Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
],[: ∞−∞→Ru
.1<0 ≤α
−∞=)(Vu
0<V
−∞>)(VU
0>V
T
11
α+
TTT
∈∈
111
TTTTT∈11
TT
1
T
{
dn ,1,=
Здесь
и
– скалярный параметр,
– возрастающая функция полезности
Поскольку процесс потребле-
ния должен быть неотрицателен, без потери общности мы будем по-
лагать, что
для всех
и, конечно,
для
Для решения поставленной задачи с помощью динамического
программирования мы будем вычислять значения функции
t
двигаясь в обратном направлении по времени. Это позволяет найти
максимум ожидаемой полезности потребления за время T при задан-
ном капитале V, потреблении c
Значение
определяется просто. Так как функция полезности –
u
в момент t и заданной информации Ft.
t
это возрастающая функция, инвестор захочет воспользоваться полностью капиталом, который доступен на последнем шаге. Таким об-
разом,
.
uuT=
Начиная с момента T – 1 при заданном капит а ле V, инвестор стал-
кивается с задачей, которая по существу эквивалентна серии одношаговых задач, рассмотренных выше,
при условии
максимизировать
TT
1=
n
N
∑
−−
101
TSThBThcv
nn
FVuEcu
−−
,1)()()(=
−++
(2.42)
]|)([)(
.
,)(Vu
N
0
∑
T
1=
n
nn
Используя первое условие, чтобы найти
,1)()()(=
−+
TSThBThV
.;,1,0,=для)(
FcNnFTh
111 −−−
TTTn
и затем подстав-
,)(0Th
ляя результат во второе условие, получаем
N
∑
11 −−−
TTT
−−
11
1=
n
N
∑
TTTT
n
1=
50 51
*
).()(/)(
TSThBBBcv
∆+−=
nn
−−+−
=]/1)()()[(/)(=
BTSBTSThBBcvV
1
TnTnn
111
TTTTT
∈
11
T
{
dn ,1,=
2. Дискретная задача оптимизации
Таким образом, (2.42) можно переписать в виде
+−α+
/)(([)({max
BBcvuEcu
−−−
N
∑
T
1=
n
*
∆+
]}|))()(
FTSThB
1
−
Tnn
при условии
Положим теперь
Tn
1−
равным оптимальному значению целе-
)(1vu
−
;
NnFTh
,1,0,=для)(
.
∈TTFc
−−
вой функции.
Вообще говоря, вычислив значение целевой функции
но вычислить
используя принцип динамического програм-
,)(1vu
t−
мож-
,)(vu
t
мирования
+−−)(max=)(
cuvu
11 Tt
где максимум берется по всем
Значение функции
при этом будет совпадать с оптимальным
)(0vu
N
∑
11
ttttt
n
Fth
1=
для
1)(−∈tn
∆+−α+
*
,|)()(/)(
FtSthBBBcvuE
1
−−−
tnn
(2.43)
и
∈ttFc
значением для исходной задачи (2.42) или (2.43) и максимаьные зна-
чения
тиций – потребления. Последняя компонента
и
c
1−t
будут являться частью оптимального плана инвес-с-
)(th
n
будет затем вычис-
h
0
лена из условий самофинансируемости.
.
11 −−
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
),,( PFΩ
ν
Πν
2.1,=k
)(tw
)),([0, dztν
Π
R
2
Π
)(tξ
)(Gν
,)(tξ
0))(0)(,( −ξ−+ξ ttt
)(Gν
)(Gπ
),( dzdtν
dtdzdzdtdzdt )(),(=),( Π−νµ
∈
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЫНКИ
В этой главе мы перейдем к непрерывным моделям финансовых рынков и рассмотрим две простейших модели: модель Блэка –
Шоулса (BS-модель) и модель Блэка – Шоулса – Мертона (BSM-модель). В рамках этих моделей будет рассмотрена задача оптимизации
инвестиционного портфеля.
3.1. Модели BS и BSM и хеджирующие портфели
Для описания математической модели финансового рынка в непрерывном времени нам понадобятся стандартные непрерывные случайные процессы: винеровский и пуассоновский процесс, – пуассоновская мера, а также случайные процессы, построенные по этим
базовым процессам с помощью стохастических уравнений.
Введем необходимые обозначения.
