Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций. Учебное пособие
.pdf
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
∈
1
−
1
1
−
∑
1
1
1
,)(ωW1g
′
.u
′
1
1
g
′
,)(0,∞
0>v
,)(exp=)( VVu −−
.)(exp=)( VVu −
′
vVu =)(
′
,ln= vV −
vvI ln=)( −
ределить подмножество допустимых случайных величин. Если рынок полный, то это подмножество имеет вид
1
QK
∈
v
−
(2.7)
}.=][:{=
vVBERVU
В этом можно убедиться, заметив, что для произвольного порт-
феля h такого, что
V
Q
1
uE
B
1
.=][
v
При этом для произвольного платежного обязатель-
из риск-нейтральности следует, чтоо
,=0vV
ства
кой, что
подмножество
в силу риск-нейтральности существует портфель h та-
UW
v
и
vV =
0
называется множеством достижимых значений
U
v
В контексте задачи оптимизации портфеля
.=1WV
капитала.
На первом шаге в рамках этого подхода мы должны решить вспо-
могательную задачу максимизации
(2.8)
.всемпо)]([maxнайти
UWWuE ∈
v
Если рынок полный, то эту задачу можно решить с помощью
метода множителей Лагранжа. В силу (2.7) эта задача эквивалентна
следующей задаче:
11−
(2.9)
],[)([максимумнайти
где множитель Лагранжа
Q
λ− WBEWuE
выбран так, чтобы решение (2.9) удовлет-
воряло условию
1
Обозначим
Q
1=−
, тогда целевую функцию в (2.9) можно пе-
QPL
(2.10)
.=][
vWBE
реписать в виде
1
1
−−
λ−λ− WBWuEWBEWuE
=])([=]][)([
1
)].()()())(()[(=
ωωωλ−ωω
BWLWuP
ω
1
20 21
1
1
,)(ωW
1
g
′
.u
′
1
1
g
′
,)(0,∞
0>v
,)(exp=)( VVu −−
.)(exp=)( VVu −
′
vVu =)(
′
,ln= vV −
vvI ln=)( −
2. Дискретная задача оптимизации
Если W – точка максимума этого выражения, то должны быть
выполнены необходимые условия экстремума, в силу которых справедливо равенство
1
′
−
BLWu
(2.11)
.всехдля)()(=))((
Ω∈ωωωλω
Заметим, что это уравнение в точности совпадает с уравнением
(2.6). Действительно, поскольку
1–
, где W – точка экстремума. Для того чтобы вычис-
WuBE′=λ
)]([
то можно показать, чтоо
,=1VW
лить W, нужно решить предыдущее уравнение (2.11) относительно
откуда
1
′
ω
−
BLgW
(2.12)
)),()((=)(
ωωλ
где
– функция, обратная
Таким образом (2.12) задает точку экстремума для (2.8), если
выбрано соответствующим образом. Определим как величину, для
которой справедливо (2.11), если в качестве W выбрано выражение
(2.12), т. е.
1
1
λ
(2.13)
.=])([
vBLBgE
так что
так чтоо
Обратная функция
значений содержит
Пример 2.2. Пусть
При этом
Q −−
′
– это убывающая функция, и область ее
так что, как правило, существует для
тогда и только тогда, когда
. Следовательно, оптимальное решение задачи (2.9) име-
ет вид
W
−
B
λ
L
L
−λ−
,lnln=ln=
B
11
и (2.13) приводит к соотношению
L
ln
L
λ
−
1
1
BEv
B
1
1
−−
EBE
−λ−
1
B
QQQ
1
[][ln=ln[=
].
B
1
.
