Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Треугольник POA вращается вокруг стороны PO. PO – ось конуса и
его высота. P – вершина конуса. PA – образующая конуса. Круг с
центром O – основание конуса. AO – радиус основания конуса.
Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, которая
проходит через ось PO конуса.
Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник.
APB – осевое сечение конуса.
PAO=PBO – углы между образующими и основанием конуса.
Основные формулы
Объм конуса:
Площадь боковой поверхности конуса:
Площадь полной поверхности конуса:
радиус основания, Н – высота конуса, L – образующая.
.
.
где R –
Усеченный конус
Построим секущую плоскость конуса перпендикулярно его оси, в
результате под секущей плоскостью образуется тело, называемое
усеченным конусом (рис. 37).
Рис. 37. Усеченный конус
Усеченный конус имеет два основания – круги, имеющие радиусы R
и r. Отрезок, соединяющий центры двух оснований, называется
высотой усеченного конуса H.
Усеченный конус является телом вращения и может быть получен
вращением прямоугольной трапеции вокруг е боковой стороны, перпендикулярной к основанию.
L – образующая усеченного конуса, отрезок образующих конической поверхности, заключенный между двумя основаниями.
Основные формулы
Объм усеченного конуса:
.
51
Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
.
Площадь полной поверхности усеченного конуса:
,
где R – радиус большего основания, r – радиус меньшего основания,
Н – высота конуса, L – образующая.
1. Почему конус называется телом вращения?
2. Что такое коническая поверхность?
3. Что является образующей конуса?
4. Как определяется высота конуса?
5. Что называется углом раствора конуса?
6. Верно ли, что тело, полученное при вращении правильного
треугольника вокруг одной из его сторон, является прямым
конусом?
7. Какую форму будет иметь сечение конуса, если его провести
перпендикулярно высоте конуса?
8. Какая фигура образуется при осевом сечение конуса?
1
Объем конуса равен 192 см3. Через середину высоты параллельно
основанию конуса проведено сечение, которое является основанием
меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Пусть высота большего конуса – H, а высота меньшего – h.
Так как сечение проходит через середину высоты конуса, то
,
где k – коэффициент подобия.
Отношение объмов:
см3.
.
: 24 см3.
2
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного
треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π.
По условию задачи треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, значит, его катеты равны. Конус получен вращением вокруг
52
одного катета, значит, высота конуса и радиус основания будут одинаковы и равны длине катета.
Вычислим объм :
.
: 72.
1. Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основа-
нию конуса проведено сечение, которое является основанием мень-
шего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
2. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена
к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите
.
3. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота
уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?
4. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания
увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?
5. Высота конуса равна 6, образующая – 10. Найдите его объем,
деленный на π.
6. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого
сечения – 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
7. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного
треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем,
деленный на π.
8. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
9. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса,
если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая
останется прежней?
10. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его
полной поверхности, деленную на π.
11. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади
основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью
основания. Ответ дайте в градусах.
12. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основа-
нию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1,
считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности
отсечнного конуса.
13. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2
высоты. Объм жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров
жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
53
СФЕРА. ШАР
называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Данное расстояние является радиусом сферы R, а данная точка O –
центром сферы (рис. 38).
называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.
Поверхность шара является сферой. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом. Для упрощения
обычно рисуется не шар, а большой круг шара.
Рис. 38. Сфера. Шар
Основные формулы
Объм шара:
Площадь поверхности сферы:
.
, где R – радиус шара или
сферы.
1. Что такое сфера?
2. Что называется радиусом сферы?
3. Дайте определение шара.
4. Что такое большой круг шара?
5. Как называется отрезок, который получается при пересечении двух
больших кругов шара?
6. Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
1
Даны два шара. Радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади
поверхности второго?
54
Радиусы шаров относятся как
Тогда площади поверхностей шаров относятся как:
: В 9 раз.
.
.
2
Площадь поверхности одного шара равна 14. Найти площадь
поверхности другого шара, объм которого в 27 раз больше объма
данного шара.
Отношение объмов большего и меньшего шаров:
.
Коэффициент подобия k=3. Тогда отношение площадей поверхностей двух шаров:
.
: 126 ед2.
1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверх-
ности шара.
2. Даны два шара. Радиус первого шара в 5 раза больше радиуса второ-
го. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?
3. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в
три раза?
4. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем
которого равен сумме их объемов.
5. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
6. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь
поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух
данных шаров.
7. Объем шара равен 288 π. Найдите площадь его поверхности, делен-
ную на π.
8. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.
9. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра
равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
10. Объм куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус
сферы.
