Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строение атома и элементы квантовой физики. Учебное пособие
.pdf
2.6. Квантование энергии в атоме водорода
51
Полная механическая энергия электрона
(2.9)
Рис. 2.12. Движение электрона
в атоме
Мы считаем, что в стационарном механическом состоянии, в котором
находится электрон, он движется по окружности под действием кулоновской силы притяжения между разноименными зарядами (рис.2.12). Запишем второй закон Ньютона для такого движения:
(2.10)
Здесь
– центростремительное ускорение. Умножим правую и левую ча-
сти уравнения (2.10) на r. В результате получим соотношение между величинами кинетической и потенциальной энергии электрона:
Откуда кинетическая энергия
Подставим полученное выражение для кинетической энергии в уравнение
для полной механической энергии (2.9):
(2.11)
Из уравнения (2.10) найдем скорость электрона:
2. Строение атома
52
2.12)
Радиус орбиты электрона найдем из правила квантования орбит (2.8), подставив в (2.8) выражение для скорости (2.12):
Отсюда радиусы орбит, по которым движутся электроны, находящиеся в
допустимых механических состояниях,
(2.13)
В формуле (2.13) n = 1, 2, 3, … – целое число, обозначающее номер «разрешенного» квантового состояния. Подставим выражение для радиусов
орбит в формулу для полной механической энергии (2.11):
(2.14)
В формуле (2.14), как и в (2.13), целые числа n нумеруют допустимые значения полной механической энергии электрона в атоме водорода.
Отметим, что полная энергия любого состояния атома отрицатель-
на. Это связано с тем, что между электроном и ядром действует сила
притяжения. Это также означает, что для того, чтобы удалить электрон
из атома, нужно совершить минимальную работу, равную по величине
полной энергии рассматриваемого состояния. Такую работу еще называют энергией ионизации атома. Энергию ионизации можно измерить и,
сравнив измеренную величину с предсказанной теоретически, проверить теорию Бора.
2.6. Квантование энергии в атоме водорода
53
Состояние электрона с наименьшей энергией принято называть основным состоянием. Основному состоянию атома в формулах (2.13) и
(2.14) соответствует значение n = 1. Целое число n, величина которого
определяет значение энергии данного квантового состояния, называют
главным квантовым числом. Состояния с более высокими значениями
энергии называют возбужденными состояниями атома. Такое название
связано с тем, что для того, чтобы атом перешел в одно из таких состояний, ему нужно сообщить некоторую энергию, или, как говорят, возбудить
его. Возбужденный атом через некоторое время сможет излучить полученную при возбуждении энергию. Для возбужденных состояний главное
квантовое число n = 2, 3, 4 и больше. Состояние с n = 2 называется первым
возбужденным состоянием, состояние с n = 3 – вторым возбужденным состоянием и так далее.
Радиус орбиты электрона в основном состоянии атома водорода согласно формуле (2.13) равен
м.
В атомной физике эту величину называют атомной единицей длины (а.е.).
Радиусы последующих орбит, соответствующих состояниям с более высокой энергией, легко вычислить, зная радиус орбиты в основном состоянии:
(2.15)
Энергия основного состояния атома водорода согласно формуле (2.14)
равна
Здесь 1 электрон-вольт, 1 эВ = 1,6·10
-19
Дж. Величину энергии атома во-
дорода в основном состоянии также часто используют в качестве единицы измерения энергии и называют 1 Ридберг. 1 Ryd = 13,6 Эв. Эту величину полезно запомнить в практических целях, например, для решения
задач, потому что энергию электрона в атоме водорода в любом из возбужденных состояний легко вычислить, зная энергию электрона в основном состоянии:
2. Строение атома
54
(2.16)
На рис. 2.13 показана схема энергетических уровней электрона в ато-
ме водорода. По вертикальной оси отложены значения энергии в электрон-вольтах. Горизонтальные линии показывают значения энергии, соответствующие различным состояниям. Основное состояние соответствует
самой нижней линии на рисунке. Линии, соответствующие первому, второму и третьему возбужденным состояниям обозначены n = 2, 3 и 4. Чем
меньше модуль энергии, тем меньше становится расстояние между соседними энергетическими уровнями.
