Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Правильная шестиугольная призма – это призма, в основании
которой лежит правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники (рис. 17).
Рис. 17. Правильная шестиугольная призма
В задачах по теме «Призма» чаще всего приходится вычислять
длину рбер, находить высоту и диагонали. Следует также уметь
вычислять площадь поверхности и объм призмы.
Выпишем соответствующие формулы.
Объм прямой призмы находится по формуле
где – высота призмы,
,
– площадь основания, вычисляемая по
формуле площади того многоугольника, который лежит в основании.
Если, например, призма треугольная, то для вычисления площади
основания необходимо воспользоваться подходящей формулой площади треугольника.
Для наклонной призмы справедлива формула
где – боковое ребро,
,
– площадь сечения наклонной
призмы, перпендикулярного боковому ребру.
Площадь поверхности призмы:
– площадь боковой поверхности призмы.
.
Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов, если
призма наклонная, или прямоугольников в случае прямой призмы.
Поэтому е вычисление сводится к вычислению суммы площадей
параллелограммов или прямоугольников.
1. Что такое призма?
2. Что такое ребро призмы?
21
3. Что является основанием призмы?
4. Какая призма является прямой?
5. Сколько вершин и рбер имеют пятиугольная и шестиугольная
призмы?
6. Какая призма называется правильной?
7. Сколько диагоналей у четырхугольной призмы?
8. Какими свойствами обладают боковые рбра призмы?
9. Как определяется высота призмы?
10. Как будет вычисляться площадь боковой поверхности прямой
шестиугольной призмы со стороной основания a и высотой h?
1. Найдите площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3см, а
высота – 7см.
Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы
состоит из шести прямоугольников. Площадь любого прямоугольника
вычисляется по формуле
.
В нашем случае все прямоугольники равные, имеют ширину и
высоту
Площадь одной грани: .
Площадь боковой поверхности:
.
: .
2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямо-
угольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Площадь ее поверхности
равна 132 см2. Найдите высоту призмы.
. Найдем площадь основания призмы. Основанием
является прямоугольный треугольник , площадь которого:
Воспользуемся формулой для полной поверхности призмы:
=
cм2.
Выразим из полученного уравнения искомую высоту:
: 10 см2.
22
Рис. 18. Куб
1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной
призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.
2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем
призмы.
3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288.
Найдите высоту призмы.
4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее
боковое ребро.
5. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если
сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
6. В основании прямой четырехугольной призмы лежит равнобедрен-
ная трапеция с основаниями 14 см и 8 см, высота трапеции равна
4 см. Высота призмы – 5 см. Найдите площадь полной поверхности
и объм призмы.
7. Основанием прямой призмы является прямоугольник со сторонами
6 и 8. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в
45°. Найдите боковое ребро призмы.
8. Правильная призма имеет 20 граней. Сторона основания – 2 см, а
высота призмы – 5 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.
9. В основании прямой призмы – равнобедренная трапеция, диагонали
которой взаимно перпендикулярны. Высота призмы равна 10, а е
объм равен 360. Найдите высоту трапеции.
КУБ
– правильный многогранник, каждая
грань которого представляет собой квадрат.
Все ребра куба равны.
Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы.
Вершины куба – это точки, являющиеся
вершинами его граней.
У куба 8 вершин: A, B, C, D, A1, B1, C1 и
D1 (рис. 18).
Ребра куба – это стороны его граней.
Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA1, BB1, CC1,
DD1, A1B1, B1C1, C1D1 и A1D1.
23
Грани куба – это квадраты, из которых состоит фигура. Всего их 6:
ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D и AA1D1D.
1. Как следует из определения, все ребра и грани куба
равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны,
т.е.:
ABCD || A1B1C1D1;
AA1B1B || CC1D1D;
BB1C1C || AA1D1D.
2. Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересе-
чения делятся пополам.
3. Все двугранные углы куба (углы между двумя граня-
ми) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Основные формулы
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться
далее: a – ребро куба; d – диагональ куба или его грани.
Диагональ куба
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на
квадратный корень из трех:
.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный
корень из двух:
.
Площадь полной поверхности куба
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его
грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали:
.
Периметр рбер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также он
может рассчитываться через диагональ:
.
Объм куба
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб:
.
24
Радиус описанного около куба шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали:
.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра:
1. Является ли куб призмой?
2. Какие многоугольники могут получаться в сечении куба?
3. Сколько вершин и рбер имеет куб?
4. Сколько диагоналей у куба?
5. Дан куб с вершинами АВСDА1В1С1D1. Какова будет линия пересече-
ния граней АА1В1В и ВВ1С1С?
6. Какова величина двугранного угла, образованного гранью куба и
плоскостью диагонального сечения куба?
7. Чему равна величина всех двугранных углов куба?
8. Каков будет объм куба, если его сторона равна 3 см?
9. Сколько осей симметрии имеет куб?
1. Ребро куба равно . Найти диагональ куба, площадь
поверхности куба.
Диагональ куба можно вычислить по формуле
,
где d – диагональ куба, – ребро куба.
В нашем случае .
Для вычисления площади поверхности куба воспользуемся формулой
.
.
: Диагональ куба равна 3. Площадь поверхности куба равна 18.
2. Площадь грани куба равна 9 см2. Найти площадь
диагонального сечения куба.
25
Площадь грани куба
, значит, , тогда
ребро куба Найдм диагональ грани куба
.
Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник со
сторонами и . .
