Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
ωω=ω++
ω=ω++++
,1,1,= −Tt
++++
+
1
1221
−−
n
τ+
ω+ω+ω+ω+τ
ω+ω
ω+ω
ω+ω+ω+ω
3
4
3
4
−+
++
3
4
3
4
=
V
1
V
=
2
2
2
2
hhr
hhr
hhr
ω=ω++
hhr
hhr
ω=ω++
,,(1),8(1))(1
2110
,,(1),4(1))(1
ωω=ω++
4310
,,(2)9(2))(1
110
ωω=ω++
,,(2),(2))(1
3210
.(2),3(2))(1
410
При этом доход портфеля
G
G
=
1
hrh
hhr
=
2
ωω=ω+
,,(1),3(1)
2110
ωω=ω++
,,(1),4(1))(1
4310
hhrrhrh
hhrrhrh
hhrrhrh
hhrrhrh
,),2()2()1()1(3)1(
11010
ω=ω−+++
21010
ω=ω+++−
,),2(2)2()1()1()1(
31010
ω=ω−++−
.),2()2()1()1()1(
41010
Напомним, что для того чтобы портфель h был самофинансиру-
емым в моменты
t
должно выполняться соотношение
d
).(1)()()(=
∑
00
n
++
1=
tSthtSthV
(2.20)
nn
,),2(2)2()1()1(3)1(
Используя (2.20) и полученные выше выражения для V
, прихо-
1
дим к равенствам
(2)8(2))(1=(1)8(1))(1=
hhrhhrV
00101
в состояниях 1 и 2, а в состояниях 3 и 4 – к равенствам
(2).4(2))(1=(1)4(1))(1=
hhrhhrV ++++
00101
Если ввести в рассмотрение доход Gt, то
ляя это выражение при
и
= tt
При этом для 1 получаем:
получим
,=2tt
30 31
0 tt
и, вычис-
,=
GVV
.)(=
GGVV
τ+
ω+ω+ω+ω+τ
ω+ω
ω+ω
ω+ω+ω+ω
3
3
−+
++
3
3
2. Дискретная задача оптимизации
2
2
(2),8(2))(1=(2)9(2))(1=
hhrhhrV ++++
1010
что совпадает с уравнением самофинансируемости (2.20). Аналогично получаем выражение для случая
2
2
. Для
2
3
(2)4(2))(1=(2)]2(2))(1[(2)6(2))(1=
hhrhhrrhhrV ++++−++
101010
и аналогично для 4.
Вычислим теперь мартингальную меру, воспользовавшись тем,
1*
что дисконтированная цена
должна быть мартингалом, т. е.
Q
Q
tS
n
)([ tSF
tBE
tB
τ+
Используя соотношение (2.21) при разных t и
−
n-го рискового активаа
)()(=)(
nn
)(
)(
tBtStS
**
ntn
).(=]|
(2.21)
nt
,0,),(=]|)([
≥ττ+ ttSFtSE
или
, получим следу-
ющую систему уравнений:
)],()(4[)]()(8[=)5(1:0=0,=
QQQQrt
4321
2
)(6)(9
QQ
=)8(1:1=1,=
rt
+τ
21
,
)()(
QQ
ω+ω
21
),(3)(6)(6)(9=)5(1:2=0,=
ω+ω+ω+ω+τ QQQQrt
4321
)(3)(6
QQ
43
=)4(1:1=1,=
+τ
rt
QQ
.
)()(
ω+ω
43
Рассмотрим, наконец, систему, состоящую из каких-нибудь трех
из приведенных выше уравнений и уравнения
QQQQ
1.=)()()()(
4321
Решая полученную систему, найдем мартингальную меру Q, для
которой
)8(24)5(1
ω
=)(
Q
Q
=)(
ω
rr
)4(14)5(3
rr
+−
Q
Q
ω
=)(,
21
=)(,
ω
43
)8(14)5(1
rr
,
)4(24)5(3
rr
−−
.
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
8,/10 ≤≤ r
21
ωω
ωω
.)(1/)4(1)(1/8=5 rprp +−++
21
ωω
,4/)5(1 r+
.4/)5(3 r+
ωω
ωω
,6/)8(2 r+
,6/)8(1 r−
6/)8(1 r+
6/)8(2 r−
,8/1<0 r≤
ωωωω
.)(exp1=)( vvu −−
h
h
h
))](([ TVuE
,и=(0) HhvV ∈
.}{exp1=)( VVu −−
1,2=τ
21
11
22
Заметим, что все полученные значения Q положительны, если
так что в этом примере будем предполагать, что это усло-
вие выполнено.
