Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Учебно-методическое пособие
для специальностей СПО
Таганрог 2021
22.151.0
26
Стереометрия: учебно-методическое пособие
для специальностей СПО. – Таганрог: Изд-во ЧОУ ВО ТИУиЭ,
2021. – 60 с.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого курса
сроком обучения 2 года 10 месяцев, изучающих дисциплину «Математика», по
специальностям СПО 38.02.01 – Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», 38.02.07 – «Банковское дело», 40.02.01 – «Право и организация социального обеспечения».
Содержит краткую теорию по разделу «Стереометрия», необходимую для
выполнения домашних и индивидуальных заданий, теоретические вопросы,
которые необходимо проработать при подготовке к практическим занятиям,
образцы решения типовых задач, задания для самостоятельной работы, образцы контрольных работ. Материал пособия составлен в соответствии с требованиями ФГОС СПО.
, канд. экон. наук, доцент каф. ЭиФ, декан ФСПО
ЧОУ ВО ТИУиЭ;
, канд. техн. наук, доцент каф. высшей математики
ИКТИБ ИТА ЮФУ.
Рекомендовано к изданию кафедрой экономики и финансов
ЧОУ ВО «Таганрогский институт управления и экономики».
Протокол №6 от 05.02.2021.
, 2021
2021
Раздел «Стереометрия» является частью дисциплины «Математика»
общеобразовательного цикла дисциплин подготовки студентов по
специальностям СПО 40.02.01 – «Право и организация социального
обеспечения», 38.02.01 – «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», 38.02.07 – «Банковское дело».
В соответствии с ФГОС СПО в результате изучения раздела
«Стереометрия» дисциплины «Математика» должны быть освоены ряд
знаний и умений.
Знать основные понятия о плоских и пространственных геометри-
ческих фигурах, их основных свойствах.
Уметь:
− распознавать на чертежах и моделях и в реальном мире пространст-
венные формы;
− соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
− описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в прост-
ранстве;
− анализировать в простейших случаях взаимное расположение
объектов в пространстве;
− изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять
чертежи по условиям задач;
− решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи
на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей,
объемов);
− использовать при решении стереометрических задач планиметри-
ческие факты и методы.
Использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни:
− для исследования (моделирования) несложных практических ситуа-
ций на основе изученных формул и свойств фигур;
− вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных
тел при решении практических задач, используя при необходимости
справочники и вычислительные устройства.
Применять изученные свойства геометрических фигур и формул
для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием.
Обладать навыками:
− иллюстрировать чертежом условие стереометрической задачи,
понимать стереометрические чертежи;
− решать задачи на вычисление геометрических величин;
3
− проводить обоснования утверждений со ссылками на определения и
теоремы;
− строить простейшие сечения многогранников и изображать сечения
тел вращения.
Пособие содержит очень краткий теоретический материал, без
которого невозможно решение стереометрических задач. Все теоремы
приведены без доказательств, лишь как теоретическая справка. Вместе
с тем учебно-методическое пособие является сборником дидактических
материалов по стереометрии. Приведены образцы решения задач по
основным темам, даны контрольные вопросы, которые следует
проработать при подготовке к практическим занятиям. В сборнике
имеются образцы контрольных работ и индивидуальных заданий,
которые предполагают самостоятельное выполнение.
Учебно-методическое пособие состоит из шести частей:
Предмет стереометрии;
Прямая и плоскость в пространстве;
Многогранники;
Векторы в пространстве;
Метод координат в пространстве;
Тела вращения – цилиндр, конус и шар.
, или , – это раздел геомет-
рии, изучающий положение тел в пространстве, их взаимное расположение. Рассматриваются свойства различных пространственных фигур,
их форма и размер.
Стереометрия – греческое слово. Оно произошло от слов «стерео» –
тело и «метрио» – измерять, т.е. буквально стереометрия означает
«теломерие» [1]. Стереометрия как наука формировалась на основе
практических задач, которые возникали в ходе повседневной жизни
человека. Основы этого раздела геометрии закладывались в одной из
самых первых и самых известных школ древности – пифагорейской
школе (VI–V вв. до н. э.), основателем которой был Пифагор. Для своих
философских теорий пифагорейцы использовали правильные
многогранники, формы которых придавали элементам первооснов
бытия, а именно: огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр (куб); воздух –
октаэдр; вода – икосаэдр; вся Вселенная, по мнению древних, имела
форму додекаэдра [1]. Впоследствии ученый Евклид из Александрийской философской школы написал тринадцать книг, которые известны
как «Начала». В них он впервые представил аксиоматическое представление геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд
4
остается основой изучения систематического курса геометрии. На
протяжении многих столетий стереометрия развивалась и расширялась,
появлялись новые положения, теоремы и их доказательства. Наука не
стоит на месте, вместе с расширением потребностей человечества в
последние столетия в геометрии появились новые методы. Широкое
применение получили координатный и векторный методы, позволившие переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот.
