Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Строение атома и элементы квантовой физики. Учебное пособие
.pdf
3.2. Попытки объяснения квантования с точки зрения волновой теории…
71
вдоль которой распространяется волна, должна быть равна целому числу
длин этой волны, ℓ = nλ.
Если предположить, что с электроном в атоме связана какая-нибудь
волна, или сам электрон обладает волновыми свойствами, то разрешенными орбитами для электрона будут те, длина которых равна целому числу длин волны, связанной с электроном. Те же орбиты, длина которых не
удовлетворяет этому требованию, оказываются запрещенными, потому
что движение по таким орбитам оказывается неустойчивым. При этом
электрон вынужден переходить из одного состояния в другое одним скачком, испуская или поглощая при этом скачке квант энергии. До некоторой
степени такой подход объясняет квантование электронных орбит. Основываясь на подобных рассуждениях, Э. Шрёдингер создал первую версию
волновой механики для описания движения микрочастиц и записал знаменитое уравнение Шрёдингера. Однако для всех, в том числе и для Шрёдингера, оставалась загадкой природа таких волн. Подобные построения
оставались просто математической фантазией.
Для того чтобы использовать волновые соображения при формулировке условий квантования, требовалось, чтобы либо сами микрочастицы
и, в частности, электроны обладали волновыми свойствами, либо чтобы с
ними была непосредственно связана какая-нибудь волна. В 1923 г. французский физик-теоретик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том,
что всем микрообъектам присущи одновременно и корпускулярные и волновые свойства, как это присуще световым волнам, которые в определенных условиях проявляют себя, как поток частиц – фотонов. Если гипотеза
де Бройля верна, то открывается возможность построить единую теорию, в
которой вещество и излучение будут выступать как разновидности объектов одной природы, обладающих свойствами и волны, и корпускулы.
Сначала де Бройль попытался ответить на простой вопрос – возможно
ли наличие волновых свойств у микрочастиц и не противоречит ли это
предположение фундаментальным основам физики.
Контрольные вопросы
1. Как необходимость квантования энергии электрона в атоме можно
объяснить, опираясь на волновые представления о движении?
3. Волновые свойства частиц
72
2. Какие длины волн должны соответствовать электрону, чтобы вы-
полнялось требование устойчивости атомного состояния?
3.3. Длина волны де Бройля
и характеристики микрочастицы
Согласно концепции корпускулярно-волново-
го дуализма света электромагнитная волна с частотой ν и скоростью распространения, равной
скорости света, может проявлять себя, как частица, называемая фотоном, с энергией E = hν, где
h – постоянная Планка. Предположим, что каждой
материальной частице также может быть сопоставлена волна, частота ν которой связана с энергией частицы соотношением E = hν. Частица при
этом имеет массу m и импульс . Как будут связа-
ны между собой корпускулярные и волновые характеристики частицы, в частности, ее импульс и
длина волны или частота?
Сразу же возникает сложный вопрос: какой волновой объект следует
рассматривать в качестве аналога микрочастицы? Главной особенностью
частицы является то, что она очень хорошо локализована в пространстве.
Приближенно можно даже считать, что частица находится в определенной
точке пространства. Волны, как правило, являются объектами, весьма протяженными в пространстве. Особенно, если мы говорим о волне с определенной частотой колебаний. Уравнение плоской волны с определенной
циклической частотой колебаний ω, ω = 2ν имеет вид:
,
где A – амплитуда волны,
– волновой вектор волны. Как видно из урав-
нения плоской волны, ее локализация в пространстве ничем не ограничена. Таким образом, плоская волна не подходит на роль волнового аналога
локализованной в пространстве частицы. С другой стороны, у плоской
3.3. Длина волны де Бройля и характеристики микрочастицы
73
волны есть важное достоинство – она имеет точную величину частоты колебаний ν и потому точное значение энергии E = hν.
Волновым аналогом частицы может быть объект, не только обладающий волновыми свойствами, но и хорошо локализованный в пространстве.
Волновой процесс, в котором амплитуда колебаний отлична от нуля в ограниченной области пространства, можно получить путем суперпозиции
большого числа плоских волн с очень близкими частотами. Такой волновой
процесс называется волновым пакетом. Изображение такого волнового
процесса, распространяющегося вдоль оси OX, показано на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Волновой пакет,
распространяющийся вдоль ос ОХ
Как следует из теории интегралов Фурье, для образования волнового
пакета, распространяющегося вдоль оси OX, необходима суперпозиция
очень большого число плоских волн с очень близкими или непрерывно
меняющимися значениями волновых чисел k. Напомним, что каждому
значению волнового числа k соответствует определенное значение частоты колебаний, а, значит, и энергии. Для того чтобы протяженность волнового пакета была не более, чем некоторая величина Δx, интервал волновых
чисел плоских волн, входящих в состав пакета должен быть не менее некоторой величины Δk. При этом должно выполняться соотношение:
(3.1)
Обратим внимание на это математическое соотношение. Чем большей локализации Δx волнового пакета, соответствующего частице, мы хотим добиться, тем из большего количества плоских волн с различными
длинами нам следует этот пакет создавать. Интервал, в котором лежат не-
3. Волновые свойства частиц
74
обходимые значения плоских волн, также при этом расширяется. Физический смысл этого соотношения станет ясен при рассмотрении вопроса о
соотношении неопределенностей.
