Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строение атома и элементы квантовой физики. Учебное пособие
.pdf
3.5. Длина волны де Бройля
81
зать об амплитуде и частоте волны, если наблюдать ее в разных инерциальных системах отсчета?
2. Объясните, почему фаза волны должна оставаться инвариантной
относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой
инерциальной системе.
3.5. Длина волны де Бройля
Подводя итог всему сказанному выше, сформулируем гипотезу де
Бройля. С любой движущейся частицей связана волна, характеризуемая
волновым вектором
, при этом импульс частицы
Получим несколько полезных формул для вычисления длины вол-
ны де Бройля. Длина волны связана с величиной волнового вектора соотношением
Отсюда
Таким образом, с любой частицей может быть связана волна, длина которой вычисляется по формуле
(3.14)
где h – постоянная Планка, p – модуль импульса частицы. При использовании формулы (3.14) следует помнить, что в общем случае p – релятивистский импульс частицы.
Выразим длину волны де Бройля через энергию частицы. Для этого
воспользуемся известным соотношением из релятивистской механики, отражающим связь между энергией E и импульсом частицы:
(3.15)
3. Волновые свойства частиц
82
где c – скорость света в вакууме, m0 – масса покой частицы. Из формулы (3.15) получим выражение для модуля импульса частицы и подставим
его в (3.14):
Последнюю формулу можно также переписать в виде:
(3.16)
В (3.16) m0c2 – энергия покоя частицы, E – полная механическая энергия.
При решении некоторых задач удобно выразить длину волны через
кинетическую энергию частицы. Если на частицу не действуют внешние
силы, ее полная энергия
где Т – кинетическая энергия. Подставим это выражение для энергии в
формулу (3.15) и получим формулу для импульса:
Теперь найдем длину волны:
Последнюю формулу можно также переписать в виде:
(3.17)
3.6. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля
83
При скоростях движения частицы много меньших скорости света,
υ << c, кинетическая энергия частицы много меньше энергии покоя, по-
этому второй сомножитель в формуле (3.17) равен единице. Поэтому при
малых скоростях движения частиц длину волны можно вычислять по простой «классической» формуле:
(3.18)
Контрольные вопросы
1. В чем состоит гипотеза де Бройля?
2. Запишите в общем виде формулу для длины волны де Бройля.
3. Получите формулу длины волны де Бройля для релятивистс-
кого случая.
4. Рассчитайте длину волны де Бройля для электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов 100 В. Насколько оправдано применение релятивистской формулы в данном случае? Можно ли ограничиться вычислением импульса электрона по классической формуле? Ответ
обоснуйте.
5. Рассчитайте длину волны де Бройля для электрона в основном со-
стоянии атома водорода.
6. Рассчитайте длину волны де Бройля для нейтрона, находящегося
в движении и имеющего кинетическую энергию, равную энергии покоя
нейтрона.
3.6. Экспериментальные подтверждения
гипотезы де Бройля
Эксперимент, позволяющий проверить гипотезу о том, что электроны
и другие частицы обладают волновыми свойствами, предложил сам де
Бройль в 1924 г. Найдем длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью, далекой от скорости света. Для этого используем формулу (3.18). Пусть первоначально покоившийся электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 100 В. Тогда согласно закону сохранения
3. Волновые свойства частиц
84
энергии, он приобретет кинетическую энергию T = eU, где e – заряд электрона. Согласно формуле (3.18), длина волны электрона, имеющего массу m, будет равна:
(3.19)
Подставив в эту формулу значения величин h = 6,63·10
-34
Дж·с,
m = 9,1·10
-31
кг, e = 1,6·10
-19
Кл, получим результат
м.
Такая длина волны сопоставима с длиной волны рентгеновских лучей, а
также с межатомными расстояниями в кристаллах. На этом основании де
Бройль предложил провести эксперимент по рассеянию электронов поверхностью кристалла. Если электроны обладают волновыми свойствами,
то подобно тому, как наблюдается дифракция рентгеновских лучей на
кристаллах, должна наблюдаться и дифракция электронов. Подобные эксперименты были проведены в 1927 г. К. Дж. Дэвиссоном и Л. Х. Джермером в США и Дж. П. Томсоном, сыном Дж. Дж. Томсона, в Великобритании [2, 7].
Дэвиссон и Джермер исследовали процесс дифракции электронов на
кристаллах никеля. Схема эксперимента показана на рис. 3.3. Электроны,
испущенные нагретым катодом, ускорялись и фокусировались в узкий пучок. Этот пучок электронов падал на специально подготовленную поверхность монокристалла никеля и отражался от этой поверхности. Поток отраженных электронов попадал в детектор, соединенный с чувствительным
гальванометром. Детектор мог поворачиваться по отношению к поверхности кристалла и в него попадали электроны, отраженные под различными
углами. Угол между электронным лучом, падающим на кристалл и отраженным электронным лучом на рис. 3.3, обозначен буквой α. Интенсивность потока отраженных электронов определяли по силе тока, которую
фиксировал гальванометр G. Чем больше электронов попадает в детектор
в единицу времени, тем больше сила тока в гальванометре.