Геометрические исследования привели к возникновению таких значительных открытий, как геометрия Лобачевского, проективная геометрия. В настоящее время развитие получили компьютерная геометрия и
топология.
Трудно представить себе науку, которая не опиралась бы на геометрические методы. Физика и химия, астрономия и биология, кристаллография и география используют в своих научных исследованиях
геометрические примы и методы. Умение сделать правильный и
удобный чертж позволяет строить сложную технику, дома и
различные архитектурные объекты, рассчитывать и описывать траекторию движения небесных тел. Не обходится без геометрических методов
исследование структуры молекул и атомов.
Основными фигурами, которыми оперирует стереометрия, являются, как и в планиметрии, точки, прямые и плоскости. Рассматриваются
также геометрические тела и их поверхности. В окружающем нас мире
можно наблюдать многие предметы, которые являются многогранниками, – геометрические тела, поверхности которых составлены из
многоугольников. Здания чаще всего имеют форму параллелепипедов,
такую же форму имеют различные коробки для телевизоров, холодильников, обуви. Простейшим многогранником является куб, с ним
знакомятся в самом раннем детстве: каждый ребнок играет в кубики с
яркими картинками. Детский мячик представляет себой геометрическое
тело, которое дат представление о сфере или шаре. Каждое геометрическое тело имеет границу, которая отделяет его от окружающего
пространства и называется поверхностью данного тела.
Надо понимать, что чертжи пространственных фигур на плоском
листе бумаги имеют свои особенности и правила. Начертить пространственное тело гораздо сложнее, чем фигуру на плоскости. Для
решения стереометрической задачи необходимо иметь пространственное мышление, четко понимать, как расположены по отношению друг к
другу различные плоскости и прямые. Часто неправильно построенный
чертж дат ложное представление о пространственном теле и
приводит к ошибочному решению задачи.
5
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Одним из ключевых понятий стереометрии является плоскость.
Дать четкое определение этого понятия довольно трудно. Любая
ровная поверхность, которую мы можем наблюдать, будь то стена или
потолок в комнате, поверхность письменного стола или даже просто
листок бумаги, дают представление о плоскости, но они ограничены и
имеют размеры. Плоскость же простирается во все стороны неограниченно и является бесконечной, не имеющей размера. На рисунках
принято изображать плоскость в виде параллелограмма, иногда в виде
произвольной замкнутой области.
Взаимное расположение точек пространства, прямых и плоскостей
описывается системой аксиом. Часть аксиом, которые касаются точек и
прямых, лежащих в одной плоскости, изучалась в курсе планиметрии.
Все аксиомы планиметрии остаются актуальными и в стереометрии,
если речь идт об одной плоскости. Рассмотрим аксиомы, которые
описывают взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в
пространстве.
Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной
прямой, проходит единственная плоскость (рис. 1).
Рис.1. Иллюстрация к аксиоме А1
Именно три точки однозначно определяют плоскость. Так, через две
точки можно провести бесчисленное множество плоскостей. А через
четыре точки пространства может не проходить ни одной плоскости.
Важна здесь фраза «точки пространства, не принадлежащие одной
прямой», так как если все три точки будут лежать на одной прямой, то
через такую прямую можно провести опять-таки бесчисленное
множество плоскостей.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит
в этой плоскости (рис. 2).
Рис.2. Иллюстрация к аксиоме А2
6
. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой (рис. 3)
Рис.3 Иллюстрация к аксиоме А3
1. Через прямую и не принадлежащую ей точку прохо-
дит единственная плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит единст-
венная плоскость.
3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость
доказательства следствий из аксиом приведены в
учебнике «Геометрия 10–11» Л.С. Атанасяна [1].
1. Сколько плоскостей проходит через три точки пространства?
2. Точка A принадлежит прямой a, прямая L лежит в плоскости
Принадлежит ли точка A плоскости
3. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллело-
грамма лежат в плоскости. Лежат ли две другие вершины парал-
лелограмма в плоскости?
4. Две вершины треугольника лежат в одной плоскости. Значит ли это,
что и третья вершина треугольника лежит в этой плоскости?
5. Верно ли, что если точка не лежит на прямой, то все прямые,
проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую,
лежат в одной плоскости?
