Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Стереометрия. Учебно-методическое пособие для специальностей СПО
.pdf
Расстояние между точками А и В выражается формулой
2 2 2
2 1 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( ) .А В x x y y z z
),,(
111
zyxa
),,(
222
zyxb
),,(
212121
zzyyxxbac
),,(
212121
zzyyxxbad
),,(
111
zyxa
),,(
111
zyxb
),,( zyxа
222
zyxа
.;;
212121
zz
z
yy
y
xx
x
a
X
cos
a
Y
cos
a
Z
cos
kji
,,
a
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
1. Суммой и разностью векторов
являются, соответственно, векторы
и
2. Произведение вектора
.
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его
координат в пространстве при
Если точка М(х,у,z) делит отрезок АВ в соотношении /, то
координаты этой точки определяются так:
В частном случае координаты середины отрезка находятся по
формулам
; ; .
Если вектор образует с координатными осями углы α, β, γ, то
косинусы углов α, β, γ называются направляющими косинусами
вектора à и вычисляются по формулам
;
на число есть вектор
,
;
и
.
.
.
Координаты единичного вектора – орта равны его направляющим
косинусам.
Если
= (X, Y, Z) можно единственным образом представить в виде
– орты координатных осей Ох, Оу, Оz, то вектор
.
41
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
a
b
),,(
111
zyxa
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,
cos .
ab
x x y y z z
ab
x y z x y z
0),( bа
),,(
111
zyxa
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
),(),( abbа
);,(),( baba
),(),(),( cabacba
0),( aa
0),( aa
0a
Скалярным произведением двух векторов
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними:
.
Если векторы заданы своими координатами
, то скалярное произведение этих векторов равно сумме
произведений соответствующих координат:
.
Исходя из определения скалярного произведения, угол между
векторами и определяется по формуле
Условие перпендикулярности векторов
Векторы аи bперпендикулярны в том и только в том случае, если
их скалярное произведение равно нулю
Условие коллинеарности векторов
Векторы коллинеарны, если пропорциональны их соответствующие
координаты.
Для векторов
и
и
называется
.
, если выполняется
и
условие
1)
2)
3)
4)
1. Что такое вектор?
2. Чем отличаются векторы на плоскости и в пространстве?
, причем
.
или
Свойства скалярного произведения
;
.
;
в том и только в том случае, если
42
3. Какие векторы называются коллинеарными?
)5,2,3( a
)3,1,4( b
aс2
abq
2
ba
,
a
b
)4,2,4( f
)2,3,6( g
2сa
)10,4,6()5,2,3(2 с
abq
2
b2
а
b
a
)11,4,5()5,2,3()3,1,4(22 abq
3825495)2(3
222
a
269116)3(14
222
b
515212)3(51)2(43),( ba
)5,1,3( f
)1,3,5( g
4. Как в координатах записать условие коллинеарности векторов?
5. Какие векторы называются равными?
6. Как записать в координатах произведение вектора на число?
7. Как меняется вектор при умножении его на число?
8. Каково направление нулевого вектора?
9. Как записать координаты вектора, противоположного данному вектору?
10. Какое условие выполняется, если векторы перпендикулярны?
11. Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
12. Как найти угол между прямыми в пространстве, если известны
координаты векторов, параллельных каждой прямой?
1
Даны векторы
Найти:
1) вектор
;
и
.
2) вектор
3) длины векторов
4) скалярное произведение векторов
5) угол между векторами
1. Найдем вектор
вектора на 2.
Получаем
2. Для нахождения вектора
ров
соответствующие координаты вектора
4. Вычислим:
5. Найдем угол между векторами
и
, умножим координаты вектора
3. Далее получим :
;
;
. Для этого умножим каждую координату
43
и
;
и
.
вычислим разность векто-
. Получим
и
.
на 2 и вычтем
;
.
.
:
arccos 0,37 68 .
a
b
a
b
2
Даны точки C (6, 3, 2), D (5, 1, 4).
Найти: .
.
3
Даны векторы
= (3, -4,8),
= (6, -8,16). Определите, являются ли
данные векторы коллинеарными?
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Выпи-
шем отношения координат данных векторов следующим образом:
.
Следовательно, векторы и коллинеарные.
4
Найти угол между векторами
= (-1, 2,4) и
= (2, -1, 4).
Найдем скалярное произведение векторов и :
.
