Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
)(tN
2
2
2
PQ ~
t
S
),( θµ ddz
S
∂
S
∂
S
1 u
−
Q
где
выбирая
– Q-винеровский процесс, а
)(tw
Q
так, чтобы процесс
µ
носительно Q, т. е.
)(
QQ
tStS
tN
,])([exp(0)=)(
YtwtStS
+σ+µ
∑
k
и
Y
rt
−
был мартингалом от-т-
e)(=)(
(3.26)
k
1=
те же, что и выше,
k
Q
=
Здесь
1
Y
k
1
=1]e[
– эквивалентная мартингальная мера, полученная
1
222
1].)
(exp[
−δ+λ−σ−−λ−σ−µ mrEr
(3.27)
с помощью сдвига винеровского процесса, без изменения скачкообразной составляющей.
Безарбитражную цену европейского колл-опциона при этом
можно представить в виде
+−−
−
=]|))((e[=),(e=),(
FKTSEStCStC
t
=(0))(0,))(,( SCTSTC
Q
+θσθθθ
dwSS
)())())(,(=
,),())(,())(,([
θµθθ−+θθ+
ddzSCzSC
−−
(3.28)
причем
rTQQrtQ
QQ
Q
0
является Q-мартингалом и
))(,( tStC
∂
T
∫
0
T
d
∫∫
R
,]|))(,([=
FTSTCE
QQ
−
Q
C
∂
−−
QQ
где
– мартингальная мера, не изменяющаяся при переходе
от P к Q. Хеджирующий портфель, предложенный Мертоном, пред-
ставлял собой самофинансируемый портфель вида
60 61
S
∂
S
∂
S
1 uu−
3. Непрерывные финансовые рынки
Q
C
∂
t
ϕ
∂
−
0
t
∫
0
dStSttS
).()()()(=)()),(,(=)(
θθϕ−ϕϕθθ
(3.29)
Отсюда следует, что можно хеджировать лишь риск, связанный
с первым слагаемым в правой части (3.28). Таким образом, дисконтированная ошибка хеджирования
Q
∂
C
QQ
SCTSTC
T
d
∫∫
R
0
Q
∂
C
+−
z
T
−−
∫
0
QQ
SCzSC
),,())](,()(1 θµθθ
−
ddzS
=)())(,((0))(0,))(,(
θθθ
SdS
−
–))(,())(,([
θθ−+θθ=
−−
(3.30)
так что хедж страхует от риска, связанного со скачками, лишь в среднем.
3.2. Оптимизация портфельных инвестиций
В заключение этой главы рассмотрим задачу о построении оптимального портфеля с заданным начальным капиталом. Задача оптимизации инвестиционной стратегии на рынке финансовых инструментов является одной из основных задач финансовой математики.
В частности, важным является вопрос о том, как максимизировать
выигрыш при наличии потребления. Эту задачу часто называют задачей Мертона, поскольку она была решена в работах Мертона для
логарифмической и степенной функций полезности модели Б-Ш. При
этом было показано, что в этой модели оптимально инвестировать
постоянную часть u
*
капитала в рисковый актив и выбрать интенсивность потребления пропорциональной текущей стоимости портфеля. Это означает, что оптимально для инвестора, чтобы соотношение
между депозитом и рисковым активом соответствовало линии Мер-
*
тона с наклоном
.
*
Для данного начального капитала x задача оптимизации порт-
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
][0,T
,),,( cxJ π
,),( cu
)(tV
),( cu
vV =(0)
21
,)(0,: RU →∞
0.=)(
=)(,=)(
=(0)
xUUxUU
′
∞
′
+∞
′′
RTU →∞× )(0,][0,:
][0, Tt ∈
),( ⋅tU
),,;(
найти
cuvJ
1
≡≡
,0)(u
.0>x
)(,0)( vUu ∈
2
−
T
→∞×1→∞
2
∞
′
∞
′
∞
′′
)(vU
,),( cπ
0≥x
π
][0, Tt ∈
феля с потреблением состоит в нахождении оптимальной стратегии
инвестиции-потребления. Инвестор должен определить, какую долю
активов какого вида он хочет сохранить в портфеле и какую часть
капитала он готов потратить на потребление на интервале
Введем функционал
который позволит нам оценить
.
качество инвестиционной стратегии, так называемый функционал
выигрыша. Хорошие стратегии будут соответствовать большим значениям этого функционала. Таким образом, для данного стартового
капитала x построим допустимый относительный самофинансируе-
мый портфель с потреблением
который максимизирует ожида-
тала, т. е. обеспечит максимум функционала
Здесь
, а
T
∫
0
– капитал портфеля
– функции полезности.
