Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строение атома и элементы квантовой физики. Учебное пособие
.pdf
2.4. Квантование действия
41
Осциллятор совершает гармоническое движение, и его координата, отсчитанная от положения равновесия, изменяется по гармоническому закону
, (2.1)
где A – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота колебаний, φ0 –
начальная фаза колебаний. Циклическая частота
, где m – масса ко-
леблющегося тела, k – квазиупругий коэффициент. Этот коэффициент
определяет величину возвращающей силы, возникающей при выведении
осциллятора на малое расстояние x из положения равновесия. Величина
этого коэффициента определяется силами, действующими между телами.
Скорость гармонического осциллятора в произвольный момент времени t:
(2.2)
При этом максимальное по величине значение скорости осциллятора рав-
но Частота колебаний классического гармонического осциллято-
ра может быть какой угодно. Ее величина определяется типом и интенсивностью взаимодействия между телами.
Если такой осциллятор излучает электромагнитные волны, энергия
которых может иметь только дискретный набор значений En = nhν (n – целое число), то при испускании волны энергия колебаний самого осциллятора может уменьшаться на величину не менее, чем ΔE = hν. То есть величина энергии колебаний осциллятора тоже должна иметь только дискретный набор значений En = nhν. Какими должны быть специфические осо-
бенности движения такого осциллятора?
Механическое состояние материальной точки характеризуется набором значений ее координат, например декартовых, x, y и z, и набором значений проекций ее импульса px, py и pz. Если какое-нибудь из этих шести
чисел изменяется, то говорят, что материальная точка перешла в другое
механическое состояние. В классической механике и значения координат,
и величины проекций импульса частицы могут изменяться на сколь угодно малые величины. Говорят, что они изменяются непрерывно. Механическое состояние такой частицы изображают на фазовых диаграммах в виде
точек. Нарисовать точку в шестимерном пространстве невозможно, поэтому для простоты рассмотрим одномерное движение частицы. По оси
2. Строение атома
42
абсцисс отложим значения ее координаты x, а по оси ординат – px,
величинy проекции импульса частицы на ось OX (рис. 2.9). Движению
точки с постоянной скоростью на рисунке соответствуют механические
состояния, отмеченные кружками, а движению точки с постоянным ускорением – точки, отмеченные треугольниками. Линии, соединяющие эти
точки, называются фазовыми траекториями движения частицы. Эти линии
состоят из последовательности точек, соответствующих механическим состояниям, которые последовательно проходит частица. В классической
механике фазовые траектории являются непрерывными линиями.
Рис. 2.9. Примеры фазовых траекторий.
Равномерное и равноускоренное движение
Теперь построим фазовую траекторию колебаний гармонического ос-
циллятора. Рассмотрим простейшую модель осциллятора – незатухающие
незатухающие колебания груза на пружине. На рис. 2.10 показаны четыре
различных механических состояния такого осциллятора. Сначала (состояние 1) пружина растянута, смещение груза равно амплитуде колебаний,
x1 = A. В таком состоянии и скорость груза, и проекция его импульса на
ось OX равны нулю. Такому состоянию соответствует точка 1 на фазовой
траектории на нижнем рисунке слева. В состоянии 2 смещение груза
x2 = A/2, а проекцию скорости рассчитаем по формуле (2.2): υ
2x
= –
=
= –
ωA. В состоянии 3 смещение груза x = 0, а проекция скорости на
oсь OX равна значению υ3 = – υ0 = – ωA. В состоянии 4 x = 0, а υ4x =
= –
= –
ωA. Cостоянию 1 соответствует точка 1 на фазовой траек-
тории на нижнем рисунке слева, состоянию 2 соответствует точка 2, состояниям 3 и 4 – точки 3 и 4. Фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями, x = A и px = mv0 = mωA.
Такой вид фазовые траектории будут иметь для любого тела, совершающего гармонические колебания.
2.4. Квантование действия
43
Рис. 2.10. Движение гармонического осциллятора
и его фазовые диаграммы
На последней из диаграмм, приведенных на рис. 2.10, показаны
фазовые траектории нескольких осцилляторов с различными энергиями
колебаний. Чем выше энергия гармонических колебаний, тем больше
их амплитуда и тем больше модуль скорости и импульса. Поэтому эллипсы с большими полуосями соответствуют большим значениям энергии колебаний.
В теоретической физике для выяснения характера движения физической системы, исходя из ее самых общих свойств, используется специальная физическая величина, называемая действием [10]. Наглядное и достаточно простое изложение того, что такое действие и в чем состоит его физический смысл, можно найти в курсе лекций по физике Р. Фейнмана [11].
Возможно, читатели слышали что-то о принципе наименьшего действия,
согласно которому любая физическая система движется по такой траектории, при движении по которой действие минимально.