Найдем модули и :
;
;
:
.
.
.
44
5
0),( bа
№ вар. А В С D
1
(1,-2,1)
(5,-2,4)
(2,0,1)
(2,2,1)
2
(-3,2,-1)
(1,-1,4)
(3,0,1)
(0,1,-2)
3
(2,2,1)
(-1,2,0)
(-1,-1,3)
(1,-2,1)
4
(-2,1,-1)
(3, 0,-2)
(2,-1,-3)
(0,-1,2)
5
(-3,0,1)
(-5,1,2)
(-3,0,2)
(-4,1,0)
6
(-4,-1,2)
(0,4,1)
(2,1,1)
(-1,1,-1)
7
(6,-1,1)
(4,0,5)
(1,0,2)
(-2,1,-2)
8
(3,-2,1)
(5,-3,4)
(4,2,1)
(1,0,1)
9
(1,3,-3)
(2,1,0)
(-1,2,-1)
(3,2,1)
10
(1,4,1)
(4,2,3)
(3,1,-4)
(5,3,-5)
11
(3,-2,1)
(4,-2,4)
(2,0,1)
(1,2,1)
12
(1,2,1)
(-3,2,0)
(5,-1,3)
(1,-7,1)
13
(-5,-1,2)
(9,4,1)
(7,1,1)
(-1,3,-1)
14
(5,-2,1)
(5,-3,4)
(4,0,1)
(2,6,1)
15
(3,-2,1)
(5,-2,6)
(2,3,1)
(4,2,4)
16
(5,2,0)
(-3,2,0)
(-1,-2,3)
(1,-2,5)
17
(-6,-1,1)
(3,4,1)
(2,5,1)
(-1,1,-8)
18
(0,-2,1)
(6,-2,4)
(4,0,1)
(2,0,1)
19
(1,4,1)
(-5,0,1)
(-5,-2,3)
(1,0,1)
20
(7,0,2)
(0,4,1)
(3,0,1)
(-1,2,-1)
При каком m векторы и перпендикулярны.
;
.
Выпишем координаты векторов:
= (m, –2, 2); = (4, 3, –5).
Условие перпендикулярности векторов
Найдем скалярное произведение:
.
.
.
: m=4.
1
Даны точки А,В,С,D. Координаты точек заданы в таблице, согласно
варианту, выданному преподавателем.
.
45
№ вар. А В С D
21
(4,-1,1)
(4,-2,4)
(5,0,1)
(6,2,1)
22
(3,3,1)
(-4,0,1)
(-2,0,3)
(3,-2,1)
23
(1,-5,1)
(6,-2,1)
(0,3,1)
(2,2,1)
24
(-2,1,-2)
(3,-4,0)
(5,-1,1)
(-3,1,-1)
25
(0,-2,1)
(-4,2,0)
(-1,0,3)
(1,2,0)
3 2 .AB CD
3
2
1. Длины отрезков АВ; ВС; СD.
2. Координаты вектора
3. .
4. Скалярное произведение векторов и .
5. Косинус угла между векторами AB и CD.
6. Координаты середины отрезка СВ.
7. Периметр треугольника АВС.
8. Даны вершины треугольника А, В, С. Найти внутренний угол при
вершине А и внешний угол при вершине С в треугольнике АВС.
2
Даны точки А,В,С (согласно варианту в таблице к заданию 1).
Найдите расстояние от точки А до прямой, проходящей через точки
В и С.
3
Вычислите модуль вектора
.
4
Даны две координаты вектора : x = 4, y= –12. Найти координату z
при условии, что = 13.
5
Определите координаты точки N, с которой совпадает конец вектора
, если его начало совпадает с точкой М (1, 2, –3).
6
Проверьте коллинеарность векторов = (2, -1, 3) и =(-6,3, 9).
Установите, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные стороны.
7
Векторы и образуют угол φ =
. Зная, что = 3, ,
вычислить скалярное произведение , ).
46
8
Покажите, что четырехугольник с вершинами А (-5, 3, 4), В (-1, -7, 5),
С (6, -5, -3), D (2, 5, -4) – квадрат.
9
Даны точки А(2,-1,3), В(3,4,5), Найдите расстоя-
ние между точками А и В, координаты точки М.
ЦИЛИНДР
– тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и
двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях. Круги называют
основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки
окружностей этих кругов, – образующими цилиндра. В основании
цилиндра лежит круг радиуса R, l – образующая цилиндра (рис. 34).