,UU
+
с начальной величиной
))].(())(,([=),;(
TVUdttctUEcuxJ
21
(3.31)
Напомним, что в теории оптимизации функцией полезности
называется строго выпуклая, непрерывно диференцируемая функция
удовлетворяющая соотношениям
lim
0
Непрерывная функция
функция
является функцией полезности, также будет
lim
xx
∞→→
такая, что для всехх
называться функцией полезности.
Примеры функций полезности:
α
xxUxxUxxU
γ−
t
xUxtU
0.>),(e=),( γ
1,<<0всехдля=)(,=)(),(ln=)( α
Рассмотрим следующую оптимизационную задачу:
62 63
),,;(
найти
cuvJ
1
≡≡
,0)(u
.0>x
)(,0)( vUu ∈
2
−
T
→∞×
1
→∞
2
∞
′
∞
′
∞
′′
)(vU
,),( cπ
0≥x
π
][0, Tt ∈
3. Непрерывные финансовые рынки
max
1
)(),(
vUcu ∈
(3.32)
где
1
T
∫
0
u
TVUdttctUEvUcuvU
21
Решение этой задачи возможно, например, с помощью следую-
щих двух подходов:
1) мартингального метода, основанного на методе множителей
Лагранжа;
2) метода, основанного на стохастической теории управления.
Мартингальный подход
Рассмотрим вначале портфель без потребления, т. е. предполо-
жим, что
Uc
Пусть самофинансируемый портфель
.00,
допустим для данного начального значения капитала
u
)(tV
дует из теоремы 3.1, капитал
оценке
обязательство Х – это F
u
-измеримая случайная величина, например
T
этого портфеля удовлетворяет
По определению платежноее
0.для)]()([ ≥≤β TvTVTE
.)]([=1−β TvX При этом в силу теоремы 3.1 существует такой порт-
фель
, что )(= TVX
u
P-п. в.
Определим далее множество
}.<))](())(,([|)(),{(=)(
∞+∈
(3.33)
Как сле-
XUEvXTEFXXvB
}.<])([,])([измерима,-:0{=)(
∞≤β−≥
Будем предполагать, что функции полезности
и
RTU
)(0,][0,:
дифференцируемы по v и их
RU
)(0,:
производные непрерывны в нуле и на бесконечности, причем
).,(][=)(,=,0)(][=(0)
tUUtUU
2121
vv
Обозначим через
множество допустимых самофинанси-
руемых портфелей с потреблением, т. е. таких пар
при стартовом капитале
Р-п. в. для всех
.
соответствующий капитал 0)( ≥
для которых
tV
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
)(vB
2
](0, vy ∈
2
,)(vBB ∈
x
0=)(условиипри)(
xgxf
R
).()(=),( xgxfxL ⋅λ−λ
2
−−
2
′
2′2′2
′
2
2
−
22
2
),,( ycBL
Очевидно,
финального капитала, удовлетворяющих оценке
представляет собой множество всех значений
ко-
,<)]([
∞XUE
торые могут быть достигнуты за счет торговли ценными бумагами,
обладающих тем же самым начальным капиталом
няющихся оценке
оптимального финального капитала
Таким образом, для определения
.<))([
∞XUE
h
)(TV
и выбора инвестицион-
и подчи-
ного портфеля h в задаче
h
))](([
max
)(,0)(
vUu ∈
TVUE
2
(3.34)
достаточно найти максимум по всем случайным величинам
т. е. достаточно решить задачу
).(
max
vBB∈
)(
BEU
2
(3.35)
Заметим, что в задаче (3.35) исчезло время, поэтому ее называют статической оптимизационной задачей. Для того чтобы решить
задачу о построении оптимального портфеля, нужно найти оптималь-
ное значение B* в (3.35) и затем найти портфель
что
*
u
=)( BTV
*
P-п.в.