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
),exp( W−
2
4
3
3
9
9
1
1
1
−
9
10
1
),,( hc
+
11
0≥v
∑
+
∑
+
11
≤
),( hc+),( hc
1
При этом
−−
λ
{exp=
−
BEv
1
Q
−
BE
1
]ln[
B
1
1
][
,}
L
1
Q
так что
Q
BEv
W
+
=
1
Q
BE
1
Подставляя полученное выражение в
+
v
Wu
{exp=)(
]ln[
B
1
1
−
][
−
L
.ln
B
1
получим
L
B
1
1
QQ
−
1
1
Q
−
][
BE
1
L
1
−−
BEBE
1
]ln[][ln
B
1
L
,=}
λ−
B
1
L
1
−
так что оптимальное значение целевой функции в (2.8) имеет вид
L
λ− BE
EWEu
B
1
λ−
−
1
Q
].[==)(
1
Положим в примерах 2.1 и 2.2
что плотность L имеет вид
1
Вычислим при
1
Q
−
LBE
1
=r
1
=])ln([
ln[
3
и
1
ωP
=)(
,
1
2
1
=
10
=)(
9
,
10
среднее:
9
4
ln2
⋅+
10
3
ωL
B
1
2
⋅
3
4
ωω LL
=)(=)(
32
0,04873.=]
−
1
ωω PP
=)(=)(
, такак
32
.
При этом оптимальный достижимый капитал имеет вид
Q
10
v
9
=
10
v
9
1
−++ LBLBErvW
22 23
1
−−
=)(ln)](ln[)(1=
ωω+
,=если0,46209,
1
ωω−
.=если0,23105,
2
1
−
9
10
1
),,( hc
+
11
0≥v
∑
+
∑
+
≤
),( hc
+
),( hc
1
2. Дискретная задача оптимизации
Заметим, что, как и требовалось,
10
{exp= +−λ v
,0,04873}
так что оптимальное значение целевой фун-
Q
1
.=][
vWBE
При этомм
кции имеет вид
Q
BEWEu
=][=)(
1
.
λλ−
9
1
−
2.3. Инвестиции с потреблением
Процесс потребления опишем как пару
трицательное число, а
– неотрицательная случайная величина.
c
),,(=10ccc
где
– нео-
c
0
Инвестиционный план с потреблением зададим как пару
где c – процесс потребления, а h – торговая стратегия. Инвестицион-
ный план с потреблением называется допустимым, если
деньги, имеющиеся в наличии в момент t = 0, и
предполагаем, что
Величина
интерпретируется как сумма, выделяемая инвесто-
c
t
ром на потребление в момент t. Поскольку
лению в момент t = 0 и
.
соответствует потреб-
c
0
(0)=
ShhV
+ – капитал, инвестируемый
00 nn
= Vc . Мы всегда
vVc =
00
в момент t = 0, то капитал v, доступный в момент t = 0, должен быть
–
.00Vc
не меньше
Поскольку (1)=
101 nn
доступных в момент t = 1, то должна иметь место оценка
ShBhV
– сумма денег,,
.11Vc
Естественно, возникает вопрос, как проверить, будет ли заданный план
нечно, можно вычислить
отношения
– это достижимое платежное обязательство и
c
допустимым при заданном начальном фонде v. Ко-
и затем проверить, выполняются ли со-
V
t
и
vVc =
00
1
11
QQ −−
. Заметим, что если
= Vc
11
1
=][=][ VBVEBcE
11
0
допустим, тоо
для любой риск-нейтральной меры Q, и в этом случае
Q −
1
(2.14)
.=][
+
vBccE
110
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
0≥v
),( hc
1
∑
),( hc
1
0≥v
),( hc
≥≥
1
≥
10
10
+
.)(ln=)( ccu
−∞→)(ln c
,0→c
2
4
4
9
9
9
9
9
9
9
9
9
Более трудным оказывается следующий вопрос. Пусть заданы
начальный капитал
и некоторый процесс потребления c, как
узнать, существует ли торговая стратегия h такая, что пара
допустима? Конечно, если
– достижимое платежное обязательство,
c
то существует некоторая торговая стратегия h такая, что
ShBhVc
== . Если, кроме того, выполняется (2.14) для не-
которой меры Q, то
Заметим, что
ральных вероятностных мер тогда и только тогда, когда
Итак, пусть фиксированы начальный капитал
+
1011
nn
,=00vVc +
и в этом случае пара
1
Q
−
+ BccE
][
является константой для всех риск-нейт-
110
допустима.а.
достижимо.
c
и процесс
потребления c. Тогда существует торговая стратегия h такая, что план
инвестиций с потреблением
допустим тогда и только тогда, когда
Q
1
+
−
110
(2.15)
vBcEc
=][
для любой риск-нейтральной вероятностной меры Q.
