Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
T
.
RW
,/= PQL
∑
Ω∈ωωωλω
′
T
RRu →:
.Ω∈ω
Ω∈ωωωλω
T
u
′
T
TT
,)(0,∞
.0>v
},{exp=)( yccbayu −−
cba ,,
.0>0,> cb
+
ля. Он позволяет получить решения во многих случаях, когда традиционный подход не работает. С другой стороны, во многих практических ситуациях вычислительные трудности оказываются весьма
значительными. К счастью, вычислительный подход, основанный на
риск-нейтральной идеологии, может преодолеть их.
2.5. Оптимальные портфели и мартингальные методы
Риск-нейтральный вычислительный подход к решению многошаговых задач построения оптимального портфеля мало отличается
от соответствующего подхода к решению одношаговых задач. Решая
задачу (2.1) или (2.2), на первом шаге мы должны определить множество всех достижимых капиталов
v
K
тегии с начальным капиталом
для некоторой самофинансируемой стра-
VWRWW =:{= ∈
T
}.=0vV
Если рассматривать модель полного рынка, то это множество
выглядит так:
K
v
∈ (2.28)
}.=]/[:{= vBWERWW
TQ
Если рассматривать модель неполного рынка, тогда описать это
множество сложнее. Второй шаг – это решение подзадачи
максимизировать
(2.29)
.условиипри)]([
WWWuE ∈
v
Если рассматривается модель полного рынка, тогда эта задача
может быть решена с помощью множителей Лагранжа. В результате,
получив оптимальное решение W, на третьем шаге следует найти стра-
тегию h, которая генерирует W. Мы будем предполагать, что рынок
полный, и потому будем решать задачу (2.29). Ввиду (2.28) для решения задачи (2.29) введем множитель Лагранжа
максимизировать
40 41
и сведем ее к задаче
Q
(2.30)
]./[)]([
BWEWuE λ−
.KRW
,/= PQL
∑
Ω∈ωωωλω
′
T
RRu →:
.Ω∈ω
Ω∈ωωωλω
T
u
′
T
TT
,)(0,∞
.0>v
},{exp=)( yccbayu −−
cba ,,
.0>0,> cb
+
2. Дискретная задача оптимизации
Это – безусловная задача оптимизации относительно перемен-
ной
∈ Введем плотность
тогда целевая функция
(2.30) может быть переписана в виде
)].(/)()())(()[(=]/)([ ωωωλ−ωωλ−
BWLWuPBLWWuE
Ω∈ω
TT
Если W максимизирует это выражение, то должно быть выполнено необходимое условие существования максимума, что приводит
к уравнению
BLWu
(Сейчас предполагается, что функция полезности
только от капитала и не зависит от
) Решая это уравнение, по-
.всехдля)(/)(=))((
зависит
лучим
(2.31)
BLgW
где g – обратная функция к
.
Вычислим далее правильное значение
. Это значение должно
,всехдля))(/)((=)(
быть таким, чтобы, выбрав W вида (2.31), мы получили соотношение
Q
Другими словами, выбирается так, чтобы выпол-
.]/[=
BWEv
нялось равенство
Q
λ
(2.32)
.=]/)/([ vBBLgE
Обратная функция g убывает и принимает значения из интервала
ствовать для любого
таким образом, решение уравнения (2.32) будет суще-
Отсюда вытекает, что решение подзадачи
(2.29) не отличается от решения одношаговой задачи, исключая то,
что мы дисконтируем с помощью В
, а не В1. Продолжим рассмотре-
Т
ние примеров.