Рис. 2.13. Уровни энергии электрона
в атоме водорода
Кроме атома водорода, содержащего только один электрон, формулы
для энергии уровней (2.16) и радиусов электронных орбит (2.15) можно
применять для других атомов, содержащих только один электрон. Но в
этих случаях нужно сделать поправки на величину заряда ядра такого
атома. Атомы, содержащие только один электрон, будем называть водородоподобными. Но в периодической таблице химических элементов таких
атомов нет. Однако возможно существование положительно заряженных
ионов, содержащих только один электрон. Например, таким ионом являет-
2.6. Квантование энергии в атоме водорода
55
ся однозарядный ион гелия Не+. Это атом гелия, который потерял один
электрон. Заряд ядра такого атома равен +2e. Другой пример такого атома
ион Li2+. Он имеет заряд ядра +3e и только один электрон. Если мы вернемся к выводу формул (2.15) и (2.16), то обнаружим, что зависимость от
величины заряда ядра содержится только в законе Кулона (определяет силу притяжения электрона к ядру) и в зависимости величины потенциальной энергии от расстояния до ядра. В обоих случаях можно заменить заряд
ядра с величины q = +e для атома водорода на q = +Ze для всех водородоподобных ионов. Z – зарядовое число атома. Предлагаем такую замену
выполнить читателям самостоятельно. В результате получатся две формулы для радиусов электронных орбит и для величин энергии электронов в
водородоподобных атомах:
(2.17)
(2.18)
Теория Бора объясняет, почему может существовать планетарный
атом Резерфорда. Но для объяснения этого факта она приписывает весьма
необычные свойства электронам (постулаты Бора). Вопрос об устойчивости атома в теории Бора связывается с таким свойством всех физических
систем, как квантование действия системы. Считается, что действие любой физической системы может изменяться только дискретно, величинами
где n – целое число, а h – величина постоянной Планка. При
этом система может излучать и поглощать энергию только при переходе
из одного механического состояния в другое. Это очень смелое предположение, которое, на первый взгляд, противоречит электродинамике Максвелла. Требовались надежные экспериментальные доказательства справедливости предположений Бора. Приятель Бора, датский физик Х. Хансен предложил ему обратить внимание на формулы, описывающие величины длин волн (или частот) электромагнитного излучения, испускаемого
различными атомами, так называемые длины волн характеристического
излучения атомов. Объяснение закономерностей образования характеристического излучения водорода стало решающим доказательством справедливости боровской теории атома водорода.
2. Строение атома
56
Контрольные вопросы
1. Какую модель системы мы представляем, когда говорим, что при-
меняем квазиклассическое описание системы.
2. Опираясь на понятие «действие механической системы S0», полу-
чить формулу действия электрона в атоме водорода и получить на его основе значение момента импульса электрона в атоме водорода.
3. Вывести формулу и рассчитать величину полной энергии электро-
на в атоме водорода. Какие выводы можно сделать на основании полученной формулы?
4. Какое состояние электрона в атоме водорода называют основным со-
стоянием? Чему равно значение полной энергии электрона в этом состоянии?
5. Какую информацию несет главное квантовое число? Как определить
энергию электрона, зная квантовое число и энергию основного состояния?
6. Как меняется энергия электрона в атоме водорода при переходе в
возбужденное состояние? Нарисуйте схему энергетических уровней в
атоме водорода.
7. Выведите формулы для скорости и радиуса орбиты электрона в
атоме водорода. Рассчитайте величину скорости и радиус орбиты.
8. Какую энергию должен получить атом водорода, находящийся в
основном состоянии, чтобы перейти в третье возбужденное состояние?
