует направлению угловой
скорости звена ω и наоборот.
31
Рис. 2.3. Схема для рассмотрения скоростей в относительном
движении двух точек, лежащих на одном и том же звене
Величину этой скорости можно найти по формуле:
,
где ω - угловая скорость звена, на котором расположены рас-
сматриваемые точки, ;
- расстояние между рассматривае-
мыми точками, м.
Составляем векторное уравнение ускорений:
где , ,
- соответственно векторы ускорений точки В, точ-
, (2.1)
ки А, точки В относительно условно неподвижной точки А можно
рассмотреть на рис. 2.4.
Для удобства определения ускорений ускорение
кладывают в этом случае на две составляющие: нормальную
и тангенциальную
.
рас-
Уравнение (2.1) при этом принимает следующий вид:
Нормальная составляющая
.
направлена по прямой, со-
единяющей рассматриваемые точки; стрелка вектора направлена
от точки В, движение которой рассматривается, к точке А, которая взята за полюс в рассматриваемом относительном движении.
Величину нормальной составляющей ускорения можно определить по формулам
,
,
где ω - угловая скорость звена, на котором расположены рас-
сматриваемые точки, ;
- расстояние между рассматривае-
32
мыми точками, м;
- линейная скорость движения точки В от-
носительно точки А, м/с.
Рис. 2.4. Схема для рассмотрения ускорений в относительном
движении двух точек, лежащих на одном звене
Тангенциальная составляющая
направлена по каса-
тельной к дуге окружности, проведенной из точки А радиусом
АВ, то есть перпендикулярно прямой АВ. Направление стрелки
вектора
соответствует направлению углового ускорения
звена и наоборот.
Величину тангенциальной составляющей ускорения можно
определить по формуле
,
где - угловое ускорение звена, на котором расположены рассмат-
риваемые точки, ;
- расстояние между точками В и А, м.
Рассмотрим два случая.
1. Две точки (А1 и А
) принадлежат разным звеньям (1 и 2),
2
образующим поступательную пару, и в данный момент совпадают.
Скорость одной точки (например, точки А
) известна. Тре-
1
буется определить скорость другой точки (точки А2).
Составляем векторное уравнение скоростей:
где
точки А
,
,
и точки А2 относительно условно неподвижной точки А1,
1
- соответственно векторы скоростей точки А2,
взятой в качестве полюса. Скорость движения точки А
тельно точки А
можно рассмотреть на рис 2.5.
1
,
относи-
2
33
Скорость точки А
ω
Рис. 2.5. Схема для рассмотрения
но точки А
относитель-
2
равна скорости
1
движения звена 2 относительно звена 1. Точка А
движется
2
по прямой линии, параллельной направляющей движение
ползуна 2. Так же направлена
скорость
.
2. Две точки (А1 и А2)
принадлежат разным звеньям (1
скоростей в относительном движении двух точек, принадлежащих разным звеньям, входящим
в поступательную пару
и 2), образующим поступательную пару, и в данный момент
совпадают.
Ускорение одной точки
(например, точки А
) известно.
1
Требуется определить ускорение другой точки (точки А2).
Составляем векторное уравнение ускорений:
где
А
,
, А1 и А2 относительно условно неподвижной точки А
2
,
- соответственно векторы ускорений точек
, (2.2)
, взятой
1
в качестве полюса. Ускорение точки А2 относительно точки А
можно рассмотреть на рис. 2.6.
1
ω
Рис. 2.6. Схема для рассмотрения ускорений в относительном движении двух точек, принадлежащих разным звеньям, входящим в поступательную пару
Для удобства определения ускорений ускорение в относительном движении рассматриваемых точек в этом случае раскла-
34
дывают на две составляющие: кориолисово ускорение
Рис. 2.7. Схема определения
сова ускорения
ω
90°
релятивное ускорение
.
и
Уравнение (2.2) при этом принимает следующий вид:
.
Кориолисово ускорение появляется вследствие того, что
переносное движение является вращательным. Кориолисово
ускорение при плоском движении звеньев можно вычислить по
формуле:
.
Для определения направления кориолисова ускорения
необходимо вектор относитель-
ной скорости
повернуть на
90° по направлению угловой
скорости звеньев (рис 2.7).
Полученное направление вектора
направления вектора кориоли-
совпадает с направлением векто-
ра кориолисова ускорения
.
2.4. Порядок рассмотрения точек звеньев механизмов.
Свойства планов
При построении планов скоростей и ускорений вначале
рассматривают точки входного звена, то есть того звена, закон
движения которого задан. Затем рассматривают точки первой
присоединенной к входному звену и стойке структурной группы
звеньев, потом второй структурной группы и так далее.
