Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Рис. 4. Иллюстрация к теореме о трх перпендикулярах
1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в пло-
скости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость,
перпендикулярна и самой наклонной.
C учетом введнных обозначений, согласно рис. 4, можно записать
утверждение в виде:
Верно и обратное утверждение:
2 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плос-
кости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции
на эту плоскость.
.
1. Можно ли утверждать, что если две прямые не имеют общих точек,
то они параллельны?
2. Что понимается под расстоянием между параллельными плоскос-
тями?
3. Как определяется понятие угла между скрещивающимися прямыми?
4. Что называется углом между прямой и плоскостью?
5. Можно ли две пересекающиеся плоскости пересечь третьей
плоскостью так, чтобы линии пересечения были параллельны?
6. Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости, можно
провести через любую точку, не принадлежащую этой плоскости?
7. Сколько прямых, перпендикулярных плоскости, можно провести
через любую точку плоскости?
8. Сколько плоскостей можно провести через данную точку, перпен-
дикулярных данной прямой?
11
9. Чему равен угол между параллельными плоскостями?
10. Привести примеры моделей параллельных плоскостей в окружаю-
щей обстановке.
11. Если две стороны треугольника параллельны плоскости, которой
они не принадлежат, как расположена третья сторона треугольника
по отношению к этой плоскости?
12. Некоторая прямая пересекает плоскость Р1 в точке К. Можно ли
построить плоскость, проходящую через данную прямую, парал-
лельную данной плоскости?
1. Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС, точки P, K,
N – середины отрезков DP, DK, DN соответственно. Докажите, что
плоскости PKN и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника
АВС, если площадь треугольника PKN равна 24 см2.
2. Даны две параллельные плоскости. Через точку, не принадлежащую
данным плоскостям, проведены три прямые, которые пересекли
первую из них в точках N, M, P, а вторую – в точках K, D, S.
Докажите, что треугольники MNP и KDS подобны.
3. Точка А принадлежит плоскости P1. Плоскость P2 параллельна
плоскости P1. Доказать, что любая прямая, проходящая через точку
А, параллельная плоскости P2, лежит в плоскости P1.
4. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости,
пересекаются в общей точке, которая является серединой каждого
из отрезков. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА
называется ограниченное тело, поверхность
которого состоит из конечного числа многоугольников.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются
его гранями. Стороны граней называются ребрами. Концы ребер
называются вершинами многогранника.
Примером многогранника является тетраэдр (рис. 5), его грани –
четыре треугольника, стороны треугольников являются рбрами, а
вершины треугольников являются вершинами данного многогранника.
12
Рис. 5. Тетраэдр
Можно несколько иначе дать определение многогранника.
Многогранник – это тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Эти плоскости, пересекаясь, образуют грани многогранника –
многоугольники. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника,
не лежащие в одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник выпуклый, если все его диагонали расположены внутри
него.
Многогранник называется , если он расположен по одну
сторону от плоскости каждой его грани (рис. 6а).
Если данное утверждение не выполняется, многогранник будет
являться (рис. 6б).
Рис. 6а. Выпуклый многогранник Рис. 6б. Невыпуклый многогранник
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
При решении пространственных задач часто возникает необходимость строить сечения многогранников некоторой плоскостью. Введм
несколько понятий, которые будем использовать в построении таких
сечений.
многогранника называется такая плоскость,
по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.
13
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам,
которые являются «следами» секущей плоскости. Сечение многогранника плоскостью есть плоская фигура, многоугольник, лежащий в
секущей плоскости, полученный при пересечении данного многогранника и секущей плоскости, сторонами которого являются указанные
отрезки.
Рассмотрим, какие именно многоугольники могут получиться в
сечении различных многогранников.
Если многогранник является тетраэдром, который имеет четыре
грани, то его сечениями могут быть различные треугольники и
четырхугольники (рис. 7).
Рис. 7. Сечения тетраэдра
Параллелепипед имеет шесть граней, следовательно, при построении его сечений могут получиться треугольники, четырхугольники,
пятиугольники и шестиугольники (рис. 8).