Схема эксперимента подобна схеме опыта по наблюдению дифракции
рентгеновских лучей на поверхности кристалла. Когда на кристалл падает
рентгеновское излучение, то в результате отражений от атомов кристалла
интенсивность отраженных волн усиливается в одних направлениях и
ослабляется в других. Это явление и называется дифракцией рентгеновских лучей. Оно широко используется для исследования структуры кри-
3.6. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля
85
сталлов. Зная направления, в которых наблюдаются максимумы отраженного излучения, определяют расстояния между атомами в кристалле. Теория дифракции рентгеновского излучения на кристаллах была разработана
в У. Л. Брэггом [13, 14] в 1913 г.
На рис. 3.4 схематически показан процесс формирования дифракционной картины при отражении волны от кристалла. Пунктирные горизонтальные линии обозначают плоскости, в которых в кристалле располагаются атомы. Расстояние между ближайшими из этих плоскостей равно d.
Пусть волна 1 падает на поверхность кристалла, образуя угол θ с плоскостью, в которой расположены атомы, и отражается от атома, находящегося
в точке A. При этом угол падения равен углу отражения. Отметим, что
CADBAD
, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
Волна 2 отражается от атома, находящегося в точке D. Разность хода между этими волнами
Если разность хода Δ = nλ, где n = 0, 1, 2, …, λ – длина волны, то в направлении, определяемом углом отражения θ, будет наблюдаться дифракционный максимум. Направления на дифракционные максимумы определяются формулой, которую называют формулой Вульфа – Брэгга:
(3.20)
Рис. 3.3. Схема опыта
по дифракции электронов
Рис. 3.4. К выводу
формулы Вульфа Брэгга
При выводе формулы Брэгга природа волн не является существенной. Эта формула справедлива для любых волн. Поэтому, если электроны обладают волновой природой, то условие наблюдения максимумов
3. Волновые свойства частиц
86
интенсивности при отражении электронов должно иметь вид (3.20).
В качестве длины волны нужно рассматривать длину волны де Бройля
для электронов.
В эксперименте Дэвиссона и Джермера поток электронов отражался
от кристаллографической плоскости (111) кристаллов никеля. Из экспериментов по дифракции рентгеновских лучей известно, что расстояние между двумя соседними кристаллографическими плоскостями (111) в никеле
d = 0.091 нм. В ходе опыта изменяли ускоряющее напряжение для электронов и определяли силу тока в гальванометре в зависимости от угла α
между падающим пучком и положением детектора. Оказалось, что в интервале ускоряющих напряжений между 44 В и 68 В наблюдается усиление интенсивности отраженного пучка при угле α около 50. Максимального значения сила тока через гальванометр достигала при величине ускоряющего напряжения U = 54 В и величине угла между падающим и отраженным пучками α = 50.
Определим, какой длине волны соответствует такой максимум, поль-
зуясь формулой Вульфа – Брэгга. Из рисунков (3.3) и (3.4) видно, что угол
между падающим лучом и атомной плоскостью в кристалле θ и угол между падающим и отраженным лучами α связаны соотношением 2θ + α = .
Отсюда
Подставим это выражение в (3.20) и воспользуемся формулой приведения
для тригонометрических функций:
Мы рассматриваем дифракционный максимум первого порядка и поэтому
считаем n = 1. Подставив в эту формулу значения величин d и α, получим
значение длины волны
Теперь определим длину волны де Бройля для электронов, прошед-
ших ускоряющую разность потенциалов U = 54 В. Для этого воспользуемся формулой (3.19) и подставим в нее величины напряжения, заряда и массы электрона и постоянной Планка:
3.6. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля
87
Мы видим, что с точностью до погрешностей эксперимента величина длины волны, рассчитанная по формуле де Бройля совпадает с полученной
экспериментально. Этот факт служит надежным подтверждением справедливости гипотезы де Бройля.
В том же 1927 г. независимо от Дэвиссона и Джермера экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля получил Дж. П. Томсон. Он
также исследовал дифракцию электронов на твердых телах, но в отличие
от Дэвиссона и Джермера использовал не монокристаллы, а тонкие поликристаллические пластины различных материалов. Методика проведения
эксперимента и способ определения длины волны отличались от использованных Дэвиссоном и Джермером, но результаты Томсона также подтвердили справедливость предположений де Бройля. Через несколько лет,
в 30-х и 40-х годах XX века были проведены эксперименты по дифракции
протонов, нейтронов, а также некоторых атомов и молекул. Во всех случаях присутствовало надежное согласие с теорией де Бройля.
Контрольные вопросы
1. Опишите схему эксперимента Дэвиссона и Джермера по дифрак-
ции электронов на кристалле, подтверждающего наличие у электронов
волновых свойств.
2. Как подбиралось ускоряющее напряжение, имела ли значение для
эксперимента его величина?
3. Выведите формулу Вульфа – Брэгга. Какое явление должно наблю-
даться при взаимодействии электронов с кристаллом никеля, если электроны обладают волновой природой?
4. Рассчитайте длину волны де Бройля для электронов, прошедших
ускоряющую разность потенциалов U = 52 В.
