Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
(
)
1
T
[ ]
11
T
T
+
+
][0, Ts ∈
σ
−
ϕϕϕϕ
)(tϕ
)(TV
)(tK
))](([
TSUE
*
2
ThvYIB
1
=))()((=
.
+TvTh
1)(
В этом специальном примере удается получить явное выраже-
ние для портфеля. Заметим, что в силу теоремы 3.1
**
cuv
,,
T
∫
0
+=
**
=|)()()()()(
FBThdsscshEtVth
t
tTv
+−
+
Отсюда следует, что
1)(
tTv
=
v
+−
vt
+
**
cuv
,,
T
+
∫
*
0
Применяя формулу Ито, вычислим произведение
в правой части последнего равенства и получим
t
∫
0
откуда вытекает, что вектор
всех
. Поскольку величина
**
cuv
1*
−+
*,,
++
θ−σ+
*
Tttttu ∈θσ
),()]()()()[()(=
sdwsssusVshvv
++
0=)()()(=)(
sssusf
θ−σ
**
,,
cuv
положительна, тоо
)()(
tVtH
].[0,всехдля)()]([=)(
В частном случае при d = 1 и постоянных кэффициентах мы
получим, что величина
1)(
.
(3.46)
.)()()()(=
dsscshEtVth
(3.47)
**
,,
cuv
tVth
Р-п.в. для
)()(
*
u =
ra
равна премии за риск для инвестиций в рисковые активы.
Портфели, содержащие опционы
Рассмотрим более сложный рынок, на котором присутствуют
безрисковый актив, акции и опционы на эти акции. При этом мы будем рассматривать портфели, содержащие безрисковый актив и опционы.
Как и выше, пусть
i
а
– цены опционов
f
10
70 71
– цены базовых активов,
)(,),(),(
tStStS
d
ϕϕϕϕ
)(tϕ
)(TV
)(tK
))](([
TSUE
3. Непрерывные финансовые рынки
1,2
(3.48)
.,,1,=)),(,),(,(
CfditStStf
∈
Пусть
)(
i
1
d
– допустимая торговая стра-
))(,),(),((=)(
10
tttt
d
тегия в терминах безрискового актива и опционов, т. е. определены
интегралы
t
i
∫∫
0
)(
i
ϕϕ
1
)),(,),(,()(),()(
sSsSsdfssdSs
d
и
t
0
0
i
являются Ft-измеримыми процессами. Соответствующий ка-
питал имеет вид
d
∑
00
1=
i
)(
i
i
ϕ+ϕ
1
)).(,),(,()()()(=)(
tStStfttSttV
d
Пусть U – заданная функция полезности. Для того чтобы опре-
делить оптимальный терминальный капитал B
)((1)
питал v), в терминах
0
лицирующий портфель
. Однако, поскольку акции не должны содержаться
ditS
i
,1,=),(
d
0
*
(имея стартовый ка-
, рассмотрим вначале реп-
)(,),(),(
tftftS
в терминах
))(,),((=)(
ttt
ϕϕϕ
d
)(0tS
в рассматриваемых портфелях, нам нужно будет реплицировать позиции по акциям с помощью безрискового актива и опционов. Это
приведет нас к требуемому портфелю, содержащему безрисковый актив и опционы, реплицирующему терминальный оптимальный капи-
тал
. Сформулируем описанный выше результат в виде теоремы.
Теорема 3.5. Обозначим через
матрицу вида
,
)(
i
=)(
ij
ftK
s
j
1
).(,),(,(
tStSt
d
Тогда задача оптимизации
max
π
(3.49)
допускает следующее явное решение:
*
оптимальный капитал B
совпадает с оптимальным капиталом
задачи (3.32).