9. Атомы водорода облучают электронами и в результате атомы пере-
ходят во второе возбужденное состояние. Какие энергии могут излучать
эти атомы, переходя в основное состояние?
10. В каком соотношении между собой находятся энергетические ве-
личины электрон-вольт, джоуль (Дж), ридберг (Ry)?
11. Какой атом называется водородоподобным? Как изменятся допу-
стимые значения энергий для электрона в таком атоме?
2.7. Характеристические оптические
спектры излучения и поглощения
Нагретые тела излучают электромагнитные волны в различных ча-
стотных диапазонах. Свойства теплового излучения, обладающего непрерывным спектром, мы подробно рассмотрели в нашем учебном пособии [1].
2.7. Характеристические оптические спектры излучения и поглощения
57
Однако, кроме теплового излучения с непрерывным частотным спектром,
существует еще один вид оптического излучения, которое получило
название характеристического излучения. Наблюдаемые в этом случае оптические спектры называются также линейчатыми. Еще в 1813–1814 гг. с
целью улучшения оптических свойств объективов немецкий физик Йозеф
Фраунгофер (1878–1826) провел подробное количественное исследование
дисперсии света. Он измерял ширину спектра света, получаемого от различных источников, для чего создал первую спектроскопическую установку. В ходе исследования Фраунгофер неожиданно обнаружил в спектре
солнечного света большое количество (примерно 700) темных линий. Он
подробно описал и классифицировал 574 из этих линий. В спектрах искусственных источников таких линий не наблюдалось. Далее он установил,
что точно такие же наборы темных линий наблюдаются в спектрах излучения Венеры и звезды Сириус [12]. В то же время в спектрах излучения
искусственных источников были обнаружены ярко выделяющиеся линии,
но не темные, а светлые, причем характерные для отдельных атомов, входящих в состав излучающего вещества.
Исследования Фраунгофера продолжили многие известные физики
того времени, такие как Гершель, Брюстер, Плюккер. Брюстеру удалось
искусственно получить некоторые из темных линий Фраунгофера, пропуская свет через пары азотной кислоты. Плюккер, занимавшийся исследованием электрических разрядов, в 1857 году показал, что спектр излучения электрического разряда полностью характеризует состав газа, в котором наблюдается разряд. В частности, он открыл три линии из оптического спектра излучения водорода [12].
Немецкий химик и физик Р. В. Бунзен (1811–1889) разработал спе-
циальную горелку, не дающую сажи при горении. Помещая в пламя этой
горелки твердые вещества, или распыляя в пламя горелки жидкие и газообразные вещества, можно с помощью спектроскопа наблюдать характеристические оптические спектры этих веществ. Анализ экспериментальных данных других авторов и большой объем проведенных собственных исследований позволили Г. Кирхгофу (1824–1887) и Р. В. Бунзену сделать вывод о том, «что ни различие форм соединений, в которых
применены металлы … ни громадное различие температур … нисколько
не влияют на положение спектральных линий, соответствующих отдель-
2. Строение атома
58
ным металлам» [12]. Они также установили, что темные фраунгоферовы
темные линии в спектрах Солнца и других светил возникают из-за присутствия в атмосфере Солнца тех же веществ, которые дают в спектрах излучения светлые линии, соответствующие тем же длинам волн. Темные линии получили название линий поглощения. Эти результаты были опубликованы в 1860 г. и положили начало применению метода оптического
спектрального анализа состава химических веществ.
С помощью спектрального анализа было открыто большое число но-
вых химических элементов – рубидий, таллий, индий и другие. Сначала
обнаруживали неизвестные ранее спектральные линии, затем более тщательно изучали исследуемое вещество и уже химическими методами
находили новый элемент. Общеизвестна история о том, что в 1868 г. при
наблюдении солнечного затмения была впервые обнаружена яркая желтая
линия, длина волны излучения которой не соответствовала никакому из
известных химических элементов. Новый элемент был назван гелием
(солнечным). Позже гелий был обнаружен и на Земле.