Пример 2.1 (Продолжение примера на с. 18). Рассматриваемая
1
1
модель полна, и
был частью допустимого плана инвестиций с потреблением,
),(10cc
нужно, чтобы
9
=
Q
1
=
0
cv
0
Q
=
.
,
,
Для того чтобы процесс потребления
3
3
3
и
3
. Кроме того в силу (2.15) мы получим:
0
c
)].()()([
ω+ω+ω− ccccEcv
31211110
Предположим, что инвестор имеет начальный капитал v и хотел
бы выбрать допустимый план инвестиций с потреблением так, чтобы
максимизировать математическое ожидание полезности потребления
в оба момента t = 0 и t = 1. Мы предполагаем, что функция полезнос-
ти выпуклая, дифференцируемая и строго возрастающая. Математическая формулировка этой задачи такова:
максимизировать
24 25
)]([)(
cuEcu
10
.)(ln=)( ccu
−∞→)(ln c
,0→c
2
4
4
9
9
9
9
9
9
9
9
9
2. Дискретная задача оптимизации
при условиях
N
−−
∑
001 nn
1=
n
N
++
∑
000
ShBhc
∈≥≥
nn
n
1=
,0=(1)
(2.16)
110+
N
.0,0,
Rhcc
,
vShBhc
=(0)
Так же, как и задачу об оптимальном портфеле, рассматриваемую сейчас задачу можно решать либо стандартными методами теории оптимизации, либо с помощью риск-нейтрального подхода.
Для того чтобы проиллюстрировать риск-нейтральный подход,
вернемся к примеру 2.1 на с. 18.
Пример 2.1 (продолжение). Предположим, что
Поскольку
при
то можно отказаться от ограниче-
ний, связанных с неотрицательностью в (2.16). При этом задача оптимизации приобретает вид
максимизировать
1
1
)(ln
1
))((ln
cc
ω+ω+ cc
3121
+ω+ ))((ln
110
))((ln
при ограничениях
,
106= hhhvc −−−
2100
(2.17)
80
40
130
90
80
,
hhhc ++ω
21011
,
hhhc ++ω
21021
.
hhhc ++ω
21031
10
=)(
10
=)(
10
=)(
60
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
−
,: RRu →Ω×
Ω∈ω
),( ω→ vuv
Ω∈ω
∑
T
∈
TTT
TT
∈
R
h
В результате приходим к следующей задаче:
максимизировать
10
1
ln
)106(ln hhhhhhvc
9
2
10
1
ln
9
4
80
9
90
+++ hhhhhh
9
1
ln
4
60
10
9
130
+++−−−+
9
9
40
9
+
2102100
80
9
.
210210
+++
Вычисляя частные производные по h0, h1, h2 и приравнивая полученные выражения нулю, получим необходимые условия максимума в виде
1
10
11
⋅⋅+
9
2
16
−
2
130
110
2
60
9
9
ω
1
⋅⋅+
ω
1
⋅⋅+
1
⋅+
9
4
)(
80
1
⋅+
9
4
)(
90
1
⋅+
9
4
)(
ω
1
10
1
⋅+
9
4
)(
ω
1
1
4
)(
ω
1
1
4
)(
ω
ω
cccc
1
40
⋅+
9
ω
cccc
1
80
⋅+
9
cccc
,0
=
)(
3121110
,0
=
)(
3121110
.0
=
)(
ω
3121110
1
10
Воспользовавшись соотношениями (2.17), получим три уравнения с тремя неизвестными h
, h1, h2, решая которые, найдем опти-
0
мальный портфель, а затем и оптимальный процесс потребления из
соотношений (2.17).
2.4. Многошаговая модель
Рассмотрим многошаговое обобщение задачи потребления-инвестирования. Начнем с исследования базовой задачи построения
оптимального портфеля, цель которой заключается в максимизации
математического ожидания капитала самофинансируемого портфеля
в момент Т.