Построение сечений параллелепипеда облегчается ввиду наличия
попарно параллельных плоскостей. Так, на противоположных гранях
будут отсекаться параллельные отрезки, что существенно упрощает
построение сечения в параллелепипеде и кубе.
Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба)
необходимо построить точки пересечения секущей плоскости с
ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить
каждые две из них, лежащие в одной грани.
Существует несколько способов построения сечений. Наиболее
эффективными являются следующие три способа:
1) метод следов;
2) метод вспомогательных сечений;
3) комбинированный метод.
14
Рис. 8. Примеры сечений тетраэдра и параллелепипеда
Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки в
зависимости от условия решаемой задачи. Рассмотрим коротко метод
следов.
При построении сечения следует учитывать некоторые правила:
1) если секущая плоскость проходит через две точки, лежащие в
плоскости грани многогранника, то е след на данной грани есть
прямая, проходящая через эти точки;
2) следы секущей плоскости на параллельных гранях многогранника
есть параллельные прямые.
Применение метода следов рассмотрим на примерах.
1. Дан куб, на рбрах которого заданы точки А,В,С.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей через эти три точки
(рис. 9).
Рис. 9. Построение сечения куба
Точки А и В принадлежат одной плоскости – плоскости, в
которой лежит боковая грань куба. Следом секущей плоскости на
15
боковой грани куба будет отрезок АВ. Соединяем точки А и В
пунктирной линией, так как она является «невидимой». Точки А и С
тоже принадлежат одной плоскости, в которой лежит передняя грань
куба. Следом секущей плоскости на передней грани будет отрезок АС.
Линия будет «видимая», поэтому точки А и С соединяем сплошной
линией. Так как в параллельных плоскостях следы секущей плоскости
должны быть параллельными линиями, то через точку С проведм
прямую, параллельную отрезку АВ, и продлим е до пересечения с
ребром куба, которое является линией пересечения верхней и боковой
левой граней. Получим точку М, которая лежит в одной плоскости с
точкой В, на верхней грани куба. След секущей плоскости в этом
случае проходит через точки М и В, отрезок МВ соединим сплошной
линией, так как верхняя грань куба является видимой. Получили
четырхугольник АВМС, который является искомым сечением куба
плоскостью АВС.
2. Дан тетраэдр, на рбрах которого заданы точки А,В,С.
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные
три точки (рис. 10).
Рис. 10. Построение сечения тетраэдра
Точки А и С принадлежат одной грани тетраэдра, то есть
лежат в одной плоскости, следовательно, отрезок АС соединяем
сплошной линией, получаем след секущей плоскости на боковой грани.
Точки А и В лежат в плоскости основания тетраэдра, их можно
соединить пунктирной линией, так как эта грань «невидимая». Точки С
и В соединять нельзя, так как они принадлежат разным плоскостям. Но
можно продолжить прямую АВ до пересечения е с ребром NM,
которое лежит в одной плоскости с прямой АВ. Пересечением двух
прямых АВ и NM будет точка К, которая принадлежит плоскости, в
которой лежит точка С. Следом секущей плоскости на задней грани
тетраэдра будет отрезок СP. Точка P получена на пересечении
16
бокового ребра и прямой СК. Точки В и Р, в свою очередь, оказались в
одной плоскости. Отрезок ВР будет являться следом секущей плоскости на боковой грани. Линия ВР будет сплошной, так как грань, в которой она расположена, видимая. В результате построения получили
четырхугольник АВРС – сечение данного тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки АВС.
1. Изобразите тетраэдр АВСD и отметьте точку К на середине ребра
ВD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точку К параллельно плоскости АDC.
2. Изобразите тетраэдр АВСD. На ребре АD отметьте точку N так,
чтобы она делила сторону на два отрезка в отношении 1:2 считая от
вершины А. На ребре АС посередине отметьте точку М, на стороне
ВС – точку Р, так чтобы она делила сторону в отношении 1:4 считая
от вершины В. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходя-
щей через точки N, M, P.