Скорости и ускорения точек звеньев находят на основании
векторных уравнений. При рассмотрении точек структурных
групп составляют систему двух векторных уравнений. В каждых
уравнениях выражают скорость и ускорение точки, связанной со
средней кинематической парой структурной группы. При этом в
качестве полюса принимают для одного уравнения одну точку, а
для другого уравнения - другую точку, которые относятся к
крайним кинематическим парам рассматриваемой структурной
группы.
35
Входное звено механизма обычно совершает вращательное
движение относительно стойки. Считают, что это движение является равномерным.
Свойства планов скоростей и ускорений
Отрезки плана скоростей и ускорений, проходящие через
полюс, изображают абсолютные скорости и ускорения. Направления абсолютных скоростей всегда получается от полюса. В
конце векторов абсолютных скоростей и ускорений принято ставить малую букву той буквы, которой обозначается соответствующая точка на плане механизма.
Отрезки плана скоростей и ускорений, не проходящие через полюс, обозначают относительные скорости.
Концы векторов абсолютных скоростей точек механизма,
жестко связанных между собой, т.е. принадлежащих одному звену, на плане скоростей образуют фигуры, подобные сходственно
расположенные и повернутые на угол 180-φ относительно расположения их на плане механизма.
Неподвижные точки механизма имеют соответствующие
им точки на плане скоростей и ускорений, расположенные в полюсе. План скоростей дает возможность находить нормали и касательные к траектории точки без построения самих траекторий.
2.5. Построение планов скоростей. Примеры
2.5.1. План скоростей кривошипно-ползунного механизма
Ведущее звено (кривошип) (рис 2.8) совершает вращательное движение относительно точки О и окружная скорость точки
А равна:
и направлена перпендикулярно кривошипу ОА.
Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение и векторное уравнение для определения скорости точки В выглядит в
следующем виде:
,
36
Для скоростей
и
известно только направление
направлена вдоль направляющей;
направлена перпендику-
-
лярно звену АВ (рис. 2.9).
Полюсом плана скоростей называется произвольная точка
плоскости чертежа, из которой производится построение плана
скоростей.
Масштабом скорости называется отношение окружной
скорости ведущего звена
в м/с к длине отрезка ра, изобража-
ющего данную скорость на плане скоростей в мм:
.
Имея план скоростей, легко определить скорости звеньев
ω
Рис. 2.8. Кривошипно-ползунный механизм
Рис. 2.9. План скоростей кривошипно-ползунного механизма
Вектор скорости
- направлен параллельно направляющей;
направлен перпендикулярно звену АО;
- направлен пер-
пендикулярно звену АВ.
2.5.2. План скоростей рычажного механизма
Ведущее звено (кривошип) (рис. 2.10) совершает вращательное движение относительно О и окружная скорость точки А
равна:
,
37
и направлена перпендикулярно кривошипу ОА.
Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение и векторное уравнение для определения скорости точки В запишется в
следующем виде:
известно только направления:
Для скоростей
и
- направлена перпендикулярно звену АВ;
.
- направлена пер-
пендикулярно звену ВС.
Масштаб скорости (рис. 2.11):
.
ω1
Рис. 2.10. Рычажный механизм
b
p
Рис. 2.11. План скорости рычажного механизма
2.5.3. План скоростей кулисного механизма
Кривошип ОА (рис. 2.12) совершает вращательное движение и скорость точки А2 определяется:
= ·
38
Камень кулисы совершает сложное движение: переносное
движение вместе с кулисой ВА; относительное вдоль кулисы ВА.
Определение скоростей показано на рис. 2.13.
Рис. 2.12. Кулисный механизм
а3
Рис. 2.13. План скоростей кулисного механизма
а2
2.6. Построение планов ускорений. Примеры
2.6.1. Построение плана ускорений кривошипно-ползунного
механизма
Нормальное ускорение ведущего звена (рис. 2.14):
.
Нормальная составляющая ускорения точки А направлена
из точки к центру вращения. Касательная составляющая ускорения равна
39
.
ω
Рис. 2.14. Кривошипно-ползунный механизм
При отсутствии углового ускорения касательная составля-
ющая ускорения точки А равна нулю. Ускорение точки В определится из векторного уравнения:
Известны направление ускорения
.
- оно направлено
вдоль шатуна ВА из точки В к точке А, и его величина:
Для ускорений
и
.
известно только направление.
Первое из них направлено перпендикулярно шатуну АВ, а второе
вдоль направляющей ползуна. Точка пересечения этих ускорений
позволяет определить значения
, и
из плана (рис. 2.15).
b
Рис. 2.15. План ускорений кривошипно-ползунного механизма
а
Масштабом ускорений называется отношение нормального
ускорения ведущего звена, в м/ к длине отрезка, изображающе-
го данное ускорение на плане ускорений (рис. 2.15) в мм:
.
Длины отрезков известных по величине ускорений рассчи-
тываются делением истинного значения ускорения на величину
масштабного коэффициента
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]