2. Строение атома
44
Мы рассмотрим самый простой случай определения действия меха-
нической системы, так называемое укороченное действие. Величину укороченного действия S0 можно вычислить по формуле
. (2.3)
Интеграл в формуле (2.3) вычисляется по траекториям движения частиц,
входящих в систему от начального состояния A до конечного состояния B,
pi – обобщенные импульсы всех частиц, qi – обобщенные координаты всех
частиц, – обобщенные скорости частиц. Для такой простой системы, как
гармонический осциллятор, совершающий одномерное движение, мы бу-
дем использовать обычный импульс и обычную декартову коор-
динату x. Для гармонического осциллятора укороченное действие
(2.4)
где интеграл вычисляется по фазовой траектории гармонического осциллятора. Фазовая траектория (см. рис. 2.10) представляет собой эллипс.
Следовательно, интеграл (2.4) равен площади этого эллипса.
Площадь эллипса Se = ab, гда a и b – полуоси эллипса. Длина одной
из полуосей эллипса a = mυ0, где m – масса осциллятора, υ0 – максимальная скорость осциллятора, длина другой полуоси b = A, A – амплитуда колебаний. Из (2.1) и (2.2) следует, что υ0 = ωA.
Полная механическая энергия гармонического осциллятора равна сумме
потенциальной энергии в поле квазиупругих сил и кинетической энергии:
Максимальные значения потенциальной и кинетической энергии равны
между собой и равны величине полной механической энергии:
Поэтому квадрат амплитуды колебаний равен
2.4. Квантование действия
45
Подставим это выражение в формулу для площади эллипса:
Для гармонического осциллятора
, поэтому
Период колебаний гармонического осциллятора
а частота ко-
лебаний
, поэтому площадь эллипса равна
Но площадь эллипса равна действию гармонического осциллятора
Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора
Согласно теории Планка нагретое тело излучает электромагнитные
волны таким образом, что наименьшая порция испущенной энергии, квант
энергии, по величине равен E = hν, где h – постоянная Планка, ν – частота
колебаний. Если считать, что в нагретом теле энергию в виде электромагнитных волн излучает система, состоящая из множества осцилляторов, то
энергия одного из осцилляторов должна быть кратна энергии испускаемой
электромагнитной волны, т.е. энергия осциллятора должна быть равна
2. Строение атома
46
Это возможно, если действие осциллятора равно произведению целого
числа на постоянную Планка:
(2.5)
Отсюда возникло предположение, что при любых движениях любых тел и
систем тел действие системы изменяется не непрерывно, а дискретно,
порциями. Величина такой наименьшей порции действия, кванта действия, равна постоянной Планка:
(2.6)
В этом и состоит физический смысл постоянной Планка.
Величина постоянной Планка очень мала, h = 6,63·10
-34
Дж·с. Поэто-
му предположение о квантовании действия, т.е. о том, что в процессе
движения действие системы изменяется дискретно, применимо только для
описания движения микрочастиц. Такое предположение никак не влияет
на способы описания движения макроскопических тел, развитые классической механикой.
Впервые предположение о дискретном характере изменения действия
для описания движения электронов в планетарной модели атома применил
Нильс Бор. Позднее немецкий физик-теоретик и математик Арнольд
Зоммерфельд (1868–1951) применил его для описания более сложных видов движения электронов в атомах и ему удалось объяснить различные
спектроскопические эффекты, наблюдаемые в эксперименте. Такой подход к описанию движения микрочастиц получил название правила квантования Бора – Зоммерфельда. Применение этого правила для описания
движения микрочастиц или систем микрочастиц сводится примерно к следующему. Во-первых, движение системы описывается при помощи классической механики, определяются обобщенные координаты и импульсы
частиц. Во-вторых, определяется действие системы. В-третьих, применяется условие, что действие должно изменяться квантами, величина которых должна быть равна Sn = h. И, наконец, в-четвертых, на основании того, что действие квантуется, отбирают допустимые механические состояния рассматриваемой системы. Такой подход, сочетающий применение
классической физики и правил квантования для физических величин, еще
называют квазиклассическим описанием систем.
2.5. Боровская теория атома водорода. Правило квантования орбит…
47
Контрольные вопросы
1. Что вы понимаете под выражением «Квантовая революция в
физике»?
2. Какие системы вы назовете гармоническими осцилляторами?
3. Каков закон изменения смещения, скорости, импульса для класси-
ческого гармонического осциллятора?
4. Как вы представляете фазовую траекторию движения частицы?
Приведите пример.
5. Какие ограничения имеются для значений энергии колебаний гар-
монического осциллятора, если частота его колебаний может изменяться
только дискретно. Каково минимальное значение энергии квантового осциллятора?
6. Приведите примеры фазовых траекторий нескольких осцилляторов,
колеблющихся с разными частотами и одинаковыми амплитудами и поясните их.
7. Выведите формулу и покажите, опираясь на понятие «действие ме-
ханической системы S0», что полная механическая энергия гармоническо-
го осциллятора, имеющего частоту колебаний ν, равна
8. Покажите, что, если осциллятор излучает энергию в виде электро-
магнитных волн, то действие осциллятора равно произведению целого
числа на постоянную Планка: Сделайте вывод о наименьшем
возможном значении действия осциллятора.