*
такой,
)(,0)(
vUu ∈
Лагранжев метод решения задачи оптимизации
Пусть функция
kd
RRg →: вогнута и
: RRf
, Cgf ∈
d
строго выпукла, функция
→
1
. Тогда
решает оптимизационную
1
задачу
max
n
Rx∈
тогда и только тогда, когда существует вектор
kdRx+
∈λ),(
удовлетворяет уравнению
64 65
k
такой, что пара
∈λ
).()(=),( xgxfxL ⋅λ−λ
2
−−
2
′
2
′
2
′
2
′
2
2
−
22
2
),,( ycBL
3. Непрерывные финансовые рынки
k
∂
xf
x
∂
i
j
∑
j
Другими словами,
∂
λ−
j
1=
j
x
∂
i
.,1,=0,=)( kjxg
kdRx+
∈λ),(
является нулем производной
dixg
,1,=0,=)()(
,
функции Лагранжа
В интересующей нас оптимизационной задаче (3.35)
0.>при)])(()([=),(
yvBThyBUEyBL
Формально дифференцируя по B и y и меняя местами операторы дифференцирования и взятия математического ожидания, получим уравнения
(B, y) = E[
L
B
(B) – yh(T)] = 0, Ly(B, y) = v – E[h(T) B] = 0.
U
Случайную величину B найдем из первого уравнения. Посколь-
ку, по предположению, отображение
все R
и
– строго убывающая функция, то ее можно обратить на R
U
+
является отображением на
U
и получить соотношение
+
B = (
)–1(yh(T)). (3.36)
U
Подставляя полученную величину во второе уравнение, получим
−
Обозначим
′
=χ
=
TyhUThEv
.0))](()()([
1
′
Наконец, если удаст-
.))](()()([)(
TyhUThEy
1
−
ся найти единственное решение последнего уравнения, то оно и будет кандидатом на роль оптимального капитала в силу уравнения
(3.36). Таким образом, обозначив
чим, что
*
0>))()((=
ThvYIB
является кандидатом на роль оптималь-
1 −−
=χ= UIuuY
ного капитала. При этом остается лишь проверить, что B
1
′
полу-
,][,)()(
*
действи-
тельно задает оптимальный капитал.
Введем функцию Лагранжа
для общей оптимизаци-
онной задачи (3.32) с помощью соотношения
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
),,( ycBL
),,( ycBL
),,( ycB
2
B
′
∂
22
2
),(= yv χ−
)( yχ
)( yχ
∞χ <)( y
0>y
)(0,∞
=χ=∞χ∞=χ=χ
21
β
21
)(0,∞
0>)(tβ
)( yχ
∞==
==
21
)(0,∞
==∞∞==
−
0
21
Формальное дифференцирование
=
TT
∫∫
0
−+−+=
vBthdsscshyBUdttctUE
.]])()()([)())(,([
(3.37)
по аргументам
приведет к соотношениям, определяющим значения аргумен-
тов, при которых может достигаться экстремум,
(3.38)
,)]()([=),,(=0
TyhBUEycBL
−
T
y
+− (3.39)
∫
0
])()(=)([=),,(=0
dsscshvBThEycBL
и
T
1
c
c
0
T
− (3.40)
∫∫
0
].)(]))(,(][[=),,(=0
dsshydsscsUEycBL
Здесь и далее нижние буквенные индексы обозначают
дифференцирование по соответствующему аргументу, т. е.
),,(
=),,(
y
ycBL
ycBL
.
y
∂
Введем вспомогательные функции
−
1
),,(][),(
= (3.41)
=
ytUytI
y
11
1
−
′
(3.42)
yUyI
)(][)(
и
T
∫
0
+χ
21
)).(()())(,()([=)(
TyhIThdttyhtIthEy
(3.43)
Из соотношений (3.38)–(3.40) вытекает, что
1
−
′
=
1
c
=
1
)),((][
TyhUB
),(=))(,(][
tyhtctU
−
1
c
)),((][)(
TyhUtc
66 67
),(= yv χ−
)( yχ
)( yχ
∞χ <)( y
0>y
)(0,∞
=χ=∞χ∞=χ=χ
21
β
21
)(0,∞
0>)(tβ
)( yχ
∞==
==
21
)(0,∞
==∞∞==
−
3. Непрерывные финансовые рынки
1
−=
′
2
T
∫
0
1
(3.44)
где
задано соотношением (3.43).
Ниже нам понадобятся некоторые свойства функции
Лемма 3.2. Пусть
на
, строго убывает и удовлетворяет соотношениям
0
Доказательство. Непрерывность
функций
что обе функции
и теоремы о мажорируемой сходимости. Заметим,
,, II
строго убывают на
, II
для всех t, то отсюда вытекает, что
для всех
также строго убывает по y.
∞→→
yy
следует из непрерывности
Из соотношений
yIytI
1
0
2
→→
yy
0
,)(lim),(lim
−−
1
c
=+
]}))((][)())((])[([{0
dsshyUshThyUTHEv
.