55
1. Даны параллелепипед со сторонами 3, 5, 7 и куб с ребром 5. На
самую большую по площади грань параллелепипеда поместили куб.
Найдите объм и площадь поверхности получившейся фигуры.
2. Объм прямоугольного параллелепипеда равен 60 м3. Одно из его
рбер равно 3м. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпен-
дикулярной этому ребру.
3. Площадь поверхности куба равна 96 см2. Найдите его объм.
4. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна
6 см. Боковое ребро – 5 см. Найдите объм пирамиды.
5. В куб с ребром 12 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный
на π.
6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем
призмы.
7. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с
основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы
при боковых ребрах призмы.
8. В правильной пятиугольной призме сторона основания равна 0,4 м,
высота – 10 см. Вычислить площадь боковой и полной поверхности
призмы.
9. В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 5 м и
4 м, меньшая диагональ которого равна 3 м. Высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна
2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
10. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны 6 дм и 3 дм, а е высота – 2 дм. Найдите площадь
поверхности и объм пирамиды.
1. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в
три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у пер-
вого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических
метрах.
2. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем,
деленный на .
3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2, а диаметр
основания – 1. Найдите высоту цилиндра.
4. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при
этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили
деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему
равен объем детали? Ответ выразите в см3.
56
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна
69. Найдите площадь поверхности шара.
6. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5
высоты. Объм жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидко-
сти нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
7. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный
на .
8. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?
9. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со сто-
роной основания 6 и высотой 10. Найдите его объем, деленный на .
10. В куб с ребром 12 вписан шар. Найдите площадь поверхности этого
шара, деленный на π.
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 10–11 класса общеоб-
разовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Ка-
домцев и др. – 22-е изд. – Москва, 2013. – 255 с. – Текст : непос-
редственный.
2. Решу ЕГЭ: образовательный портал для подготовки к экзаменам. –
Текст : электронный. –URL : https://ege.sdamgia.ru/
3. Башмаков М.И. Математика: учебник для студентов учреждений
среднего профильного образования / М.И. Башмаков. – Москва,
2014. – Текст : непосредственный.
4. Башмаков М.И. Математика: сборник задач профильной направлен-
ности: учебное пособие для студентов учреждений среднего
профессионального образования / М.И. Башмаков. – Москва, 2014.
– Текст : непосредственный.
5. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для
студентов учреждений среднего профессионального образования /
М.И. Башмаков. – Москва, 2014. – Текст : непосредственный.
6. Башмаков М.И. Математика. Электронный учебно-методический
комплекс для студентов учреждений среднего профессионального
образования / М.И. Башмаков. – Москва, 2015. – Текст :
электронный.
7. Гусев В.А. и др. Математика для профессий и специальностей
социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений
сред. проф. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Ивол-
гина. – Москва, 2014. – Текст : непосредственный.
57
8. Лященко Т.В. Линейная алгебра: учебное пособие / Т.В. Лященко. –
Таганрог: Изд-во ТИУиЭ, 2016. – Текст : непосредственный.
9. Электронный ресурс
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4023/conspect/149351/
58
.................................................................................. 3
........................................................... 4
Аксиомы стереометрии.................................................................. 6
........................... 8
Параллельность прямых и плоскостей. ........................................ 8
Взаимное расположение прямых в пространстве. ...................... 8
Параллельность плоскостей .......................................................... 9
Перпендикулярность прямых и плоскостей ................................ 9
Теорема о трех перпендикулярах ............................................... 10
......................................................................... 12
Понятие многогранника............................................................... 12
Построение сечений многогранников. ....................................... 13
Моделирование многогранников. ............................................... 17
Призма. .......................................................................................... 18
Куб. ................................................................................................ 23
Параллелепипед ............................................................................ 26
Пирамида ...................................................................................... 30
Правильные многогранники. ....................................................... 34
...................................................................... 35
Координаты в пространстве. ....................................................... 36
..................................................... 37
Линейные операции над векторами ............................................ 39
Действия над векторами в координатной форме. ...................... 41
Скалярное произведение векторов ............................................. 42
........................................................................... 47
Цилиндр ........................................................................................ 47
Конус ............................................................................................. 50
Сфера. Шар. .................................................................................. 54
Образец контрольной работы по теме «Многогранники» ........ 56
Образец контрольной работы по теме «Тела вращения» ......... 56
.................................................................................... 57
59
Маринова Ирина Викторовна
Учебно-методическое пособие
для специальностей СПО
Редактор Г.П. Пазюкова
Компьютерная верстка М.Н. Селиверстов
1/16 01.04.2021.
3,610
_________________________________________________________
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]