2.5. Боровская теория атома водорода.
Правило квантования орбит.
Постулаты Бора
Первым успешным применением принципа квантования действия
стало построение в 1913 г. Нильсом Бором планетарной модели простейшего из атомов – атома водорода. Из опытов Марсдена, Гейгера и Резерфорда по рассеянию α-частиц следовало, что атом должен содержать массивное положительно заряженное ядро очень малого размера, вокруг которого по некоторым замкнутым траекториям должны двигаться легкие
2. Строение атома
48
отрицательно заряженные электроны. Было очевидно, что такой атом не
может быть устойчивым, так как электроны, движущиеся по замкнутым
орбитам с ускорением, должны излучать электромагнитные волны, теряя
энергию и, в конце концов, должны упасть на ядро.
Бор предположил, что электроны в атоме, как и гармонические осцилляторы в теории излучения Планка, могут находиться в устойчивых механических состояниях и при этом они не излучают и не поглощают энергию.
Излучение или поглощение энергии происходит при переходе электрона из
одного устойчивого механического состояния в другое, с большей или с
меньшей энергией. При этом действие электрона в таких устойчивых состояниях должно быть равно целому числу постоянных Планка. Тогда
энергия, испускаемая или поглощаемая электронами при переходе из одного устойчивого механического состояния в другое, как и в теории Планка,
ΔE = hν, где h – постоянная Планка, ν – частота излучения.
Рис. 2.11. К вычислению
действия электрона
В самом простом случае электрон в атоме водорода может двигаться
с постоянной по модулю скоростью по круговой орбите под действием
силы электростатического притяжения к ядру. Давайте определим укороченное действие электрона S0 в таком движении и потребуем, чтобы это
действие было равно произведению целого числа на постоянную Планка.
Траектория движения электрона показана на рис. 2.11. Действие электрона
в этом случае
где р – обобщенный импульс электрона, q – обобщенная координата.
В нашем случае величина импульса электрона не меняется, и она равна
2.5. Боровская теория атома водорода. Правило квантования орбит…
49
p = mυ. Интеграл вычисляется по траектории электрона, изображенной на
рис. 2.11, т.е. по окружности:
В последней формуле r – радиус окружности, по которой движется электрон: m – масса электрона; υ – скорость электрона. Действие электрона в
таком механическом состоянии должно быть кратно целому числу постоянных Планка:
Только состояния с такими величинами действия электрона могут быть
реализованы в атоме водорода. Величина является модулем ор-
битального момента импульса электрона при его движении по окружности, отсюда следует, что в атоме могут существовать только состояния
электрона с моментом импульса
(2.7)
Величину
обозначают особым образом,
(«аш с чертой»),
= 1,05∙10
-34
Дж∙с. Условие квантования момента импульса электрона в
атоме записывают обычно так
(2.8)
Это условие также называют правилом квантования орбит электрона
в атоме.
Таким образом, в основе теории атома водорода, построенной Ниль-
сом Бором, лежат два утверждения, которые принято называть постулатами Бора.
1. Атом может находиться в устойчивых состояниях, в которых для
движения электрона выполняется условие (2.8).
2. Находясь в устойчивом состоянии, атом не излучает и не поглоща-
ет энергию. Атом поглощает или излучает энергию, только при переходе
из одного устойчивого состояния в другое.
2. Строение атома
50
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постулаты Бора.
2. Сформулируйте условие квантования момента импульса электро-
на в атоме.
2.6. Квантование энергии в атоме водорода
Определим, какими могут быть значения полной механической энергии электрона в атоме согласно боровской модели. Электрон находится на
круговой орбите радиуса r. Заряд электрона отрицательный, по величине
он равен элементарному заряду qe = – e = – 1,6∙10
-19
Кл.
Заряд атомного ядра, протона, по величине такой же, как заряд электрона, но положительный. Масса электрона me = 9,1∙10
-31
кг, масса протона
существенно больше массы электрона, mp = 1836 me. Из-за столь существенной разницы в массах частиц будем считать, что протон покоится.
Полная механическая энергия электрона складывается из кинетической
энергии его поступательного движения по орбите T и потенциальной
энергии его взаимодействия с положительно заряженным ядром атома U,
Величина кинетической энергии
, где m = me – масса электро-
на. За начало отсчета потенциальной энергии примем такое положение
электрона, когда он удален от ядра на бесконечно большое расстояние.
Будем считать, что в таком положении его потенциальная энергия в поле
электростатических сил притяжения равна нулю. По определению, убыль
потенциальной энергии равна работе сил поля по перемещению электрона
с бесконечно большого расстояния до ядра до расстояния, равного r. Ядро
и электрон имеют заряды разных знаков, поэтому между ними действуют
силы притяжения, работа сил поля по перемещению электрона положительна, а его потенциальная энергия при таком выборе начала отсчета отрицательна,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]