3. Точка K – середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Постройте
сечение куба плоскостью, проходящей через точки КB1C1.
4. Точка E – середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите
площадь сечения куба плоскостью A1BE, если ребра куба равны 2.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D известны рбра:
AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в
отношении 2:3 считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.
МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и
развернуть ее на плоскости так, чтобы все многоугольники, входящие в
эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура на
плоскости называется разверткой многогранника. Например, на рисунках изображены развертки куба (рис. 11а), треугольной пирамиды
(рис. 11б), правильного октаэдра (рис. 12).
Рис. 11. Пример развртки куба и треугольной пирамиды
17
Рис. 12. Пример развртки правильного октаэдра
1. Смоделируйте развртку куба с ребром, равным 3 см. На плотном
листе бумаги начертите полученную развртку, сделав припуски
для склеивания. Вырежьте развртку и изготовьте куб.
2. Смоделируйте развртку правильного октаэдра со стороной, равной
4 см. Перенесите е на плотный картон, вырежьте выкройку, сделав
необходимые припуски, и склейте октаэдр.
3. Смоделируйте развртку параллелепипеда со сторонами 5 см, 3 см и
7 см. Изготовьте из плотного картона развртку, склейте паралле-
лепипед с заданной величиной сторон.
4. Считая, что основание параллелепипеда из задания 3 имеет размеры
5 см на 3 см, поставьте его на соответствующее основание. Сверху,
на верхней грани, приклейте куб из задания 1, так чтобы две верши-
ны одного ребра нижнего основания куба совпадали с двумя верши-
нами одного ребра верхней грани параллелепипеда. Найдите объм
и площадь поверхности полученного составного многогранника.
5. Изготовьте из плотного картона развртку правильного додекаэдра,
вырежьте, оставив необходимые припуски для склеивания. Изго-
товьте додекаэдр. Вычислите площадь поверхности полученного
многогранника.
ПРИЗМА
– многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных
плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками [1]. Согласно данному определению, параллелепипед является частным случаем призмы (рис. 13).
У призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они
называются основаниями. На рис. 13 основаниями являются четырехугольники АВСD и А1В1С1D1. Остальные грани называются боковыми:
AB А1В1, ВС В1С1, СD С1D1, AD А1D1.
18
Рис. 13. Четырхугольная призма
Призма имеет рбра основания AB, BC, CD, AB, А1В1, В1С1, С1D1,
А1D1 и боковые рбра AА1 , BВ1, СС1, DD1.
Боковое ребро – отрезок, соединяющий соответствующие друг
другу вершины разных оснований (AA1, BB1, CC1 и DD1) и являющийся
общей стороной двух боковых граней.
В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании
призмы, определяется е тип. Так, если в основании призмы лежит
треугольник, то призма называется треугольной, если четырхугольник, то четырхугольной и т.д. (рис. 14). Мы будем рассматривать в
рамках курса треугольные, четырхугольные и шестиугольные призмы.
Рис. 14. Примеры призм
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин
призмы на плоскость противоположного основания.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
1. Призма имеет два равных основания, которые
являются многоугольниками.
2. Боковые грани любой призмы являются параллело-
граммами.
19
3. Все боковые рбра призмы равны и параллельны.
4. Перпендикулярное сечение призмы расположено под
прямым углом ко всем боковым граням и ребрам фигуры.
5. Высота (h) любой наклонной призмы всегда меньше
длины ее бокового ребра, а высота прямой фигуры равна ее ребру.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы –
равные прямоугольники.
В основании правильной треугольной призмы лежит правильный
треугольник, ее боковые грани – прямоугольники (рис. 15).
Рис. 15. Правильная треугольная призма
Правильная четырхугольная призма – это ещ и разновидность
прямоугольного параллелепипеда: в ее основании квадрат, боковые
грани – прямоугольники (рис. 16).
Рис. 16. Правильная четырехугольная призма
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]