Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статический расчет вала на прочность. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
В. Н. ГЛУХИХ, Н. В. НОРИНА
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВАЛА
НА ПРОЧНОСТЬ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
УДК 621.753.1/2:389 (076)
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. А. Г. Черных (СПбГАСУ);
д-р техн. наук, проф. В. А. Пронин (ИТМО)
Глухих В. Н.
Статический расчет вала на прочность: учеб. пособие /
В. Н. Глухих, Н. В. Норина; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 40 с.
ISBN 978-5-9227-0531-8
Представлены краткие теоретические сведения по статическому расчету
вала на прочность. Приведены примеры определения размеров поперечного
сечения вала.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения, выполняющих расчетно-графические работы по дисциплинам: «Сопротивление материалов», «Механика», «Прикладная механика».
Табл. 1. Ил. 6. Библиогр.: 5 назв.
Рекомендовано Редакционностве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0531-8
издательским советом СПбГАСУ в каче-
В. Н. Глухих, Н. В. Норина, 2014
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2014
2
ВВЕДЕНИЕ
Валы различных механизмов или машин принадлежат к числу
наиболее ответственных деталей, выход из строя которых обычно
представляет собой угрозу для всего привода.
Валы – это вращающиеся детали, предназначенные для передачи крутящих моментов. В процессе работы в общем случае вал подвержен кручению, изгибам в двух плоскостях, осевому растяжениюсжатию и сдвигу.
Совместное действие кручения с изгибом чаще всего приходится учитывать при расчете валов машин, которые испытывают кручение от скручивающих моментов, передаваемых зубчатыми колесами
(шестернями) или шкивами, а изгиб – от веса шестерен (шкивов)
и передаваемых ими окружных усилий (рис. 1).
Р1
Р2
G1
Рис. 1
Р3
G2
Р4
По конструктивным признакам валы могут быть гладкими, ступенчатыми, а также в виде вала-шестерни и вала-червяка. По типу
сечения валы могут быть сплошными (чаще всего круглыми), полыми и комбинированными.
Для расчета валов необходимо знать размеры их участков по
длине, действующие силы и крутящие моменты, допускаемые напряжения материала
. Материал и допускаемые напряжения принимают по справочным таблицам, которые помещены в табл. 1 приложения.
3
РАСЧЕТ ВАЛОВ
Критерии работоспособности и расчета валов
Основными критериями работоспособности валов являются их
прочность и жесткость.
Под прочностью валов понимают их способность сопротивляться действию постоянных или переменных по величине и направлению нагрузок без разрушения. Прочность валов может оцениваться различными способами:
– сравнением фактических напряжений
[],
экв
σ][σ
;
с допускаемыми
экв
– сравнением фактического запаса прочности n с допускаемым
[n],
;
][nn
– по вероятности неразрушения, %.
Для их реализации необходимо определить наибольшее напряжение в опасной точке детали, при этом нужно знать предельное напряжение для материала детали.
Валы и оси, рассчитанные по критерию прочности, не всегда
обеспечивают нормальную работу машин из-за недостаточной жесткости деталей.
Жесткость валов – это их способность сопротивляться
образованию деформации без разрушения. При действии нагрузок в валах и
осях появляются деформации изгиба (прогибы, углы поворота сечений). В валах, кроме этих деформаций, появляется угол закручивания от крутящего момента.
Сконструированный по результатам расчета вал проверяют на
жесткость по линейным деформациям при изгибе
деформациям при изгибе
[θθ ] и кручении ][ . Допускаемые зна-
, по угловым
][yy
чения деформаций приняты на основе опыта проектирования и эксплуатации подобных деталей и содержатся в справочной литературе.
Большие перемещения сечений валов при изгибе могут вызвать
заклинивание подшипников. Жесткость валов существенно влияет
на частотные характеристики при появлении колебаний. Одна из основных задач расчета вала на колебания состоит в
определении частоты собственных колебаний, так как именно путем изменения частоты собственных колебаний можно избежать наступления резонанса напряжений и перемещений.
4
Статический расчет валов на прочность
В курсе «Техническая механика» расчет валов приводится как
пример расчета деталей, работающих при сложном сопротивлении.
Расчет
валов на статическую прочность сводится к определению
напряжений в опасных точках опасных сечений и обеспечению условия прочности (либо вычислению коэффициента запаса прочности).