Пусть далее определена функция полезности
представляющая собой полезность капитала v в мом ент Т, когда
26 27
Ω∈ω
∑
T
∈
TTT
TT
∈
R
h
2. Дискретная задача оптимизации
VuPVuE
Ω∈ω
TT
VuE
0
*
*
=
VBV
H – множество предсказуемых процессов со значениями в
p
1
10 d
=
hh
d
hhhh
**
GVV +
0
TT
HhvV
*
GvBuE +
Hh
p
h
0
d
vV =
0
Стохастическая оптимизация портфельных инвестиций
,1=4,=2,= dKT
0,125<0 r≤
ω
S0(ω) S
*
1
(ω) S
*
2
(ω) P(ω)
ω
1
5 8 9 1/4
ω2
5 8 6 1/4
ω3
5 4 6 1/4
ω4
5 4 3 1/4
ωωωωΩ
1
1
1
{ } { }
1
{ { } { }}
ωω∪ωωΩ∅=
2
1
ω∪ω∪ω∪ω
2
1≥t
S0 = 5
S1 = 4
S2 = 3
S2 = 6
S2 = 6
S2 = 9
S1 = 8
t = 0
ω3
ω2
ω1
t = 1
t = 2
ω4
−≡∆
∆
0≥r
+
Пример 2.3. Пусть
стоянна,
и фильтрация порождена рисковым активом.
процентная ставка r по-
Пусть ценовой процесс и вероятностная мера имеют вид
В этом примере пространство состоит из четырех точек:
.
),,,(=
4321
В момент t = 0 вся информация, которую можно наблюдать, со-
стоит в том, что
янии, так что
0
блюдает два состояния:
состояние должно быть либо
состояние должно быть либо
t = 1 возникает разбиение
ветствующая алгебра
и инвестор ничего не знает о реальном состо-
5=0S
Однако в момент t = 1 инвестор уже на-
.},{=
Ω∅F
8=1S
имеет вид
F
или
S
, либо 2, если же
1
, либо 4. Таким образом, в момент
3
Если
.4=
,, ωω∪ωω
4321
S
пространства , и соот-
S
то реальноее
,8=
то реальноее
,4=
F
В момент t = 2 инвестор наблюдает
состояние
ким образом, на этом этапе возникает разбиение пространства
подмножеств
изображен в виде дерева (рисунок).
Заметим при этом, что случайный процесс адаптирован к этой
фильтрации.
Перейдем к описанию эволюции капитала рассматриваемого
портфеля. Напомним, что
.,, ,
43211
и определяет реальноее
S
(при этом отличить 2 от 3 можно, наблюдая
и соответствующая алгебра
4321
состоит из всехех
F
. Возникший при этом поток информации может быть
28 29
S
). Та-
вида
1≥t
S0 = 5
S1 = 4
S2 = 3
S2 = 6
S2 = 6
S2 = 9
S1 = 8
t = 0
ω3
ω2
ω1
t = 1
t = 2
ω4
−≡∆
∆
0≥r
+
2. Дискретная задача оптимизации
∑
d
∑
1=
n
d
n
nn
1=
nn
,0(0),(1)(0)(1)
tShBh
=+
,1),()()()(
ttSthtBth
≥+
V(t) обозначает капиталл
0
)(
tV
=
0
где V(0) – начальный капитал и для всех
портфеля, оцененный до того, как какая-либо трансакция осуществляется в этот момент, и d – число различных рисковых активов. Заме-
тим, что капитал портфеля – адаптированый случайный процесс.
Информационный поток и цены рискового актива для примера 2.3
Обозначим
Тогда величина
.)()()(
tStStS
1
nnn −
)()( tSth
nn
обозначает доход или убыток, полученный за один шаг в результате
обладания рисковым активом
S
n
, а
∑
t
1=
τ
– это доход или
)()(
τ∆τ
Sh
nn
убыток, полученный за t шагов. Наконец, пусть
t
00
1=
td
)()()()(=)(
τ∆τ+τ∆τ
∑∑∑
1=1=
ττ
n
ShBhtG
nn
обозначает полный доход или убыток портфеля за d шагов.
t
,)(1=)(
Положим в рассматриваемом примере d = 1 и
где
– константа. Тогда начальный капитал портфеля
а значения V1 и V2 задаются соотношениями
,(1)5(1)=
hhV
100
rtB +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]