Рассматривая узел, соответствующий t = 0, из которого выходят
две ветви, соответствующие
и
},{
мы видим, что ус-
,},{
43
ловная вероятностная мера может быть получена с помощью решения уравнения
ная вероятность p, ассоциированная с ветвью
Таким образом, услов-
равна
,},{
а условная вероятность, ассоциированная с ветвью
равна
,},{21ωω
и
}),{(1,
21
Аналогично можно проанализировать узел
что позволит найти условные вероятнос-с-
,}),{(1,
43
ти, ассоциированные c ветвями, приводящими в узлы
и
ωωωω
4321
соответственно.
в виде
,)(2,),(2,),(2,),(2,
Заметим, что все эти вероятности строго положительны, если
что уже было отмечено выше, поскольку, если это условие нарушается, то возникает арбитраж. При этом, перемножая условные вероятности вдоль всех ветвей, ведущих в четыре состояния
составляющие , получим то же самое выражение
,,,,
4321
для Q, что и выше.
Предположим, что функция полезности имеет вид
Из условий предсказуемости следует, что страте-
торговли рисковым активом зависит от трех величин: позиции
гия
h
1
5
которую занимает инвестор после начального момента t = 0, когда
цена S
t = 1, когда S
= 5; позиции
0
= 8; позиции
1
момента t = 1, когда цена S
8
, которую занимает инвестор после моментаа
4
, которую занимает инвестор после
= 4.
1
Рассмотрим теперь задачу оптимизации
,
максимизировать
(2.22)
при условии
где H – множество самофинансируемых портфелей.
32 33
.}{exp1=)( VVu −−
1,2=τ
21
11
22
2. Дискретная задача оптимизации
Напомним, что поскольку
*
T
∑
τ
1=
**
TGvShvTV
+τ∆τ+
*
и
)()(=)(
TVTBTV
,)(=)()(=)(
то эту задачу можно свести к задаче максимизации функции
*
TGvTBEu +
Пусть
.)))()(((
Вычислив
при
)(*τ∆ S
, запишем целевую функцию в виде
2*
1
1=
4
)(1exp
)(1exp
)(1exp
++−−
−
++−+
hvr
1
++−+
hvr
1
53
r
−
hvr
1
+
r
53
+
h
+
r
−−
r
51
+
+
r
852
h
+
r
−−
852
+
452
h
+
*
81
r
−
2
)(1
r
+
82
r
+
2
)(1
r
−
42
r
+
2
)(1
r
*
=]}](2)(1)[)(1{exp[1=})]{([
ShShvrEGvBuE ∆+∆++−−+
+
)(1exp
++−+
hvr
51
−−
r
452
+
1
+
h
r
+
41
−−
r
.
2
)(1
r
Приравнивая нулю каждую из частных производных по пере-
845
менным
=
, получим следующие уравнения:
,, hhh
82
+
r
81
−
r
hvr
++−
)(1exp
)(1{exp
r
−
53
r
+
1
−
++−
hvr
1
r
−
81
852
h
+
53
r
+
h
+
r
=
2
r
+
)(1
82
−−
852
r
,
(2.23)
2
)(1
+
r
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
+++−−+−
−−+++++
1
),( Vh
ωω
′
ω
u
′
∑
∈
TTT
)(1{exp
++−
hvr
)4)(15(3
+−
=
rr
)8)(15(1
−+
rr
)(1{exp
++−
hvr
)4)(25(3
−−
=
rr
)8)(15(1
−+
rr
51
−−
r
852
+
1
+
)(1{exp
−−
1
+
)(1{exp
h
r
53
−
++−
hvr
51
r
r
1
+
r
852
+
h
r
53
−
++−
hvr
r
1
+
r
42
−
r
=
2
)(1
+
r
82
−−
852
+
h
41
−−
r
2
)(1
+
r
852
+
h
r
,
(2.24)
2
)(1
+
r
=
82
−−
r
.
(2.25)
2
)(1
+
r
Вычисляя логарифмы левых и правых частей этих уравнений,
придем к линейной системе уравнений, решение которой имеет вид
)4(1ln)4(1)4(2ln)4(2)5(3ln3
5
=
h
+
)12(1
r
−
)12(1
r
+
rrrrr
−
)8(1ln)8(1)8(2ln)8(2)5(1ln3
rrrrr
,
+
r
h
ln
=
1
−
3
82
48
h
−
r
81
Остается лишь вычислить h0 – стратегию торговли банковским
счетом. Очевидно, что
5
.5=(1)
0
hvh −
В состояниях 1 и 2 капитал портфеля
hrhvV ++−
так что, полагая эту величину равной
0
r
−
1
ln
=,
3
55
,8))(15(=
855
34 35
42
.
r
+
41
8
, мы получим
0
).)(18()5(=(2)
rhhhvh +−+−
8)(2)(1 hrh ++
),( Vh
ωω
′
ω
u
′
∑
TTT
2. Дискретная задача оптимизации
Аналогично можно вычислить
0
455
))(18()5(=(2)
rhhhvh +−+−
в состояниях 3 и 4.