Для расчета на прочность необходимо прежде всего составить
расчетную схему вала. При этом вал обычных конструктивных форм
может быть без больших погрешностей представлен как балка, лежащая на
опорах и нагруженная расчетными нагрузками. Валы нагружаются усилиями, передающимися на них через промежуточные
элементы. При составлении расчетной схемы вала для усилий, распределенных по длине зубьев зубчатых колес, пальцев упругих
муфт, вкладышей подшипников скольжения и прочему, обычно принимаются сосредоточенные силы, приложенные в середине длины
указанных элементов. Скручивающие моменты
обычно принимаются за сосредоточенные, приложенные посредине длины передающих
элементов (шлицы, шпонки и т. п.). Восприятие части изгибающего
момента насаженными на вал деталями и опорами скольжения
обычно в расчете вала на прочность не учитывается.
В процессе работы машины на вал действуют нагрузки, определяемые условиями эксплуатации, назначением машины, которые
могут меняться
во времени.
В соответствии с этим в качестве расчетных нагрузок следует
принимать такие из действующих нагрузок, которые в основном определяют статическую несущую способность и выносливость детали.
Расчет ведется по наибольшей кратковременной нагрузке, в которой учтены наиболее тяжелые условия работы машины.
При выявлении внутренних силовых факторов, возникающих
у валов,
необходимо выявить причины, вызывающие появление
внутренних сил.
Передача валом мощности осуществляется посредством закрепленных на нем зубчатых колес, шкивов и других элементов. При
этом момент, передаваемый валом, определяется по заданным величинам мощности N и частоте вращения вала n:
nN
M
ω;
ω
30
,
где – угловая скорость вала.
5
На шестерни зубчатого зацепления действует вращающий момент, создающий распределенную по контактной линии зуба нагрузку.
Обычно эту нагрузку заменяют равнодействующей, приложенной
в полюсе зацепления и направленной по нормали к линии зацепления.
Эта равнодействующая нагрузка раскладывается на три составляющие:
– окружную Р, направленную по касательной к делительной
окружности диаметром D;
– радиальную
Т, направленную по радиусу колеса к его центру;
– осевую А, направленную параллельно оси вала.
Окружная сила Р на ведомом и ведущем колесах всегда направлена против действия соответствующих вращающих моментов
и определяется для всех видов зубчатых колес следующим образом:
2DM
P
.
Радиальная сила Т направлена к оси вращения колеса и создает
«распор» в передаче.
Силы Т и А определяются силой Р и кинематическими параметрами конкретной зубчатой передачи. У цилиндрической прямозубой
передачи осевая сила А отсутствует. Формулы для вычисления перечисленных сил приведены в табл. 1.
В формулах принято
стандартизованное значение угла зацепле-
ния = 20 (tg = 0,346).
В ременных передачах мощность передается силами трения,
создаваемыми предварительным натяжением ремня. Окружная сила Р,
передаваемая ремнем и равная разности сил натяжения ветвей ремня, определяется по формуле
2
M
,
D
ш
где D
– диаметр шкива.
ш
P
Сила Т, действующая на вал и нагружающая подшипники, является равнодействующей сил натяжения ветвей ремня. Обычно сила давления на вал Т в 2–3 раза больше окружной силы. В наших
расчетах принимаем
Р.
Т = 3
6
Примечание
= 8…20
наклона зуба
= 0…90
наклона
образующей
= 5…25
подъема
винтов ой
линии
Таблица 1
угол
угол
угол
Вид передачи
(условное обозначение)
Цилиндрическая (ЦК)
Коническая (КК)
Зубчатая
Ременная
Червячная
Червяк (Ч)
Червячное
колесо (ЧК)
Шкив
Окружная
P
MP2
D
MP2
D
MP2
D
MP2
D
MP2
D
Сила
Осевая
A
Ptg 0,364P
0,364Psin 0,364Pcos
P
tg
Ptg 0,364P
– 3P –
Радиальная
T
364,0 P
tgλ
Примечание. D – диаметр соответствующей детали.
Рассмотрим виды деформирования вала, вызываемые каждой
силой.