Пусть
d
– стандартный винеровский процесс, а
Rtw ∈)(
мые пуассоновские меры, заданные на борелевской алгебре В
странства
Пусть
цессом
F
и пуассоновской мерой
Предположим, что
левской
-алгебре В пространства
Меру
можно построить следующим образом: пусть
– основное вероятностное пространство,
– независи-
k
d
с компенсаторами
RT ×][0,
– поток -алгебр, порожденный винеровским про-
t
),( dzdt
про-
0
kk
.
– -конечная мера, заданная на боре-
)(1dz
d
, а
– конечная мера.
Rt ∈ξ )(
d
однородный процесс с независимыми приращениями, характеристическая функция которого имеет вид
,)(=),( dtdzdzdtE
–
ξλ
))(,(
ti
∫
∫
||||
1
≥
z
λ
),(
zi
≤
1||||
z
),(
λ
zi
1)e(
−+
52 53
zitE
dz
]}.
1
+
d
z
||||
dz
1)),(e([{exp=e
+−λ−
+
1
d
||||
z
(3.1)
)(tξ
)(Gν
,)(tξ
0))(0)(,( −ξ−+ξ ttt
)(Gν
)(Gπ
),( dzdtν
dtdzdzdtdzdt )(),(=),( Π−νµ
∈
3. Непрерывные финансовые рынки
Процесс
Если обозначить
рых точка
распределение Пуассона с параметром
Обозначим через
кций f, таких, что
лее
и
µ
обозначает совокупность функций из
)(tFS
ν
T
d
Rt
0
)(tFS
обозначает совокупность функций из
T
d
Rt
0
Ниже используются также обозначения
с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода.
через число разрывов процесса
принадлежит G, то
для кото-о-
будет иметь
.
пространство измеримых случайных фун-
)(tFS
d
и Ft -измерима при каждом t. Пусть да-
Rztf ∈),(
для которых
,)(tFS
dzdt
||),(||
ztfE
ztfE
||||
z
dzdt
2
||),(||
||||
z
,<
∞
1
+∫∫d
для которых
,)(tFS
.<
∞
1
+∫∫d
SSS ,,
для краткости,
µν
если это не приводит к недоразумениям.
Интегралы по мерам
и
вида
T
d
Rt
dzdtztf
корректно определены, если функции
T
d
∫∫∫∫
Rt
00
νµ
),(),(),,(),(
dzdtztf
Sf
и
µ
соответственно.
∈ Sf
ν
Рассмотрим рынок, на котором присутствует безрисковый актив и d рисковых активов, динамика цен которых описывается следу-
ющими уравнениями:
(3.2)
SdttStrtdS
000
d
iii
∑
j
1=
jij
ii
,1=(0),)()(=)(
d
∫
R
µ+σ+
i
(3.3)
)],,(),()()()()[(=)(
dzdtztftdwtdttatStdS
.,,1=,=(0) disS
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
,)(tc
,),( ch
)(tV
)()()(=)( tctSthtV −⋅
.)()()(=)( dttctdSthtdV −⋅
)(tV
R
,),( ch
)(tV
,)(tV
1
Портфель
0
))(),((=)(
d
+∈d
– это прогрессивно изме-
Rththth
римый случайный процесс, удовлетворяющий оценкам
где
∑
TT
0
0
d
k
=⋅
kk
0=
∫∫
0
+
.=
ShShSh
При этом, как и в дискретном случае,
2
PdttSthdtth
∞⋅∞
,в.п.-<|)()(|,<|)(|
(3.4)
i
интерпретируется как число единиц актива типа i, содержащееся
в рассматриваемом портфеле.
Неотрицательный прогрессивно F
цесс
подчиняющийся оценке в.,п.-<)(
-измеримый случайный про-
t
T
∫
0
∞
Pdttc
называетсяся
процессом потребления.
Портфель
состоящий из портфельных инвестиций h
и потребления с, называется самофинансируемым, если его капитал
имеет вид
и его дифференциал задаетсяся
соотношением
(3.5)
Пусть h – самофинансируемый портфель и
1+d
Тогда
-значный процесс
– его капитал.
)(th
)()(
tSth
=где)),(,),((=)(
0
utututu
kd
kk
)(
tV
,,0,=,
dk
(3.6)
называется самофинансируемым относительным портфелем.