. Тогда непрерывна
(3.45)
.0)(lim)(,)(lim)0(
yy
. Поскольку у
0)(lim),(lim
yIytI
21
∞→∞→
yy
и монотонности функций
в силу теоремы о мажорируемой схо-
, II
димости мы получаем соотношения (3.37).
1
Замечание. Из леммы 3.2 вытекает существование
на
и равенств
0
vYYvYY
∞→→
vv
.0)(lim)(,)(lim)0(
−
)(=)(
vvY
χ
Ниже нам понадобится также еще ряд свойств функций полезности.
1
Лемма 3.3. Пусть U – функция полезности и
U(I(y))
U(v) + y [I(y) – v], 0 < v, y <
UI
′
)(=
. Тогда
Доказательство. Если U выпукла, то
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
])([)(=])())[(()())(( vyIyvUvyIyIUvUyIU −+−
′
+≥
.<,<0для ∞yv
0>v
∞χ <)( y
0>y
1
2
(
)
0>)()( thvY
1
1
2
2
ba ≥
)()( thvY
(
)
(
)
(
)
'),( Ucu ∈
V
112
2
(
)
()(
(
))
(
)()
(
)()
21
==
v
Теорема 3.4. Задача об оптимальном портфеле. Пусть
1
−
)(=)(
vvY
и
существует самофинансируемый портфель
что
и
для всех
*
∈
),(**cu – решение задачи (3.34). Здесь
. Положим
*
**
cuv
=)(),(),(
BTVvUcu
*,,*
Р-п. в.
χ
thvYtItcThvYIB
))()(,(=)()),()((=
,,tVcuv
. Тогда для
*
**
)(
– капитал порт-т-
такой,
][0,),(
Tttu ∈
феля
*
мы 3.1.
ством
и, следовательно, с учетом неравенства || bba ≤≤
из оценки
),(**cu , имеющего начальный капитал v.
*
Доказательство. Из определения B
T
∫
0
Заметим, что при этом
, величины B* и c* положительны. Существование портфеля
0>,21II
соответствующего паре
vUcu ∈
),(),(
Покажем теперь, что единственный портфель u
**
*
*
T
1
∫
0
+
'),(
Ucu ∈ . Из леммы 3.3 вытекают неравенстваа
и положительности
*
**
.=)()()(
vBThdttcthE
*
−+≥ BThvYUBU
−−
*
≤+
)())(,(
BUdttctUE
2
и c* следует, что
и благодаря тому, чтоо
*
1],)()[()(,1)())(,(
−+≥ tcthvYtUtctU
1),)(()((1))(
**
, вытекает из теоре-
)),((
Btc
*
обладает свой-
−−
, вытекающегоо
c*, получим, чтоо
T
1
∫
0
*
68 69
2
*
=1])[()((1)1])()[()(|,1)(|
−++++≤
BThvYUdttcthvYtUE
(
)
'),( Ucu ∈
1
1
2
2
(
)
()(
(
))
(
)()
(
)()
21
==
v
3. Непрерывные финансовые рынки
2
1
0
∫∫
Наконец, покажем, что портфель с потреблением
оптимален. Для этого выберем произвольную пару
рой соответствует капитал
*
*
cuvV,,
. Из неравенств
*
1],)()[()())(,())(,(
−+≥ tcthvYtctUtctU
−+≥
,,*,,
cuvcuv
TVBThvYTVUBU
нетрудно вывести, что
*
1
0
T
∫
0
*
2
,,
cuv
=)()()()(
+−
TVThdttcthE
T
∫
0
TT
∫∫
0
,,
cuv
поскольку в силу теоремы 4.1
T
∫
0
,,
cuv
0.)()()()()(
≥+−
TVThdttcthEvvY
Пример
Пусть
– логарифмические функции полез-
vvUvtU ln)(),(
TT
0
dtthEThEvvYdttUU
.<)]([)]([)(|,1)(||(1)|
∞++++=
**
'),(
Ucu ∈
, кото-
)]()[()())(()(
**
−++≥+
)()()()(),,()())(,( BThdttcthEvYcuvJBUdttctUE
),,,()()()()()(),,(
≥+−+=
cuvJTVThdttcthEvvYcuvJ
1
yIytI
=)(=),(
ности. Тогда
T
=)(
χ
и
Ey
∫
0
T
1
−
=)(=)(
vvY
χ
*
1
21
)(
th
dt
)(
ty
β
1
+
.
Из теоремы 3.4 следует, чтоо
thvYtItc
,
y
+
=))()(,(=)(
)(
Tyh
1
)(
Th
1
+
T
=
y
,
+TvtH
1)(
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]