6. Даны две не совпадающие плоскости. Могут ли эти плоскости
иметь только одну общую точку? Ровно две общие точки? Бесчис-
ленное множество общих точек?
7. Если прямая пересекает две стороны треугольника, лежит ли вся
прямая в плоскости, в которой лежит этот треугольник?
8. Верно ли утверждение, что если две точки окружности принадлежат
плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
9. Пусть одна плоскость проходит через точки M, N, P. Другая
плоскость проходит через точки К, M, P. Точки K, N, M, P не лежат
в одной плоскости. Пересекаются ли эти две плоскости? Если да, то
какова линия их пересечения?
7
10. Сколько плоскостей можно построить через три прямые, проходя-
щие через одну точку, если через каждые две прямые провести
плоскость?
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Определение параллельных прямых в пространстве несколько
отличается от определения параллельных прямых на плоскости, так как
одного условия, что прямые не пересекаются, становится недостаточно.
Прямые в пространстве могут не пересекаться, однако и не быть
параллельными.
Две прямые в пространстве называются параллель-
ными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются [1].
Запись означает, что прямая параллельна прямой .
Условие, что прямые лежат в одной плоскости, нужно понимать так,
что через эти прямые можно провести общую плоскость, которой они
обе будут принадлежать, то есть изначально параллельные прямые
могут лежать и в разных плоскостях.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
доказательство теоремы приведено в учебнике
«Геометрия 10–11» Л.С. Атанасяна [1].
Рассмотрим вопрос о том, как могут располагаться относительно
друг друга прямые и плоскости в пространстве. Очевидно, возможны
три случая взаимного расположения прямой и плоскости.
Во-первых, прямая может принадлежать плоскости, т.е. все точки
прямой будут принадлежать плоскости. Другой случай – прямая и
плоскость могут иметь только одну общую точку, то есть прямая
пересекает плоскость, при этом они могут оказаться взаимно перпендикулярными или проходить под углом друг к другу. Наконец, третий
случай: прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют ни
одной общей точки.
Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек [1].
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Из планиметрии известно, что если две различные прямые лежат в
одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако
в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда
8
не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и
не пересекаются, и не параллельны).
. Две прямые называются , если
не существует плоскости, в которой они обе лежат.
1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух
прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту
плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.
Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми.
Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную
точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными
пересекающимися прямыми a1 и b1.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
. Две плоскости , если они не
пересекаются, т.е. не имеют общих точек.
То, что плоскости α и β параллельны, записывается следующим
образом: .
Сформулируем основные теоремы о параллельности прямых и
плоскостей в пространстве, на осове которых решаются многие
пространственные задачи.
1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересе-
кающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум
прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей,
то прямые их пересечения параллельны между собой.
3. Отрезки параллельных прямых, расположенные между
параллельными плоскостями, равны.
5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит
единственная плоскость, параллельная данной.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
. Прямая называется перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
9
1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпенди-
кулярная к данной прямой.
2. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
3. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к
прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
. Через любую точку пространства, не принадлежащую
плоскости, проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
1. Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны между
собой.
2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к
плоскости, то и другая перпендикулярна к этой плоскости.
3. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных плос-
костей, перпендикулярна и другой плоскости.
4. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой,
параллельны.
Ранее мы уже отмечали, что если прямая и плоскость имеют одну
общую точку, то между ними образуется угол. Что же нужно понимать
под этим углом и как он определяется?
Пусть прямая L пересекает плоскость P, но они не перпендикулярны. Углом между прямой L и плоскостью P называется угол
между прямой и е прямоугольной проекцией на эту плоскость.
Обозначается , где .
Угол между плоскостью и перпендикулярной к ней прямой равен
Угол между плоскостью и параллельной ей прямой равен .
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
При решении многих задач широко используется хорошо известная
теорема о трх перпендикулярах. Прежде чем сформулировать е,
необходимо ввести ряд понятий. Рассмотрим некоторую плоскость α
(рис. 4). Пусть дана некоторая точка А, которая не принадлежит данной
плоскости. Если провести прямую через точку А, так чтобы она была
перпендикулярна плоскости α, точку пересечения этой прямой с
плоскостью обозначить точкой О, то отрезок АО будет являться
перпендикуляром, проведнным из точки А к плоскости α, точка О при
этом будет основанием этого перпендикуляра. Если соединить
отрезком точку А с любой точкой М, принадлежащей плоскости α,
отличной от точки О, то отрезок АМ назовм наклонной, проведнной
из точки А к плоскости α, точку М – основанием наклонной. Отрезок
ОМ будем называть проекцией наклонной на плоскость.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]