Так же, как в одношаговой модели, если существует арбитражная возможность, то решения задачи построения оптимального портфеля (2.18) или (2.19) не существует. Другими словами, если (2.18)
или (2.19) имеет решение, то не существует арбитражной возможности. В этом случае должна существовать риск-нейтральная вероятностная мера.
Если
– решение задачи построения оптимального порт-
феля (2.18) или (2.19), тогда риск-нейтральная вероятностная мера
определяется соотношением
VuBP
=)( Ω∈ω
ω
Q
обозначает частную производную по первому аргументу..
где
TT
′
VuBE
)),(()(
)]([
TT
,,
(2.26)
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим в некоторый мо-
мент t произвольный актив n и произвольное событие А из
биения, соответствующего
скалярную величину
Ith )(
Событию А поставим в соответствие
.
F
1−t
– позицию по активу n, которая будет заня-
An
-раз-
P
1−t
та после момента t – 1, в который происходит событие А. Необходимое
условие первого порядка для этой скалярной величины имеет вид
′
ω
∈ω
A
Это верно для любого
′
∆+
Таким образом, ,0=]|)([
соотношением (2.26), поскольку
, так чтоо
PA
1−∈t
FtSBGvBuE
1**−
tnTTT
FtSE если мера Q определена
1*−∆tnQ
**
tSBGvBuP
nTTT
0.=),()())},(){(()(
ω∆ωωω+ω
0.=]|)(}){([
*
.
}{=
GvBV +
Пример 2.3 (продолжение). Три уравнения (2.23)–(2.25) приобретают вид
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
81
+
r
+−
−−
12
12
−+
++
12
12
−−
+−
,,1,0,= Tt
Tt =
ω
T
Tt <
1T2
T
82
r
′
ω
Vu
′
Vu
′
Vu
=))((
=))((
ω
=))((
ω
′
−
)),((
ω
Vu
2212
)4)(15(3
rr
′
)5)(18(1
+−
rr
)4)(25(3
rr
′
)5)(18(1
+−
rr
)),((
ω
Vu
2232
)).((
ω
Vu
2242
Следовательно, из (2.26) вытекает
Q
Q
)8)(25(1
ω
=)(
ω
=)(
rr
rr
ω
Q
)4)(15(3
Q
=)(,
21
ω
=)(,
43
)8)(15(1
rr
,
)4)(25(3
rr
,
что совпадает с полученным выше результатом.
Очевидно, что проиллюстрированный в примере 2.3 подход
к вычислению оптимальной стратегии может быть неэффективен для
больших задач. Если нужно рассмотреть d уравнений с d неизвестными в каждом узле информационного дерева, то возникающая при
этом система уравнений может быть слишком трудна для решения.
Существует альтернативный подход, называемый динамическим программированием, который уменьшает вычислительные трудности.
Идея динамического программирования состоит в том, что оптимальное решение, принятое сейчас, должно согласовываться с оптимальной стратегией в будущем. Другими словами, если мы знаем оптимальную стратегию, начинающуюся в момент t + 1, тогда определение оптимальной стратегии, начинающейся в момент t, сводится
к одной или более одношаговым задачам. Следовательно, многошаговая задача может быть решена в виде последовательности решений одношаговых задач.
Для того чтобы реализовать эту процедуру построения оптималь-
ного портфеля, необходимо построить процесс
где
равняется максимуму (среди всех самофинансируемых страте-
)(vU
t
,)( yU
t
36 37
Tt =
ω
T
Tt <
T
T
2. Дискретная задача оптимизации
гий) ожидаемой полезности в момент T, при условии, что в момент t
капитал равен v, а информация к этому моменту определена потоком F
Следовательно,
Величина
– это измеримая случайная величина.
)(vU
t
при
)(yU
t
).,(=)(
yuyU
совпадает с функцией полезности
.
t
При этом для
величина
удовлетворяет важному функ-
)(yU
t
циональному уравнению динамического программирования
*
111 ttttttt
+++
(2.27)
.],|})/{([max=)(
FhFShBvBUEyU ∈∆⋅+
Здесь величина h – решение для периода t, является d-мерной
-измеримой случайной величиной. Величина h*, максимизирующая
F
t
выражение (2.27), является вектором оптимальных позиций в рисковых ценных бумагах, занимаемых инвестором до момента t при за-
*
– это скалярное произведение, т. е.