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
)(tu
ϕϕϕ
ϕϕϕ
21
ϕϕϕ
121
).;,(
=),(
vtJvt
),( vtΦ
)(tV
ϕΦ
),( vtΦ
2
Φ
))(,( tVtΦ
2
+ϕµΦ+Φ+
2
+Φϕµ+Φ+ϕ=
2
Если
–оптимальная портфельная стратегия портфеля,
содержащего акции в задаче (3.32), то оптимальный портфель
, содержащий опционы, имеет вид
))(,),(=)(
0
ϕ
ttt
d
1
−
ϕ
d
∑
1=
t
=)(
0
i
1
′
)(
i
i
0
))(,),((=)(
ttt
d
(3.50)
),(][=)(
tuKt
ϕ−
1
tStStfttV
))(,),(,()()(
d
,
tS
)(
,
1
d
(3.51)
.))(,),((=)(
tututu
Оптимизационная задача. Стохастическое оптимальное
управление
Возвратимся к изучению задачи (3.32) и перепишем функционал J в виде
T
vt
∫
t
+ϕϕ
v
,))](())(,([=);,(
TVUdsssUEvtJ
221,
),(=),(=
где
),(tVcu
портфеля описывается стохастическим уравнением вида
)(
cu
. При этом мы будем предполагать, что капиталл
vvv
ϕσ+ϕµ
(3.52)
),())(),(,())(),(,(=)( tdwttVtdtttVttdV
где
+
(3.53)
.=),,(;1])[(=),,(
σϕϕσϕ−−ϕ+ϕµ
vvtvrarvt
Пусть
sup
),(ϕΦ∈ϕ
vtU
ние, которому удовлетворяет функция
Напомним, что если
Нас будет интересовать уравне-
.
удовлетворяет уравнению (3.52) и рас-
сматривается оптимизационная задача вида
72 73
),( vtΦ
2
Φ
))(,( tVtΦ
2
+ϕµΦ+Φ+
2
+Φϕµ+Φ+ϕ=
2
3. Непрерывные финансовые рынки
,);,(sup=),(
vtJvt
),(ϕΦ∈ϕ
vtU
где
то уравнение для
T
vt
,
∫
t
Ψ+ϕϕ
выводится из принципа Беллмана, который
,]))(,())(),(,([=);,(
TVTdsssVsLEvtJ
может быть записан в виде следующего соотношения:
=),(
sup
∈ϕ
Применяя к
θ
∫
t
vtU
),(
).(=),(
vUvT
θθΦ+ϕΦ
VdsssVsLEvt
формулу Ито, мы получим следующее
соотношение:
=),(
sup
),(
vtUu
∈
θ
∫
,
xt
t
+Φ+ϕ
),())(),(,([
vtdsssVsLEvtV
,))](,())(),(,([
θ
∫
0
1
θ
∫
0
Таким образом,
=0
sup
∈ϕ
[
E
,
vt
),(
vtU
1
∈
,),(
1
lim
→θ
vt
+ϕµΦ+Φ+
))(),(,())(,())(,([
vt
1
θ
∫
t
−θ
t
t
ssVssVssVs
].))](,())(),(,())(),(,(
Φϕσ⋅ϕσ+
vv
+ϕ
))(),(,([
ssVsL
dssVsssVsssVs
))(),(,())(,())(,( ssVssVssVs
Φϕσ⋅ϕσ+
vv
Φϕσ⋅ϕσ+
vv
tVtttVtttVt
=))](,())(),(,())(),(,(
dssVsssVsssVs
))(,())(),(,())(,())(),(,([sup
tVtttVttVtttVtLE
vtvtvtUu
,))](,())(),(,())(),(,(
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
Φϕµ+
),,(),,(=),,( ϕσ⋅ϕσϕ vtvtvtF
2
2
Ψ
),( xtΦ
Φ++Φϕ−−⋅ϕ++
2
(0,1)0,> ∈γβ
+
=K
),( vtΦ
Φ
и мы приходим к следующему уравнению, называемому HJB- уравнением:
1
),(),,((
2
v
, и краевому условию
(3.55)
.)(=),(
vUvTΦ
где
sup
∈ϕ
),(
vtU
Возвращаяcь к рассматриваемой задаче, в которой
вид (3.53) и
, получим, что
)(=),(
vUvt
ющему уравнению:
1
++
sup
d
{
2
∞∈ϕαα∈ϕ
)[0,,],[
221
2
11
121
(3.57)
.)(=),(
vUvTΦ
+Φϕ+Φ+ϕ
),(),,(
vtvtFvtvtL
vvt
(3.54)
,0=)),(),,( vtvt
, имеют
подчиняется следу-
+Φσϕσϕ
),(
vtv
vv
(3.56)
0,=)},(),(),(]1]][[[
vtvtUvtvrar
tv
Приведем решение рассматриваемой задачи оптимизации для
ряда конкретных функций полезности, в частности, для функций полезности U
где
и U2 вида
1
.