Приведение окружной силы Р к центру тяжести сечения вала
(рис. 2, а) образует пару сил:
D
,
Pm
2
расположенную в плоскости сечения вала xoy, которая вызывает
кручение последнего. Сила, направленная вдоль оси x, вызывает изгиб и сдвиг.
Осевая сила А при переносе в центр тяжести сечения вала
(рис. 2, б) образует пару сил в плоскости xoy и силу в направлении
оси z. Момент m
вызывает изгиб вала в плоскости yoz, а продольная
x
сила – осевое растяжение (сжатие):
D
.
Amx
2
7
а)
W
n
б)
в)
Рис. 2
Радиальная сила Т проходит через центр тяжести сечения вала
и вызывает изгиб в соответствующей плоскости и сдвиг.
Сила давления на вал Т в ременной передаче (рис. 2, в) проходит
через центр тяжести сечения вала и вызывает сдвиг и изгиб, плоскость
действия которого в общем случае не совпадает с выбранными координатными осями
. Поэтому силу Т необходимо разложить по направ-
лению выбранных осей. Каждая составляющая силы давления
= T sin , Ty = T cos
T
x
вызывает изгиб и сдвиг в соответствующей плоскости. Момент на
шкиве, вызванный окружной силой Р, лежит в плоскости нормального сечения и вызывает кручение вала.
Силы, действующие на вал, уравновешиваются реакциями
в подшипниковых опорах.
Таким образом, в общем случае вал подвержен кручению, изгибам в двух плоскостях, осевому растяжению-сжатию
и сдвигу. Касательные напряжения, возникающие при наличии поперечных сил,
обычно невелики, и их можно не принимать во внимание. Поэтому
поперечными силами будем пренебрегать.
Для упрощения решения задачи в первом приближении оставим без внимания продольные силы. Тогда изгиб с кручением представляют собой частный случай сложного сопротивления, когда
внешние силы
чениях крутящий момент М
, действующие на вал, вызывают в его поперечных се-
= Мz и изгибающие моменты Мx, Мy.
к
8
В этом случае в поперечных сечениях такого стержня возникают ка-
W
n
сательные напряжения от кручения и нормальные от изгиба в двух
плоскостях.
Таким образом, в поперечных сечениях бруса (вала) возникают:
а) нормальные напряжения от изгиба, достигающие максимальной величины в наиболее удаленных от нейтральной линии волокнах
и определяемые по формуле
M
и
σ
где W – осевой момент сопротивления сечения, см
, (1)
3
; Mи – изгибаю-
щий момент в сечении;
б) касательные напряжения от кручения, достигающие наибольшей величины по периметру вала и определяемые по формуле
M
к
τ , (2)
W
p
где Wp – полярный момент сопротивления сечения, см3.
Так как валы обычно конструируют из пластичного материала
(стали), для их расчета на прочность следует пользоваться третьей
или четвертой теорией прочности.
Мысленно вырежем двумя бесконечно близкими вертикальными сечениями 1-1 и 2-2 и горизонтальными 3-3 и 4-4 на поверхности
круглого вала элемент abcd (рис. 3, а) и изобразим его в укрупнен-
ном масштабе (рис. 3, б
).
По граням ab и cd, лежащим в плоскостях поперечных сечений
вала, развиваются нормальные напряжения от изгиба
и касатель-
и
ные – от кручения . В соответствии с законом парности касательных напряжений по граням ab и cd также действуют касательные напряжения
.
Таким образом, вырезанный элемент abcd находит-
ся в плоском напряженном состоянии:
= , y = 0, = к . (3)
z
Для определения главных нормальных напряжений воспользуемся формулой для определения главных напряжений (с учетом
принятого обозначения координатных осей (рис. 3, б)):
σσ
σ
max
mi
2
1
yz
2
yz
22
.4)σσ(
9
а)
W
б)
z =
z =
Рис. 3
Или, принимая во внимание значения компонентов напряжен-
ного состояния (3), для рассматриваемого элемента abcd получаем
max
min
σ
2
2
1
σ
2
2
σ
σ
22
;4σ
22
(4)
.4σ
1
Подставляем выражения главных напряжений (3) в условие
прочности по третьей теории:
1
1
σ
III
пр
σσσ
minmax
2
2
4σ
σ
2
2
2222
σ].[τ4σ
После приведения подобных членов это условие значительно
упрощается:
22III
σ].[τ4σσ
пр
(5)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]