Рис. 34. Цилиндр
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной
из сторон, поэтому цилиндр называют телом вращения.
Свойства цилиндра
1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Образующие цилиндра равны и параллельны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его
оснований.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра,
называется осевым сечением (рис. 35).
Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами 2R и l
(в прямом цилиндре l = Н).
Сечения цилиндра, параллельные его оси, являются прямоугольни-
ками.
47
Рис. 35. Осевое сечение цилиндра
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, – круг,
равный основаниям.
Основные формулы
Объм цилиндра: .
Площадь боковой поверхности цилиндра:
Площадь полной поверхности цилиндра:
.
,
где R – радиус основания, Н – высота цилиндра.
1. Как называется объмное тело, получаемое вращением прямоу-
гольника вокруг одной из его сторон?
2. Какие плоские фигуры могут получиться при сечении цилиндра
плоскостью?
3. Что такое осевое сечение цилиндра?
4. Как определяется высота цилиндра?
5. Как расположены образующие цилиндра, какими свойствами они
обладают?
6. Что такое основание цилиндра?
7. Что такое цилиндрическая поверхность?
8. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плос-
костью, проходящей через образующую цилиндра?
9. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллель-
ной его образующей?
1
Объем первого цилиндра равен 24 м3. У второго цилиндра высота в
3 раза больше, а радиус основания – в 2 раза меньше, чем у первого.
Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
48
Пусть радиус первого цилиндра – R, тогда у второго цилиндра – .
Высота первого цилиндра – H, тогда у второго цилиндра – 3H.
Объм первого цилиндра: =24 м3.
Объм второго цилиндра: , тогда объм
второго цилиндра
м3.
: 18 м3.
2
Прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой 8 см.
Диагональ прямоугольника равна 10 см. Найти объм тела вращения,
которое при этом получается. В ответе укажите объм, делнный на
Найдем вторую сторону прямоугольника.
Две стороны прямоугольника, выходящие из одной вершины, вместе
с диагональю этого прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдм вторую сторону, как неизвестный
катет в этом треугольнике.
см.
Найденная сторона является диаметром основания цилиндра.
Радиус основания равен R = 6 : 2 = 3 см.
Объм цилиндра: .
: 72.
1. Объем первого цилиндра равен 36 м3. У второго цилиндра высота в
2 раза больше, а радиус основания – в 3 раза меньше, чем у первого.
Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
2. Диаметр основания цилиндра равен 6 см. Высота цилиндра в три
раза больше радиуса основания. Найдите боковую поверхность
цилиндра.
3. Прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой 4 см.
Диагональ прямоугольника равна 5 см. Найти объм тела вращения,
которое при этом получается.
4. Длина окружности основания цилиндра равна 10. Площадь боковой
поверхности равна 30. Найдите высоту цилиндра.
5. Прямоугольник с основаниями 6 см и 8 см вращается вокруг своей
меньшей стороны. Найдите площадь поверхности полученного в
результате вращения тела.
49
6. В цилиндрический сосуд налили 800 см3 воды. В воду полностью
погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился
в 2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
7. В цилиндрическом баке вода находится на уровне 9 см. В сосуд
поместили деталь, при этом уровень жидкости поднялся до 21 см.
Найдите объм детали, если первоначальный объм воды – 2000 см3.
8. Образующая цилиндра равна 4 см. Отношение длины образующей к
диагонали осевого сечения равно 4:5. Найдите площадь осевого
сечения цилиндра.
9. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 36.
Найдите площадь его боковой поверхности.
10. Объм прямого кругового цилиндра равен 96, а его высота – 6.
Найдите длину диагонали осевого сечения.
11. Разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат со
стороной 4 см. Найдите объм цилиндра.
12. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра, деленную на
13. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2, а диаметр
основания – 1. Найдите высоту цилиндра.
14. Высота цилиндра равна 12, а радиус основания 10. Параллельно оси
цилиндра проведена плоскость, так что в сечении получился квад-
рат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.
КОНУС
(круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основа-
ние конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – верши-
ны конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки
окружности основания.
Конус – тело вращения, которое получается в результате вращения
прямоугольного треугольника вокруг его катета (рис. 36).
Рис. 36. Конус
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]