1
=),(
t
21
1
γγβ−
vvUcctU
,
=)(,e
(3.58)
γγ
Рассмотрим формальную задачу максимизации в уравнении HJB
(3.56) и приравняем нулю производные по
и 2 от выражения, сто-
1
ящего в левой части этого уравнения. Это приведет нас к соотношениям
74 75
+
=K
),( vtΦ
Φ
3. Непрерывные финансовые рынки
),(
vt
Φ
v
1)(=)(
raKt
−−ϕ
Φ
vv
t
Φϕ vtt
v
,
(3.59)
),(
vtv
1
1
−γ
(3.60)
,)),(e(=)(
где
1
1
σσ
.
−
2
β
Подставив полученные выражения (3.59), (3.60) в (3.56), получим
следующее уравнение относительно функции
Φ
vt
v
vt
vv
1
−−++
11
−σσ−−
]1[)(1][
rara
2
),(
),(
:
vtrv
v
+Φ+
),(
γ
−γ
Φ+
v
β
t
1
γ−
11
−γ
e),(
Φ+
γ
t
.0=),(
vtvt
(3.61)
Решение уравнения (3.61), удовлетворяющее краевому условию
Φ vvT1=),(
γ
, будем искать в виде
γ
Φ
1
γ
)(=),( Tfvtfvt
γ
.1=)(,
(3.62)
Подставляя (3.62) в (3.61), получим
1
[
−++
1
−σσ−−
2
β
1
+
t
γ−
−γ
γ
−γ
1
1][)(1]([
−γ
1
11
′
+
=
tftf
++
)(]
tfrrara
.0)()(e
(3.63)
γ
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
21
2
)(tf
Введем обозначения
1
1
=
1
=
k
−
2
β
1
t
γ−
12−γ
.e
γ
Тогда
′
Подстановка
приводит к уравнению
′
=)(
tg
−
1
решение которого имеет вид
1
1][1][
−⋅−−
−−
)(
tk
)(
tg
γ−
,
rraraKk +
1
−γ
γ
1
+γ
γ
(3.65)
1
−γ
)(=)(
tftg
)(
tk
21
−
1
γ−
Tfftktftktf
Tg
(3.64)
1.=)(,)()()(=)(
1,=)(,
(3.66)
k
tT
−
)(
γ−
1
e=)(
tg
1
+
k
1
k
γ−
)(
β−γ
k
β−
T
γ−
−
k
β−
1111
)(
t
tT
−
111
γ−γ−
Еще одно следствие того факта, что уравнение (3.61) имеет решение вида (3.62), состоит в том, что соответствующий профиль задан соотношениями
1
1
=))(,(=)(
1
γ−
t−γβ
76 77
*
),(=1)(
turaKtVtvtu −
(3.68)
1
(3.69)
1
).())(e(=)(,(=)(
tVtftVtvtc
.e)ee(
(3.67)
)(tf
3. Непрерывные финансовые рынки
В результате мы доказали следующее утверждение (теорема 3.6).
Теорема 3.6. Оптимизационная задача
имеет решение
где функция
max
∈π
vUc
)(),(
1
T
t
e
∫
0
)(
γ
1
TVdttcEнайти
+
γ
),(**cu вида
1
1*
=)(
*
−
1
−γ
t−γβ
1),(
raKtu −
(3.71)
1
(3.72)
1
),())(e(=)(
tVtftc
задана соотношениями (3.64)–(3.67).