Пример 2.4 (экспоненциальная полезность). Рассмотрим функ-
цию полезности вида
параметры, причем
Это приводит к следующему выра-
где
– скалярные
жению для оптимального достижимого капитала:
)]/(ln)/[(
BLBLcEv
=
W −
BLE
T
TT
]/[
)/(ln
BLc
T
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
}
−
ω
Q(ω) L(ω) = Q(ω)P(ω)
ω
1
(1 + 5r)(2 + 8r)/12 (1 + 5r)(2 + 8r)/3
ω2
(1 + 5r)(1 – 8r)/12 (1 + 5r)(1 – 8r)/3
ω3
(3 – 5r)(1 + 4r)/12 (3 – 5r)(1 + 4r)/3
ω4
(3 – 5r)(2 – 4r)/12 (3 – 5r)(2 – 4r)/3
2
22
12
+−−+++++ )8(1ln)8)(15)(18(2ln)8)(25(1 rrrrrr
)).4(2ln)4)(25(3)4(1ln)4)(15(3 rrrrrr −−−+++−+
ω+ω+ω++
−
и оптимальной целевой функции
BLbcEaWuE
−
exp]/[=)]([
T
−−
BLE
T
BLBLEvc
)]/(ln)/[(
TT
−
]/[
.)/(lnTBLc
Примеры 2.3 и 2.4 (продолжение). Риск-нейтральные вероят-
ности и вектор пространства состояний системы в рассматриваемых
примерах легко вычислить. Представим результаты вычислений
в следующей таблице:
22
Вычислим вначале
Q
Q
−−
,
)(1=])[(1=]/[
++ rrEBLE
22
−−
)(1ln)2(1]ln[])(1=)]/(ln)/[(
rrLErBLBLE
++−+
и
Q
1
=]ln[ rrrrLE
+−−++++− )5(3ln)53(3)5(1ln)53(1(3)ln12(
При этом оптимальный капитал
2
Q
LErvW
+
rr
rr
rr
rr
ω=ω−−+−
ω=ω+−−−
ω=ω+−−−
),4(1ln)5(3ln
ω=ω−−−−
42 43
++++ω (3)ln)](ln[)((1=)(
,),8(1ln)5(1ln
1
,),1(1ln)5(1ln
2
,3
.),4(2ln)5(3ln
4
Решая систему
ω+ω+ω++
−
2
2. Дискретная задача оптимизации
),(=(2)9(2))(1
ω++ Whhr
110
2
),(=(2)6(2))(1
ω++ Whhr
210
мы получим
r
h
1
1
ln
=(2)
3
82
−+r
81
и
Q
=(2)
vh
0
+
(3)ln]ln[
LE
+
)(1
r
+
+
22
)(1
+
r
в состояниях 1 и 2. Аналогично, решая систему
2
2
),(=(2)6(2))(1
ω++ Whhr
310
),(=(2)3(2))(1
ω++ Whhr
410
мы получим
r
h
1
1
ln
=(2)
3
=(2)
vh
0
+
42
+−r
Q
,
41
(3)ln]ln[
LE
+
)(1
r
+
+
22
)(1
r
+
в состояниях 3 и 4. Далее мы должны решить систему
)8(1ln3)5(1ln)8(2ln2
−−+−+
rrr
)4(2ln2)5(3ln)4(1ln2
rrr
−−−−+
),(2,8)(2,)(1=)(=(1)8(1))(1
ω+ω+ω++ hhrVhhr
11101110
что позволит найти
и
(1)
h
0
Наконец, получим выражение для
.(1)
h
1
оптимальной целевой функции
22
В заключение приведем еще один важный пример.
hhrVhhr
Q
),(2,4)(2,)(1=)(=(1)4(1))(1
31303110
)}.(1ln2)](ln[)(1{exp)(11=)]([
rLErvrWuE
++−+−−−
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
1>u
.1<<0 d
,1= pq −
−
),0,1,1,0,0,1,(0,=ω
Ω∈ω
2
ω
2
nT −
µ
ω−µ
.2,1,=
t
udp <1<<01,<<0
u
−−
Биномиальная модель
Биномиальная модель представляет собой одну из важнейших
моделей описания поведения цен рисковых активов.
На каждом шаге в такой модели существуют две возможности:
цена актива увеличится пропорционально величине u (up),
уменьшится пропорционально величине d (down),
или
Вероятность движения вверх равна р, а вероятность движения вниз
и события, происходящие в различные моменты времени, независимы. Таким образом, биномиальная модель связана со случайным процессом, представляющим собой, например, число выпадений герба
при бросании монеты или вообще число успехов
µ
в некоторой се-
n
рии n испытаний, при условии, что результатом каждого испытания
может стать успех или неудача. Такой процесс называется процессом
Бернулли.
Напомним, что случайный процесс
t
называется
}2,1,=;{ tX
процессом Бернулли с параметром р, если случайные переменные
независимы и
,,21XX
ответствующее вероятностное пространство
tt
состоит из всех пос-
для всех х t. Со-
pXPXP
=0)=(1=1)=(
ледовательностей вида
где каждая точка
представляет собой (очевидным образом)
регистрацию соответствующего события.