Точка, в которой амплитуда колебаний в волновом пакете макси-
мальна, распространяется в пространстве со скоростью, которая называется групповой скоростью волнового пакета (рис. 3.1). Величина групповой
скорости волнового пакета равна:
Итак, в качестве волнового объекта, соответствующего частице мы
выбрали волновой пакет, потому что он может быть в достаточной мере
локализован в пространстве. Поэтому со скоростью движения частицы мы
отождествим групповую скорость волнового пакета.
Сформулируем задачу, которую рассматривал де Бройль, а вслед за
ним будем решать и мы. Пусть микрочастицы обладают волновыми свойствами. Тогда энергию микрочастиц, как и энергию фотонов, можно вы-
числять по формуле Планка . Будет ли возможно найти связь
между импульсом частицы и ее волновыми характеристиками? Останется
ли эта связь такой же, как и для частиц света, фотонов? Между фотонами
и другими частицами существует очень важное различие – фотоны не
имеют массы покоя в отличие от других частиц.
Полная механическая энергия свободной частицы, то есть частицы,
на которую не действуют внешние силы, равна
Если частица обладает волновыми свойствами ее энергию можно определить по формуле Планка, поэтому
(3.2)
Считаем, что скорость частицы равна групповой скорости волнового пакета, связанного с этой частицей,
3.3. Длина волны де Бройля и характеристики микрочастицы
75
(3.3)
Теперь, пользуясь соотношениями (3.2) и (3.3), найдем связь между импульсом частицы и ее волновыми характеристиками.
Скорость частицы равна групповой скорости волнового пакета. Преобразуем тождественно формулу (3.3):
(3.4)
Производную
найдем из формулы (3.2). Разделим правую и левую ча-
сти (3.2) на постоянную Планка и продифференцируем по υ:
=
=
Подставим полученное выражение для производной
в (3.4):
Умножим правую и левую части последней формулы на
:
Проинтегрируем правую часть полученного выражения по волновым числам в пределах от 0 до k, а левую – по скоростям частицы от нуля до υ.
При этом мы предполагаем, что при υ = 0 и k = 0. Это означает, что при
нулевой скорости частицы волновой процесс отсутствует:
3. Волновые свойства частиц
76
(3.5)
Как мы видим, в правой части формулы (3.5) стоит выражение для
релятивистского импульса частицы, а в левой – выражение для импульса
фотона или для импульса, переносимого волной. Таким образом, исходя
из предположения, что частица может обладать волновыми свойствами и
что частице можно поставить в соответствие волновой пакет, а также из
того, что энергия частицы определяется формулой (3.2), мы доказали, что
релятивистский импульс частицы может быть вычислен по такой же формуле, как и импульс фотона. Импульс частицы равен:
(3.6)
Учитывая, что волновой вектор
и длина волны связаны соотношением
, для длины волны получаем:
(3.7)
где p – релятивистский импульс частицы. При скоростях движения частицы много меньших скорости света, импульс можно вычислять по классической формуле. Из всего вышесказанного следует, что частицы могут обладать волновыми свойствами. Длина волны в формуле (3.7) получила
название дебройлевской длины волны.
Контрольные вопросы
1. На какие объекты распространил де Бройль идею корпускулярно-
волнового дуализма?
3.4. Доказательство того, что наличие у частиц волновых свойств…
77
2. Сформулируйте гипотезу де Бройля.
3. Какой волновой объект можно поставить в соответствие частице?
Как следует понимать утверждение, что волновой объект локализован в
пространстве?
4. Что представляет собой волновой пакет? Как связаны интервал ло-
кализации волнового пакета и интервал волновых чисел плоских волн, образующих данный пакет?
5. Что называется групповой скоростью волнового пакета? Какую
скорость следует поставить в соответствие скорости движения частицы?
6. Запишите две формулы для вычисления энергии состояния микро-
частицы, исходя из волновых и корпускулярных представлений? В каком
соотношении находятся эти энергии?
7. Опираясь на представление о том, что частице можно поставить в
соответствие волновой пакет, выведите формулу, связывающую импульс
частицы с волновыми характеристиками
.