γγβ−
)(
(3.70)
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
),,( QGΩ
),( GΩ
ts
!
n
−λ−
ζ−1
1<0 ζ≤
τ−
τ−δ+−
−δ+−
1
)(tB
.)(=)( dttrBtdB
)(tS
4. ОПТИМИЗАЦИЯ НА РЫНКАХ, ДОПУСКАЮЩИХ
ДЕФОЛТ
Рассмотрим финансовые рынки, где присутствуют подверженные дефолту активы, которыми можно торговать и после объявления
дефолта. Поскольку есть возможность случайного дефолта, то рассматриваемый рынок является неполным. Мы ограничимся здесь рассмотрением редуцированной модели и будем трактовать эту задачу
как задачу оптимизации ожидаемого дохода от рассматриваемого
платежного обязательства в случае логарифмической, степенной
и экспоненциальной функции полезности на таком неполном рынке.
Эта задача будет трактоваться как задача оптимального управления
при наличии полной или частичной информации о рынке. При этом
для логарифмической функции полезности ответ удается получить
в терминах стохастических дифференциальных уравнений.
Рассмотрим вероятностное пространство
на нем фильтрацией G
, и пусть
t
рождена винеровским процессом, а Н
, где фильтрация Ft по-
HFG∨=
ttt
– пуассоновским процессом,
t
с заданной
в терминах которого будет описываться дефолт. Мы предполагаем
также, что Q – риск-нейтральная мера, эквивалентная объективной
вероятностной мере P, заданной на
.
IH
Процесс
, описывающий дефолт, – это неубывающий
}{=tt
≤τ
непрерывный справа процесс, совершающий скачок в случайный
.lim=
момент времени
, и пусть
t
−
HH
s
↑
Мы будем говорить, что процесс Нt – пуассоновский, если он
является процессом с независимыми приращениями, Н
скачков на интервале длины t имеет пуассоновское распределение со
средним
t, т. е.
−
+
n
)(
λ
t
t
λ−
e=}={ ≥
nHHP
sst
0.,
n
Здесь – интенсивность пуассоновского процесса, и величина
t называется его компенсатором. Нам понадобится также компенси-
рованный пуассоновский процесс
78 79
= 0, число
0
−λ−
ζ−1
1<0 ζ≤
τ−
τ−δ+−
−δ+−
)(tB
.)(=)( dttrBtdB
)(tS
4. Оптимизация на рынках, допускающих дефолт
t
tt
∫
0
,)(1=
dsHHM
λ−−
s
который будем называть мартингальным дефолтом.
Стохастический дифференциал мартингального дефолта имеет
вид
.)(1= dtHdHdM
ttt
Рассмотрим бескупонную корпоративную облигацию с момен-
том погашения T
и предположим, что ее цена после дефолта равна
1
нулю. Будем считать, что в случае дефолта инвестор получает часть
в качестве возмещения стоимости этой облигации в момент перед дефолтом,
и интенсивность дефолта
. В предположении, что процентная ставка r
относительно мартингальной меры Q по-
стоянны, цена корпоративной облигации задается соотношением
))((
Tr
11
)(
tr
.ee)(1e=),(
Заметим, что
))((
tTr
}>{1
t
τ
соответствует фиктивной ценной бумаге,
),(1Ttp
IITtp (4.1)
≤τ
ζ−+
}{
t
поскольку она не является реально торгуемой ценной бумагой.
Воспользовавшись формулой Ито, нетрудно проверить, что
Q-динамика корпоративной облигации задается стохастическим уравнением
))((
−δ+−
tTr
ζ−
11
1
Q
(4.2)
.e),(=),(
dMdtTtrpTtdp
t
Предположим, что инвестор может положить деньги в банк под
постоянную процентную ставку, что соответствует наличию безрис-
кового актива
, удовлетворяющего уравнению
(4.3)
Предположим также, что на рынке присутствует рисковый актив, динамика цены
которого задается стохастическим уравне-
нием
Q
(4.4)
σ+
)],()[(=)( tdwrdttStdS
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]