Строго говоря, вектор
компонент, и соответственно вероятностное пространство
может иметь неограниченное число
содержит бесконечное число точек. Однако рассматриваемая здесь модель
рынка описывает лишь конечное число шагов, так что достаточно
рассмотреть лишь модель, соответствующую ограниченному числу
бросаний монеты. Итак, каждое состояние
нент, каждая из которых принимает значения 0 или 1. Существует
будет иметь Т компо-
T
векторов такого типа, и рассматриваемое выборочное пространство
будет содержать все эти векторы. Таким образом, каждая компонента
принимает значение 0 или 1. Далее,
)(
X
t
ствующая наблюдениям за первыми t бросками монеты, т. е. P
44 45
– это алгебра, соответ-
F
t
будет
t
2
nT −
µ
ω
−
µ
.2,1,=t
udp <1<<01,<<0
u
−−
2. Дискретная задача оптимизации
обозначать разбиение, состоящее из
t
ячеек, каждая из которых соответствует некоторой последовательности исходов в бросках монеты. При этом вероятностная мера P задается соотношением
nTn
−
, где – произвольное состояние, соответствующее
ppP
−ω )(1=)(
n успехам (гербам) и
Процесс
соотношением
)(
X
t
t
1
Поскольку
,=][ tpE
t
t
−µ
неудачам (решкам) в серии из Т бросков.
определяется в терминах процессаа
}2,1,=;{ t
).()(=)(
ω++ωωµ
XX
tt
и дисперсия
pEXt=
t
, то для любого о t
)(1=)( ppXD
).(1=)( ptpD
Далее нетрудно показать, что
ntnt
−
−µ
nt
(2.33)
1,0,=,)(1=)=( nppCnP
для всех
Распределение (2.33) называется биномиальным распределени-
!
ем, а
t
C
n
t
=
называется биномиальным коэффициентом.
)!(!
ntn
−
Опишем теперь биномиальную модель финансового рынка. Эта
модель характеризуется набором из четырех параметров: p, d, u и S
где
и
Цена актива в момент t задаетсяся
.0>
S
0
соотношением
t
µ−µ
t
t
t
0
.,2,1,=,=
TtduSS
Следовательно, на каждом шаге существуют лишь две возмож-
ности: либо с вероятностью p при броске монетки выпадает
и цена
увеличивается пропорционально коэффициенту u, либо с вероятностью 1 – p выпадает d и цена уменьшается пропорционально d. При
этом в силу (2.33) распределение цены задается выражением
,
0
ntn
t
0
n
ntnt
−
(2.34)
.1,0,=,)(1=)=(
nppCduSSP
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
1
1
−∆
1
−∆
1
∆
∆
du
−
1<q
.1> ru +
Q
Ω∈ω
dup ,,
)(ln=)( vvu
T
T
µ
Tn <
1
T
µ
−−+
−
Процесс возврата средств в биномиальной модели может быть
описан следующим образом: на первом шаге мы имеем
X
X
1
−
t
t
(2.35)
.,2,1,=1,=)(
TtdutR
−∆
Другими словами, либо
с вероятностью 1 – p. В частности, величина
1=
dR
с вероятностью p, либо
1=
uR
R
не зави-
сит от текущей цены актива, что весьма желательно, если мы моделируем цены таких активов, как акции.
Построим теперь мартингальную меру. Пусть процентная став-
ка постоянна, так что
Q
E
0
tR
+∆+
и, в силу (2.35) и свойстваа
rR =
0
1)(1)(
tRtR
+∆−+∆
01
F
1)(1
,0=|
t
должно выполняться соотношение
1
−−
ru
q
−+
1
+
r
q
1
−−
rd
)(1
1
,0=
+
r
где q – условная вероятность (относительно алгебры Ft при любом t)
того, что при следующем движении цена поднимется. Отсюда
dr
q
=
для всех F
и t. Поскольку
t
существовать лишь тогда и только тогда, когда
чае мартингальная мера
qqQ
−ω
имеет вид
nTn
−
,)(1=)(
−+1
(2.36)
, то соответствующая мера Q буд е т
В этом слу-
где
– некоторое состояние, соответствующее n подъемам
и T – n снижениям цены. При этом вероятностное распределение про-
цесса S
относительно риск-нейтральной меры Q для всех t имеет вид
t
ntn
t
0
t
46 47
ntnn
−−
−
nqqCduSSQ
(2.37)
.2,1,=,)(1=)=(
dup ,,
)(ln=)( vvu
T
T
µ
Tn <
T
µ
−−+
−
2. Дискретная задача оптимизации
Построим оптимальный портфель на рынке, на котором присут-
ствует один тип рисковых активов, причем структура цены этого актива определяется биномиальной моделью с параметрами
Пусть
ω
L
=)(
. Заметим, чтоо
ω
Q
)(
=
ω
P
)(
d
−
q
1
−
p
p
1
,
Tn
µ−
T
где q имеет вид (2.36). Используя далее соотношение (2.11), которое
превращается в рассматриваемом случае в соотношение
,/= LvBW
мы получим
T
µ−µ
T
+
rvW
)(1=
p
q
−
1
−
1
TT
q
p
.