: Площадь диагонального сечения куба равна .
1. Площадь поверхности куба равна 96 см2. Найдите его объм.
2. Диагональ куба равна 9 см. Найдите площадь его полной поверх-
ности.
3. Ребро куба равно . Найдите площадь диагонального сечения куба.
4. Сечение куба АВСDА1В1С1D1 проходит через его вершину В и
середины рбер АA1, CC1. Найдите площадь сечения, если ребро
куба равно
5. Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 1. Найдите расстояние от точки А
до плоскости А1ВС.
6. Найдите угол между двумя диагоналями куба, имеющими общий
конец.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется
.
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1,
расположенных в параллельных плоскостях.
Отрезки АA
1, BB1
, CC
параллельны.
1, DD1
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD
и A1B1C1D1 и четырх параллелограммов AB A1B1, BC B1C1, CD C1D1, AD
A1D1, называется параллелепипедом и обозначается ABCDA1B1C1D1 (рис.
19)
.
Рис. 19. Параллелепипед
26
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называют-
ся гранями, а их стороны рбрами, вершины параллелограммов являются
вершинами параллелепипеда.
Две грани параллелепипеда называются смежными, если они имеют
общее ребро. Если грани не имеют общих рбер, то они являются
противоположными.
Две вершины параллелограмма называются противоположными,
если они не принадлежат одной грани, например, вершины А и С1.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется
диагональю параллелепипеда.
Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рбер и восемь
вершин.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и
делятся этой точкой пополам.
Основные формулы для прямоугольного параллелепипеда
Пусть – измерения прямоугольного параллелепипеда.
Площадь полной поверхности параллелепипеда можно вычислить по
формуле
.
Площадь боковой поверхности:
.
Объм параллелепипеда равен
.
Диагональ параллелепипеда может быть вычислена из соотношения
.
1. Какой параллелепипед называется прямоугольным?
2. Сколько диагоналей у параллелепипеда?
3. Сколько граней у параллелепипеда?
4. Сколько рбер и вершин у параллелепипеда?
5. Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
6. Какие многоугольники могут получаться в сечении параллеле-
пипеда?
7. Назовите свойства параллелепипеда.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 5,
6. Определите площадь полной поверхности и объм параллелепипеда.
27
Для вычисления площади полной поверхности параллеле-
пипеда воспользуемся формулой
,
где – измерения параллелепипеда.
В данной задаче .
.
Объм прямоугольного параллелепипеда со сторонами ,
вычислим по формуле .
:
2. Даны параллелепипед со сторонами 2, 4, 8 и куб с ребром
4. Основаниями параллелепипеда являются две самые большие по
площади грани. На верхнее основание параллелепипеда поместили куб.
Найдите объм и площадь поверхности получившейся фигуры.
Параллелепипед имеет три вида попарно одинаковых по
площади граней. , , . Грани,
имеющие площадь , наибольшие по площади, значит, они являются основаниями параллелепипеда, и на верхнюю из них помещн куб
со стороной 4. Для вычисления объма и площади поверхности получившегося составного многогранника неважно, где именно стоит куб.
Объм полученного тела вычислим по формуле
;
;
.
.
Площадь поверхности составного многогранника может быть вычислена как сумма площадей поверхностей параллелепипеда и куба, но
при этом необходимо вычесть удвоенную площадь квадрата, который
является общим для этих двух многогранников, так как нижняя грань
куба соприкасается с той гранью параллелепипеда, на которую куб
помещн, площадь общего соприкосновения при этом не является
площадью поверхности.
.
: Объм составного многогранника , площадь
поверхности .
1. Даны параллелепипед со сторонами 3, 5, 7 и куб с ребром 5. На
самую большую по площади грань параллелепипеда поместили куб.
Найдите объм и площадь поверхности получившейся фигуры.
28
2. Объм прямоугольного параллелепипеда равен 60 м3. Одно из его
рбер равно 3м. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпен-
дикулярной этому ребру.
3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда, образующие
угол в 30°, равны 3 и 4, а боковое ребро равно 5. Найдите полную
поверхность этого параллелепипеда.
4. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны .
Найдите ребро куба, объм которого равен объму данного парал-
лелепипеда.
5. На рис. 20 изображен многогранник. Вычислите площадь поверх-
ности и объм этого многогранника (все двугранные углы прямые).
Рис. 20. Многогранник
6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на
рис. 21 (все двугранные углы прямые).
Рис. 21. Составной многогранник
7. Найдите объм и площадь поверхности многогранника, изображен-
ного на рис. 22.
29
Рис. 22. Составной многогранник
8. В прямоугольном параллелепипеде ширина равна 1 дм, длина и
высота – 2 дм. Через диагональ основания и середину противоле-
жащего бокового ребра проведена плоскость. Найти площадь сече-
ния параллелепипеда этой плоскостью.
ПИРАМИДА
– многогранник, одна из граней которого (называемая
основанием) – произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) – треугольники, имеющие общую вершину.
Перпендикуляр, проведнный из вершины пирамиды к плоскости
основания, называется высотой пирамиды.
В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть
треугольными, четырхугольными, пятиугольными и т.д. (рис. 23).
Рис. 23. Четырхугольная и пятиугольная пирамиды
Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую
известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в
основании которой квадрат со стороной 233 м, а е высота достигает
146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по
геометрии.
– это треугольная пирамида, гранями которой являются
четыре треугольника, каждый из которых может быть принят за
основание.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]