Рассмотрим самофинансируемый портфель с потреблением
капитал
где це ны
k
которого имеет вид
d
t
∑
∫
0
0=
k
удовлетворяют системе стохастических уравнений
)(tS
kk
),()()(=)(
tcdShxtV
−ττ+
(3.2), (3.3). Тогда
54 55
,)(tV
3. Непрерывные финансовые рынки
0
t
∫
0
00
ii
t
tt
∫∫
0
t
iii
00
,)()()(=)()(
ττττττ
drShdSh
t
iii
∫∫∫
000
.,1,=),,(~),()()(
diddzzfSh
τµτττ+
d
+τσττ+ττττττ
)()()()()()(=)()(
dwShdaShdSh
∑
ii
1=
k
kik
Таким образом, уравнение (3.5) приобретает вид
d
∑∑
1=1=
k
.)(),(),()(
dttcdtdz
−µτ+
(3.7)
+σ++
])]()([)()()[(=
tdwdttaShdttrSthtVdV
kik
Процесс
d
00
d
∑
i
1=
вида (3.6) описывает часть капитала, инвестиро-
)(tu
k
i
zfhtV
ii
iii
~
ванную в k-й актив. При этом часть капитала, инвестированная в бан-
ковский счет,
d
−− tuthtu
0
∑
k
1=
k
+
.1),(1,=1),(1=),1)((1=)(
(3.8)
В терминах относительного портфеля стохастическое уравне-
d
∫
R
имеет вид
k
d
+σ++
)()()[()()()()()[(=)(
∑∑
kkk
j
1=1=
+−−µ+
dttrtVtudttcdzdtztf
)()(),1))(((1=)(])],(),(
−µ+σ++
tdwtatStudttrtStutVtdV
jkj
,)()],(),()()[()(
dttcdzdtztfdwtatutV
ние, которому удовлетворяет капитал
d
00
d
k
∫
R
d
kk
k
d
∑∑
j
1=1=
k
jkj
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
+−+− dtrtatutVdttctVtrdV 1])([)()()]()()([=
µ++
R
R
),( ch
)(tV
].[0,всехдляв.п.-0)( TtPtV ∈≥
)(vU
)(xΦ
−
2
,)()(=)( tttH ργ
+θ+− )()()()[(= tdwtdttrtHdH
)(tc
[ ]
),( ch
0≥v
.xUch )(),( ∈
т. е.
.=(0))],,(),()([)()( vVdtdzztftAdwtutV
d
∫
R
(3.9)
Полученное уравнение представляет собой линейное неоднород-
ное уравнение, и для существования его решения нам нужно лишь
предположить, что
T
0
2
∞∫<||)(||
dttu
P-п. в.
Построение реплицирующего портфеля
Рассмотрим рынок, на котором определены цены рисковых ак-
тивов
1
и одного безрискового актива
))(,),((
tStSd
и пусть
,)(0tS
динамика этих цен задается следующими уравнениями:
(3.10)
,=(0),)()(=)(
sSdttrtStdS
0000
+µ+σ+
d
∫
kkkk
k
)],(),()()()([=)( dtdzztftdwtdttaStdS
Самофинансируемый портфель с потреблением
ся допустимым для начального капитала v, если капитал
портфеля подчиняется оценке
Обозначим через
Рассмотрим простое платежное обязательство Y c контрактной
функцией
ное обязательство.
Введем предварительно дополнительные обозначения
.=(0),)],(),(
sSdtdzztfS ν+
d
∫
k
(3.11)
kkk
называет-
этогоо
(3.12)
множество допустимых портфелей.
и построим портфель, реплицирующий это платеж-
t
∫
0
56 57
),)((exp=)(
ττ−γ
drt
(3.13)
−
2
,)()(=)( tttH ργ
+θ+− )()()()[(= tdwtdttrtHdH
)(tc
[ ]
),( ch
0≥v
.xUch )(),( ∈
3. Непрерывные финансовые рынки
1
TT
d
∫∫∫
00
R
1
0
2
TT
dszs
∫∫∫
0
R
(3.14)
)1],()()[(=)(
trtatt −σθ
⋅
),(),(
zsfzsq
e[||),(||
d
−+θ−
dsdzzsfzsqsdwst
. (3.15)
(3.16)
1.=(0))],,(),(),( Hdzdtztfztq
(3.17)
– интенсив-
Пусть X – F
d
∫
R
-измеримая случайная величина;
T
µ+
ность потребления и
T
∫
0
dsscsHXTHEv
.<)()()(=
∞+
Рассмотрим вначале случай, когда
случае справедливо следующее далее утверждение.