Это оптимальный достижимый капитал. Более того, поскольку
, то оптимальная целевая функция имеет вид
pTE
=][
T
−++
=)](ln[)(1ln)(ln=)]([ LErvWuE
.
µ−µ
T
TT
−++
ErTv
−++
pTrTv
Теперь для произвольного
q
p
q
p
1
q
−
lnln)(1ln)(ln=
E
−
1
p
−
1
ln)(1ln)(1ln)(ln=
−−
Tp
1
предположим, что
−
−
=
q
.
p
,=1n
−
и рассмотрим оптимальные позиции по банковскому счету и рисковому активу, которые должны быть получены при переходе к моменту T – 1. Их можно получить, решая систему
11
T
T
110
T
−
110
T
−
T
+++
rvTuhSThr
)(1=)()()(1
T
+++
rvTdhSThr
)(1=)()()(1
p
q
p
q
−
1
−
1
−
p
1
−
q
1
nTn
p
q
,
nTn
,
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
1
T
−+
1−T
T
),( hc
),( hc
][0,T
.1≥t
),( hc
),( hc
TT
T
v
),( hc
откуда следует, что
=)(
Th
1
и
Th
=)(
0
T
)(1
rv
+
p
v
1
q
1
1
p
q
−
−
p
−
q
p
−
1
q
−
)(1)(
qqduS
−−
1
nTn
−−
−−
)(
qp
−
pqdqpu
−−−
])(1)(1[
.
qqdu
)(1)(
−−
1
nTn
Поскольку
T −−
T
++
T
то после некоторых
,)()()(1=
ThSThrV
1101
алгебраических преобразований получаем, что
11
−−+
T
+
rvV
)(1=
1
−
T
p
q
−
1
−
1
nTn
p
q
.
Теперь рассмотрим часть денег, которая инвестируется в момент
T – 1 в рисковый актив:
)(
ThS
11
T
−
V
T
=
1
−
))((1
qpr
.
(2.38)
)(1)(
qqdu
−−
Заметим, что это выражение не зависит ни от n, ни от T. Более
того, заметим, что
имеет тот же вид, что и
V
так что по
,= WV
индукции мы можем заключить, что оптимальный портфель имеет
очень простой вид: в каждый момент времени и в каждом состоянии
нужно просто инвестировать часть капитала, определяемую формулой (2.38), в рисковый актив.
2.6. Динамическое программирование
Пусть процесс потребления
тельный, согласованный с
-алгеброй
t
процесс ct, представляющий
F
t
– неотрица-
},1,0,=,{= Ttcc
капитал, потребляемый инвестором в момент t. Стратегия потребления-инвестирования состоит из пары
, где c – процесс потребле-
48 49
),( hc
][0,T
.1≥t
),( hc
),( hc
T
v
),( hc
2. Дискретная задача оптимизации
ния и h – торговая стратегия. Полезность соответствует потреблению
на каждом шаге. Естественно, чем выше потребление, тем выше полезность. Инвестор стремится выбрать план потребления-инвестирования, который максимизирует ожидаемую полезность за T шагов.
В частности, инвестор стоит перед выбором между потреблением
и инвестированием, особенно в первое время.
При заданном начальном капитале инвестора v план
потребления-инвестирования будет называться самофинансируемым, если за
период
добавления или изъятия денег из портфеля не было, кро-
ме тех, которые были потрачены на потребление. Как правило,
N
1),()()(=
≥+
0
n
1=
∑
tt
ttSthBthV
nn
(2.39)
представляет собой капитал портфеля до трансакции в момент t. Мы
будем полагать, что
потребления t для
соответствует капиталу портфеля до моментаа
V
t
Утверждение, что
– самофинансируе-е-
мый портфель, означает, что
N
1.,0,=),(1)(1)(=
−++++
TttSthBthcV
0
∑
ttt
1=
n
nn
(2.40)
Для данного начального капитала v самофинансируемый план
потребления-инвестирования
допустим, если
ку c – неотрицательный процесс, то
.
0≥
V
.TTVc ≤
По сколь-
Задача потребления-инвестирования, решаемая инвестором, со-
стоит в следующем:
T
α
максимизировать
при заданном начальном капитале
∑
0=
t
и допустимой паре
)(
cuE
(2.41)
tt
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]