Основная идея спектрального анализа состоит в том, что каждый атом
может испускать электромагнитное излучение только строго определенного
набора длин волн. Поглощать же атомы могут волны только такой же длины, которые они испускают. К концу XIX века оптический спектральный
анализ стал важным методом исследования состава веществ. Были составлены атласы спектральных линий различных элементов. С помощью спектрального анализа были открыты новые химические элементы, в том числе
предсказанные ранее Д. И. Менделеевым. Однако оставалась одна нерешенная проблема – никто не понимал, почему и как те или иные атомы испускают оптическое излучение именно такой длины волны, а не другой.
Метод оставался чисто эмпирическим.
Контрольные вопросы
1. Что такое характеристические спектры излучения? В чем состоит
их отличие от тепловых спектров излучения?
2. В чем разница между спектром излучения и спектром поглощения?
3. Как с помощью спектрального анализа можно установить наличие
тех или иных атомов в веществе?
2.8. Спектральные серии и спектральные формулы
59
4. Каким образом спектральный анализ позволил открыть гелий?
5. Как с помощью спектрального анализа изучают химический состав
удаленных объектов, например, звезд?
2.8. Спектральные серии
и спектральные формулы
К началу XX в. были хорошо известны длины волн характеристиче-
ского излучения водорода. Все виды характеристического излучения водорода были разделены на так называемые спектральные серии. В области видимого света наблюдается серия Бальмера (кроме двух линий,
наблюдаемых уже в ультрафиолетовой части спектра). В области ультрафиолетового излучения – серия Лаймана, в области инфракрасного излучения – серии Пашена, Брэкета и Пфунда. Все серии, кроме серии Бальмера, названы по именам ученых, впервые наблюдавших эти спектры.
В табл. 2.1 приведены длины волн излучения, соответствующие сериям
Лаймана, Бальмера и Пашена.
Таблица 2.1
Длины волн излучения атома водорода [13]
Серия Лаймана,
λ, нм
Серия Бальмера,
λ, нм
Серия Пашена,
λ, нм
Серия Брэкета,
λ, мкм
121,57
656,27110
1875,13
4,05
102,60
486,12800
1281,76
2,63
972,7
434,0429
1090,0
410,17346
1004,98
397,00740
954,62
388,90575
922,97
383,5397
901,53
379,7910
886,34
Теперь у читателя имеется вполне достаточное количество информа-
ции, чтобы с помощью теории атома водорода, предложенной Бором, объяснить закономерности образования характеристических оптических спектров испускания и поглощения этого элемента. Для этого нужно подтве-
2. Строение атома
60
дить справедливость формулы (2.16), опираясь на спектроскопические
данные. Если это не удастся, то придется признать теорию Бора неверной.
Нужно попытаться проверить, может ли согласно модели Бора атом водорода испускать электромагнитные волны такой длины. Особенно полезными с этой точки зрения представляются данные о длинах волн серий
Бальмера и Пашена. Предоставим самостоятельному читателю возможность решить эту проблему без нашей помощи, а если у него все же возникнут трудности, то дадим ему необходимые подсказки, которые были
известны спектроскопистам в начале XX в.
В 1885 г. И. Бальмер предложил эмпирическую формулу, по которой
можно было вычислять длины волн излучения в видимой части спектра
атома водорода. Согласно этой формуле, длина волны излучения
где n – целое число, n > 2, B = 364,56 нм. Эту формулу можно переписать так:
Если ввести обозначение
, то формула приобретает вид
(2.19)
Здесь R – постоянная Ридберга. По современным данным R = 109677581 м-1.
Для спектральных серий Лаймана и Пашена были получены аналогичные
формулы:
(2.20)
(2.21)
Оказалось, что длины волн излучения всех спектральных серий ато-
марного водорода можно представить общей эмпирической формулой:
(2.22)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]