5. Рассчитайте положение первого дифракционного максимума при
дифракции электрона на кристалле никеля, если расстояние между двумя
соседними кристаллографическими плоскостями в никеле 91∙10-9 м, а
электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 52 В.
3. Волновые свойства частиц
88
3.7. Применение принципа корпускулярно-волнового
дуализма для описания поведения частиц
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля привело к
важным изменениям в понимании природы материи. Оказалось, что все
микрочастицы, электроны, протоны, нейтроны, атомы и молекулы обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. В одних случаях, например при наблюдении треков в камере Вильсона, электрон проявляет себя как частица. В других, как при дифракции на кристалле, он проявляет волновые свойства. Для описания одних и тех же объектов мы вынуждены использовать и волновую и корпускулярную картину. Принцип
корпускулярно-волнового дуализма, сформулированный ранее для света,
согласно которому свет можно рассматривать и как электромагнитную
волну и как поток частиц – фотонов, оказался универсальным. Его следует
применять и для описания поведения частиц.
Возникает важный вопрос, почему волновые свойства проявляются у
микрочастиц, т.е. у элементарных частиц, атомов и не проявляются у макроскопических тел? Ответ на него можно получить, вычислив длину волны де Бройля для различных тел. Длина волны определяется по формуле:
где h – постоянная Планка, p – модуль импульса частицы. Вычислим длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью 1 км/с и для
шарика массой 0,1 г, движущегося со скоростью 1 см/с. В обоих случаях
скорости движения тел много меньше скорости света, поэтому мы будем
пользоваться классической формулой для вычисления величины импульса
p = mυ. Для протона (mp = 1,67·10
-27
кг)
Длина волны для протона сопоставима с величиной межатомных расстояний в кристаллах. Поэтому в эксперименте можно наблюдать проявление
волновых свойств протона – дифракцию протонов на кристаллах. Теперь
рассчитаем длину волны для макроскопического шарика.
3.8. Соотношения неопределенностей
89
Для шарика длина волны оказалась очень маленькой. В природе не
существует объектов, размеры которых были бы сопоставимы с этой длиной волны. Например, размеры атомного ядра оцениваются в 10
-15
м. Ши-
рина щели гипотетической дифракционной решетки с помощью которой
можно было бы наблюдать дифракцию шариков, должны быть примерно в
миллиард раз меньше размеров атомного ядра. Поэтому волновые свойства наблюдаются только у микрочастиц и никогда не наблюдаются у
макроскопических тел.
Контрольные вопросы
1. Почему волновые свойства проявляются в экспериментах с микроча-
стицами и не проявляются в экспериментах с макроскопическими телами?
2. Проведите расчет длины волны альфа-частицы, двигающейся по
окружности в магнитном поле со скоростью 103 м/с, и мяча массы 0.3 кг,
движущегося равномерно со скоростью 0.1 м/с. Сравните полученные результаты. Сделайте вывод о волновых свойствах объектов.
3.8. Соотношения неопределенностей
Наличие у одних и тех же объектов одновременно волновых и корпус-
кулярных свойств приводит к тому, что области и условия применимости
корпускулярных и волновых понятий для таких объектов неизбежно будут
ограничены. В классической механике положение частицы (или ее центра
масс) характеризуется пространственными координатами. Координаты частицы можно определить сколь угодно точно. При этом частица может об-
ладать импульсом , также определяемым с любой точностью. Со-
стояние частицы характеризуется набором значений ее пространственных
координат и проекций импульса на оси координат {x, y, z, px, py, pz}. Для того чтобы стало возможным описывать волновые свойства частиц, частице
поставили в соответствие волновой пакет, локализованный в некоторой
области. Положение волнового пакета уже невозможно охарактеризовать
3. Волновые свойства частиц
90
набором точных значений координат {x, y, z}, волновой пакет обладает
некоторой пространственной протяженностью. Рассмотрим волновой пакет, движущийся вдоль оси OX с групповой скоростью υg.
Как известно из математического анализа, любая ограниченная функция может быть представлена в виде волнового пакета, который является
суперпозицией плоских волн со значениями волнового вектора, непре-
рывно меняющимися в пределах определённого интервала
. Если функ-
ция зависит только от одной переменной x, то соотношение между пространственной протяжённостью пакета Δx и величиной интервала Δkx
можно приближенно задать условием:
(3.21)
Умножим левую и правую части формулы (3.21) на постоянную Планка,
деленную на 2:
Согласно формуле де Бройля (3.6), для импульса частицы
.
Поэтому
(3.22)
Аналогичные формулы можно получить и для других координат и проекций импульса:
(3.23)
(3.24)
Формулы (3.22–3.24) получили название соотношений неопределенностей. В нерелятивистском случае из этих соотношений следует, что
координата частицы, обладающей еще и волновыми свойствами, и проекция импульса этой частицы на соответствующую координатную ось не
могут быть одновременно определены со сколь угодно высокой точностью. В самом деле, если погрешность в определении координаты Δx будет очень маленькой или вообще стремящейся к нулю, то неопределенность в измерении проекции импульса на ось OX, которую можно определить по формуле
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]