Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Основные формулы
Объм пирамиды:
где
– площадь основания, H – высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей
всех е боковых граней, которые являются треугольниками.
Площадь полной поверхности пирамиды:
где
– площадь боковой поверхности.
,
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если е основанием является
правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является е высотой.
Апофемой пирамиды называется высота е боковой грани.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
,
где
– периметр основания; – апофема пирамиды.
Объм тетраэдра через две грани определяется по формуле
,
где – площади двух смежных граней тетраэдра, – двугранный
угол между ними, – общее ребро этих граней.
Усеченная пирамида
Возьмм произвольную пирамиду и проведм секущую плоскость,
параллельную плоскости основания пирамиды и пересекающую
боковые рбра.
Усечнная пирамида – часть пирамиды, заключенная между е
основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 24).
Рис. 24. Усеченная пирамида
31
Перпендикуляр, проведнный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной
пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Усеченная пирамида является правильной, если она получена
сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
1. Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на
апофему.
Объм усеченной пирамиды:
.
,
где – площади оснований, h – высота.
2. Если в пирамиде все боковые ребра равны или все
боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания пирамиды,
то прямоугольной проекцией вершины пирамиды является центр
окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
3. Если две боковые грани пирамиды наклонены к плос-
кости е основания под одним и тем же углом или все е апофемы
равны, то прямоугольной проекцией вершины пирамиды является
центр окружности, вписанной в е основание, и имеет место формула
.
4. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плос-
кости основания, то высота пирамиды содержится в этой грани.
5. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны
плоскости основания, то высотой пирамиды является их общее ребро.
1. Что такое пирамида?
2. Какие многоугольники могут получиться в сечении четырхуголь-
ной пирамиды?
3. Какая пирамида называется правильной?
4. Какой параллелограмм может лежать в основании правильной пира-
миды?
5. Куда проецируется вершина пирамиды, если все е боковые ребра
равны?
6. Что является высотой пирамиды, если е смежные боковые грани
перпендикулярны основанию?
7. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной из сторон
основания, можно ли это ребро принять за высоту пирамиды?
8. Верно ли, что пирамида называется правильной, если все е ребра
равны?
9. Куда проецируется вершина пирамиды, у которой все грани
наклонены к плоскости основания под одним углом?
32
1. В основании правильной четырехугольной пирамиды
лежит квадрат со стороной 5 см. Высота пирамиды – 9 см. Найти объм
пирамиды.
В основании пирамиды лежит квадрат, значит, площадь
основания равна
Объм пирамиды вычислим по формуле
.
.
: .
2. Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС,
у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см, ребро АD перпендикулярно к
плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
. Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит
из трх треугольников: прямоугольного DAC, DAB – тоже прямо-
угольного, равного DAC, и равнобедренного треугольника СDB.
DAАС, ADАB.
.
Вычислим стороны DC и DB.
.
Найдм высоту DM, проведнную из точки D на сторону ВС, в
равнобедренном треугольнике CDB.
см.
.
.
:.
1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна
12 см. Высота пирамиды – 8 см. Найдите объм и площадь поверх-
ности пирамиды.
2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна
6 см. Боковое ребро – 5 см. Найдите объм пирамиды.
3. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а
высота – 3. Найдите площадь поверхности пирамиды.
4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектри-
сы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треуголь-
ника ABC равна 2, объем пирамиды – 6. Найдите длину отрезка OS.
33
5. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного
тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
6. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего
через середины четырех его ребер.
7. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L – середина ребра
BC, S – вершина. Известно, что SL=2, а площадь боковой
поверхности – 3. Найдите длину отрезка AB.
8. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания
пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем
пирамиды – 1. Найдите длину отрезка MS.
9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр
основания, S − вершина, SA=13, BD=10. Найдите длину отрезка SO.
10. Площадь боковой поверхности правильной четырхугольной
пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой
пирамиды – 144. Найдите площадь сечения, проходящего через
вершину S этой пирамиды и через диагональ е основания.
11. В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота
равна 9, а боковые рбра равны 15. Найдите площадь сечения этой
пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC
параллельно прямой MB.
12. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания
равны 6, боковые рбра – 4. Изобразите сечение, проходящее через
вершины A, B и середину ребра A1C1. Найдите его площадь.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
– это выпуклый многогранник,
состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий
пространственной симметрией.
Правильные многогранники были известны еще в древней Греции.
Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов, имеющих
форму правильных многогранников. В частности, атомы огня имеют
форму тетраэдра, земли – гексаэдра, воздуха – октаэдра, воды –
икосаэдра, вся Вселенная, по мнению древних, имела форму
додекаэдра.
Существует пять видов правильных многогранников.
Названия многогранников имеют древнегреческое происхождение.
В переводе с греческого «тетра» – четыре, «гекса» – шесть, «окто» –
восемь, «икоси» – двадцать, «додека» – двенадцать, «эдра» – грань.
Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех
равносторонних треугольников (рис. 25).
Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми
равносторонних треугольников (рис. 26).
34
Рис. 25. Тетраэдр
Рис. 26. Октаэдр
Рис. 27. Правильный додекаэдр
Рис. 28. Правильный икосаэдр
Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.
Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенад-
цати правильных пятиугольников, являющихся его гранями (рис. 27).
Каждая вершина додекаэдра является вершиной трх правильных
пятиугольников.
Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати
равносторонних треугольников. Существует бесконечно много непохожих икосаэдров, некоторые из которых имеют больше симметрий,
другие меньше. Наиболее известен (выпуклый, незвздчатый)
правильный икосаэдр – один из правильных многогранников (рис. 28).
Метод координат был придуман выдающимся французским
философом и математиком Рене Декартом более 350 лет назад. В
современном мире этот метод широко используется для решения многих
практических и прикладных задач.
Метод координат особенно актуален при передаче рисунков, преобразовании визуальной информации посредством компьютерных технологий или телевидения. Мы будем рассматривать метод координат как
способ определения положения точки или фигуры в пространстве, с
помощью чисел. Числа, с помощью которых определяется положение
35
точки, называют координатами точки. Положение точки в пространстве
определяется тремя числами: ширина, долгота и высота. Например,
координаты месторасположения самолта в воздухе в определнный
момент времени определяются географическими координатами на
поверхности земли: шириной, долготой и третьей координатой – высотой
над поверхностью земли. Координаты, применяемые в математике,
позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства, а также расположение плоскостей или линий. Метод координат
применим к решению самых разных геометрических задач, а также к
исследованию любых геометрических объектов и соотношений.
КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве.
Прямоугольной системой координат в пространстве называется
совокупность трх перпендикулярных прямых (координатных осей) и
точки, в которой эти оси пересекаются (начала координат) (рис. 29).
Введм три числовые оси: ось Ox – ось абсцисс, ось Oy – ось ординат,
ось Oz – ось аппликат. Все три оси взаимно перпендикулярны и
проходят через одну и ту же точку – начало координат О. Данная точка
принимается за начало отсчета по каждой из трх осей. По осям обычно
берутся одинаковые единицы измерения. Для каждой точки А
пространства можно найти три числа – x, y и z, которые будут служить
е координатами. Для нахождения координат точки необходимо
опустить перпендикуляр из точки на каждую из координатных осей.
Таким образом, каждой точке пространства ставится в соответствие
определнная тройка чисел: абсцисса x, ордината y, аппликата z.
Рис.29. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Суть метода координат в пространстве заключается в следующем.
1. Ввести систему координат удобным образом (исходя из свойств
заданной фигуры).
36
2. Записать условие задачи в координатах, определив во введенной
а
системе координат координаты точек и/или векторов.
3. Используя алгебраические преобразования, решить задачу.
4. Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием
данной задачи.
В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Методом координат чаще всего вычисляются:
− угол между прямыми;
− угол между прямой и плоскостью;
− угол между плоскостями;
− расстояние от точки до плоскости;
− расстояние от точки до прямой в пространстве;
− расстояние между скрещивающимися прямыми.