3.4. Доказательство того, что наличие
у частиц волновых свойств
не противоречит законам физики
В предыдущем параграфе мы, следуя рассуждениям де Бройля,
показали, что частице можно поставить в соответствие волну и тогда
энергию частицы можно определять как по формуле Планка, так и по
обычной формуле для полной механической энергии частицы. При этом
выполняется соотношение (3.2), а импульс частицы будет связан с длиной волны соотношением (3.7). Согласно первому постулату специальной теории относительности, все физические процессы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Проверим, не противоречит ли предположение о наличии у частицы волновых свойств требованию этого постулата.
Рассмотрим волну, связанную с частицей в двух различных инерциальных системах отсчета. Для того, чтобы все физические процессы протекали одинаково в обеих системах отсчета, при переходе от одной си-
3. Волновые свойства частиц
78
стемы отсчета к другой волновой процесс должен оставаться волновым
процессом. Какая характеристика волны должна оставаться инвариантной относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к
другой? Амплитуда и частота волны не инвариантны относительно такого перехода, так как в различных системах отсчета могут меняться геометрические размеры тел, и по-разному течет время. Величиной, которая
характеризует волновой процесс и должна оставаться инвариантной относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой,
является разность фаз колебаний волны между двумя пространственновременными точками.
Фаза волны определяет стадию колебательного процесса. Рассмотрим
плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси OX. Пусть сначала, на первой стадии процесса (рис. 3.2), в точке 1, значение изменяющейся в процессе колебаний величины ξ максимально, а скорость ее изменения равна
нулю, затем, в точке 2 ξ = 0, но скорость изменения этой величины максимальна, в точке 3 модуль ξ снова максимален, быстрота ее изменения равна
нулю и так далее. Если мы перейдем в другую инерциальную систему
отсчета, то координаты точек 1, 2, 3, 4 и 5 будут другими, значения величины ξ также изменятся. Изменится и частота колебаний, не показанная на
рисунке. Но при этом плоская волна в обеих системах отсчета должна
оставаться плоской волной. Это возможно, если разности фаз между колебаниями, соответствующими разным точкам, остаются постоянными. Так
разность фаз должна быть равна Δφ12 = /2 в любой инерциальной систе-
ме отсчета. Так же должны оставаться одинаковыми разности фаз Δφ13 =
= , Δφ14 = 3/2 и Δφ15 = 2. В частности, в обеих системах отсчета Δφ15 = 2.
Рис. 3.2. Фазы колебаний в плоской волне
Проверим, изменяется ли разность фаз между колебаниями в двух
пространственно-временных точках волны де Бройля при переходе из од-
3.4. Доказательство того, что наличие у частиц волновых свойств…
79
ной инерциальной системы отсчета в другую. Рассмотрим две системы
координат – неподвижную лабораторную К и движущуюся K´. Пусть оси
OX и O´X´ обеих систем совпадают по направлению и система отсчета K´
движется в направлении оси OX со скоростью υ. В лабораторной системе
координат К уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси
OX, можно записать так:
(3.8)
В движущейся системе отсчета K´ уравнение волны (3.8) будет имеет вид:
(3.9)
Пусть система отсчета движется вместе с частицей (волной). Тогда в
этой системе отсчета, которая в данном случае будет системой покоя для
движущейся частицы и связанной с ней волны, импульс частицы и
k´ = 0. Энергия частицы в такой системе отсчета будет равна энергии покоя, E´ = m0c
2
. С другой стороны, энергия частицы , откуда
(3.10)
Волна периодична, следовательно, если разность фаз между двумя
пространственно-временными точками Р и Q в системе отсчета К равна
2nπ, то в системе отсчета К´ разность фаз той же волны между соответствующими точками Р´ и Q' должна оставаться равной 2mπ (n, m целые
числа). В этом случае должно выполняться соотношение:
(3.11)
Учтем, что k´ = 0, а величина ω´ определяется по формуле (3.10).
(3.12)
Для перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой применим преобразования Лоренца. Согласно этим преобразованиям, время в
движущейся системе отсчета
3. Волновые свойства частиц
80
где с – скорость света в вакууме,
. Подставим выражение для време-
ни t´ в (3.12):
Из последней формулы видно, что
Следовательно,
Таким образом, условие инвариантности разности фаз при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой выполняется, если энергия и импульс частицы вычисляются как:
(3.13)
Сделанные нами ранее предположения о том, что частицы могут обладать
волновыми свойствами и при этом энергия и импульс частицы определяются формулами (3.13), не противоречат требованиям специальной теории
относительности. Не существует никаких запретов на то, чтобы частицы
обладали волновыми свойствами.
Контрольные вопросы
1. Объясните, согласуется ли предположение о наличии у частицы
волновых свойств с постулатами теории относительности? Что можно ска-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]