Теорема 3.1. Полнота рынка. Пусть на рынке, динамика ко-
торого имеет вид
−µ⋅+⋅θρ
),()),(),()()({exp=)(
В этомм
.0),(=),( ≡ztfztf
самофинансируемый портфель с потреблением
данного начального капитала
тал этого портфеля удовлетворяет оценке
(3.18)
SdttStrtdS
d
σ+
iii
∑
j
1=
ii
1,=(0),)()(=)(
000
)],()()()[(=)(
tdwtdttatStdS
jij
(3.19)
,,,1=,=(0) disS
допустим для
, т. е.
Тогда капи-
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
(
)
0≥X
(
)
)(tu
)(),( xUcu ∈
.=)( XTV
,),( cu
.=)( XTV
)()( tVtH
[ ]
BTV =)(
[ ]
)(tM
vM =(0)
+
1
+−
)(tS
)(tN
)(tw
.)(tN
Пусть
t
∫
0
– FT-измеримая случайная величина и c – процесс
∈≤θθθ+
потребления, удовлетворяющий соотношению
T
∫
0
Тогда существует портфель
dchTVThEv
такой, что
.<)()()()(=
∞θθθ+
(3.21)
и справедливо соотношение
Таким образом, при описанных выше условиях существует самофинансируемый портфель
тельство X, т. е. такой, что
хеджирующий платежное обяза-
Для того чтобы построить такой
портфель, воспользуемся формулой Ито и вычислим
tt
∫∫
00
t
t
+〉〈++
t
∫∫
00
dsscshhVsdhsV
sdVsHVHdsscsHtVtH
=)()(,)()(
].[0,всехдля)()()()(
TtvdchtVthE
(3.20)
+++
)()((0)(0)=)()()()(
:
t
∫
0
t
∫
0
+
θ−σ+θσ−
−−−⋅++=
)(1])([)()()[()(
srrsasusrsVshv
).()]()()()[()()]()()(
sdwsssusVshdssssu
(3.22)
Отсюда с учетом (3.14) нетрудно показать, что
и
1
tV |)()()(
=)(
.
T
∫
0
th
)(
+
FBThdsscshE
t
Обозначим:
Tt
∫∫
00
и заметим, что
является Ft-мартингалом и
58 59
++
FBThdsscshEdsscshthtVtM |)()()(=)()()()(=)(
t
.
+
1
+−
)(tS
)(tN
)(tw
.)(tN
3. Непрерывные финансовые рынки
Следовательно, существует представление вида
где
t
∫
0
d
удовлетворяет оценкее
R∈θΨ )(
T
∫
0
2
∞θθΨ
d
),()(=)(
θ⋅θΨ+
dwvtM
.<||)(||
При этом
Cравнивая (3.23) с (3.22), получим
[))((=)(
ttu θ+
σ
0
Ψ
tt
∫∫
00
)(
t
)()(
tVth
)],(
t
случае.противномв (3.24)
.)()(=)()()()(
θ⋅θΨ+θθ+
dwvdcsHtHtV
(3.23)
P-п. в., откуда
Ψθ−σ
=][ uVh
,0>)(если tV
Отметим, что уже начиная с работы Мертона стало понятно, что
этот подход не дает нужного результата, если рассматриваемая модель динамики базовых активов содержит скачки. При этом рынок
оказывается неполным и существует много возможностей построить
соответствующую мартингальную меру. В работе Мертона рассмот-
рена модель, в рамках которой динамика цены
рискового активаа
P имела вид
)(
tN
,])([exp(0)=)(
YtwtStS
+σ+µ
∑
k
(3.25)
k
1=
1
где
– P-винеровский процесс;
)( Rtw ∈
цесс с интенсивностью
и
– P-пуассоновский про-
– независимые одинаковоо
),(2δmNYk:
распределенные гауссовские случайные величины, не зависящие от
и
По аналогии с диффузионным случаем рассмотрим мар-
тингальную динамику вида
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]