∆⋅tSh
1+
**
ddt
.
1)(1)(=
+∆+++∆∆⋅
tShtShSh
данном F
*
1
+
. При этом
t
11
Эта величина равняется дисконтированной прибыли, получен-
ной на интервале от момента t до момента t + 1. Заметим, что аргу-
мент функции
в (2.27) равняется капиталу в момент t + 1 при
)(yU
t
условии, что в момент t капитал равен v и h определяет позиции
в рискованных ценных бумагах, а h
– позицию в банковском счете.
0
Уравнение динамического программирования (2.27) можно использовать для вычисления оптимального решения задач (2.19) и (2.20),
вычисляя оптимальное значение функции
зом. Сначала вычисляется
затем
,)(1yU
−
рекурсивным обра-
)(vU
t
и т. д. На всем пути
)(2yU
−
находятся максимизирующие значения h, определяющие компонен-
ты оптимальной стратегии. Когда этот процесс завершится,
будет равняться оптимальному значению целевой функции в (2.19)
или (2.20) при условии y = v. Таким образом, метод динамического
программирования имеет то преимущество, что мы получаем решение для всех возможных значений исходного капитала y = v, а не только
для одного фиксированного.
)(0yU
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
ωω
2
2
2
ωω
4
ωω
2
2
ωω
4
ωω
2
1
1
+−ω−
2
2
+++−−+−
−−+++++
Пример 2.3 (продолжение). Пусть t = 1 и
=
или
1
= ωω .
Тогда правая часть в соотношении (2.27) имеет вид
2
h
h
*
SShryrE
∆+++−−
2
1
})8(1)(1{exp[1max= hryrhryrE
=8]=|})(1/)(1{exp[1max
1
}].)8(2)(1{exp
+++−−−−+−−
В этом примере h – скаляр. Вычисляя производную по h и приравнивая результат к нулю, получим следующее выражение для максимизирующего значения h:
r
1
h
ln
=
3
82
−+r
81
.
Подставляя полученное выражение в правую часть (2.27), придем к соотношению
3/)8(23/)8(1
+−− rr
+
r
1
1
1=)(
2
3
1
+−−
yryU
})(1{exp
82
−
r
81
3/)8(13/)8(2
rr
−+−
+
+−−+−=
r
82
+
r
81
−
})(1{exp)8(1)8(2
yrrr
для 1 и 2.
Аналогично при t = 1 и
или
3
уравнение (2.27) при-
=
=
обретает вид
2
h
*
SShryrE
∆+++−−
2
=4]=|})(1/)(1{exp[1max
1
=
1
h
r
так что в точке
1
h
ln
=
3
1
1=)(
1
2
42
достигается максимум функции и
+−r
41
})(1{exp
yryU
+−−
})4(2)(1{exp[1max= hryrhryrE
42
r
−
41
r
+
38 39
−
+
+
+++−−−−+−−
−−+ rr
42
r
41
r
,}])4(1)(1{exp
3/)4(23/)4(1
=
2
ωω
4
ωω
2
1
+−ω−
2
2
+++−−+−
−−+++++
2. Дискретная задача оптимизации
для
3
1
=
и
=
3
.
3/)4(13/)4(2
rr
+−−
})(1{exp)4(1)4(2
yrrr
+−+−−=
Мы теперь готовы осуществить итерационную процедуру
и вычислить
rf
ω
так что
=),(
)(1yU
. Обозначим:
)(0yU
3
2
3
можно записать в виде
−+−
3/)8(13/)8(2
rr
rr
+−−
3/)4(13/)4(2
rr
rr
}.)(1{exp),(1=)(
yrrfyU
ωω=ω−+
21
ωω=ω+−
43
Уравнение (2.27) приобретает вид
ShyrryrfEyU
h
1
(1max=
h
2
10
−−+−+−− })5)(3(1)(1{exp),(
hrryryrf
,,,)8(1)8(2
,,,)4(1)4(2
*
=∆+++−− }]}]){)[(1(1{exp),([1max=)(
1
2
}).)5)(1(1)(1{exp),(
hrryryrf ++−+−−
Приравнивая нулю производные по h, немедленно получим вы-
ражение для точки максимума
)4(1ln)4(1)4(2ln)4(2)5(3ln3
=
h
)12(1
r
+
−
)12(1
r
+
rrrrr
−
)8(1ln)8(1)8(2ln)8(2)5(1ln3
rrrrr
.
Подставляя полученное выражение в (2.27), мы получим выра-
жение для
.
)(0yU
Таким образом, метод динамического программирования мож-
но применять для решения задачи построения оптимального портфе-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]