При изучении курса планиметрии рассматривались векторы на
плоскости. В пространстве понятие вектора вводится аналогично,
главное отличие векторов на плоскости и в пространстве – количество
координат. Так, на плоскости вектор имеет две координаты, а в
пространстве – три.
Векторы в пространстве применяются для решения многих
практических задач, широко используются в физике, например, для
изучения магнитных полей.
Вектором называется направленный отрезок, для которого указаны
начальная и конечная точки. Запись означает, что начало вектора
совпадает с точкой А, а конец – с точкой В. Длинна отрезка,
соединяющего точки А и В, будет длиной вектора .
Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и
одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным
шрифтом, например: a=AB, . Вектор имеет две характеристики:
длину, называемую также модулем и обозначаемую или
направление. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор считается нулевым и обозначается . Длина нулевого вектора равна
нулю. Нуль-вектор считается параллельным любому вектору.
Ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если два ненулевых вектора коллинеарны и если лучи АВ и
FN со-направлены, то векторы называются со-направлен-
ными.
, и
37
Два вектора считаются равными если они равны по длине, лежат на
параллельных прямых, со-направлены. Справедливо утверждение, что
от любой точки можно отложить вектор, который будет равен данному
вектору, при этом он будет определяться единственным образом.
Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным
вектором, или ортом. Координаты орта вектора находятся по
формуле
.
Запись или означает, что векторы со-направлены.
Запись или означает, что векторы противоположно направлены.
Приведм примеры рассмотренных понятий на конкретной задаче.
На рис. 30 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Привести примеры:
a) со-направленных векторов;
b) противоположно направленных векторов;
c) равных векторов.
Рис. 30
Приведм примеры со-направленных векторов.
Так как АA
, СC1 , DD1 – рбра параллелепипеда, то они между
1, ВB1
собой параллельны – лежат на параллельных прямых. Значит, учитывая
направление, со-направлены векторы
, , , .
Построив на параллельных прямых векторы ,,,
укажем, что со-направленными являются , ,
.
Изменив направление векторов, то есть поменяв местами начало
и конец вектора, получим вектор, противоположно направленный к
данному. Так, для вектора противоположно направленным явля-
38
,
ется вектор . Приведм примеры: , ,
а
а
аа
а
а
а
а
а
а
аа
)1(
а
b
bас
b
b
а
a
b
c a b
Рис.1
Рис. 31
, .
Так как в параллелепипеде боковые рбра не только параллель-
ны, но и равны по длине, учитывая направление, получим, что равными
являются векторы
, , , .
называются сложение
векторов и умножение вектора на число.
Умножением вектора
вектор, обозначаемый
ниям:
1)
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
на действительное число называется
и удовлетворяющий следующим требова-
;
2)
3)
которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора
(правило треугольников) (рис. 31).
в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построен-
ного на векторах и (рис. 32).
и
параллельны;
и
со-направлены при 0 и противоположно направлены при
0.
Противоположным вектором
на число (–1), т.е.
Суммой двух векторов
, при условии, что начало вектора
Векторы можно складывать и по правилу параллелограмма. Вектор
и
называется произведение вектора
.
называется вектор
совпадает с концом вектора
, начало
39
a
b
c a b
Рис.2
1 2 3 4
c a a a a
1
a
2
a
4
a
3
a
Рис.3
abbа
cbacba
)()(
baba
)(
а
),( yxa
),,( zyxа
),,( ZYXАВ
),,(
111
zyxA
),,(
222
zyxB
121212
,, zzZyyYxxX
Рис. 32
Рис. 33
В случае если необходимо сложить несколько векторов, то
используют правило замыкания ломаной (рис. 33) .
обладают следующими свойствами:
1)
2)
3)
противоположного вектору.
начало совпало с началом координат. Координатами вектора назы-
ваются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на
плоскости Oxy являются два числа x и y,
Oxyz – три числа x, y, z,
точки начала вектора
формулам
Операции сложения векторов и умножения вектора на число
;
;
.
Разностью двух векторов и называется сумма вектора и ,
Перенесм вектор
Координаты вектора
параллельно самому себе так, чтобы его
.
выражаются через координаты
и конца вектора
40
, а в пространстве
.
по
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]