Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статический расчет вала на прочность. Учебное пособие
.pdf
Подставив значения напряжений (1) и (2), получим
W
M
W
2
кр
.4σ
p
2
III
пр
и
W
M
Для круглого сечения согласно формулам
3
14,3
D
W
3
;1,0
D
32
3
14,3
D
W
p
16
3
,2,0
D
т. е.
WWp2 . (6)
Отсюда
2
M
III
пр
и
W
4σ
2
M
к
W
2
σ][
или, после раскрытия скобок и сокращения
2
2
MM
III
пр
к
и
(7)
σ].[σ
Для подбора сечения полученное неравенство следует выразить
относительно требуемого минимального осевого момента сопротивления
2
2
MMW
к
III
тр
и
, (8)
σ][
после чего легко определяется требуемый диаметр вала:
32
W
3
D
тр
тр
3
π
W
.10
тр
В случае вала кольцевого сечения осевой момент сопротивления выражается формулой
3
D
W
434
,)1(1,0)1(
aDa
32
где a = d/D; d – внутренний диаметр вала, см; D – наружный диаметр
вала, см.
Следовательно,
32
W
3
D
тр
тр
a
10
W
3
4
)(1π
тр
.
4
1
a
11
При расчете по четвертой теории прочности следует пользо-
ваться формулой
22IV
σ][τ3σσ
пр
, (9)
которая после подстановки значений напряжений (1) и (2) и использования соотношения между моментами сопротивления (5) принимает вид
IV
σ
пр
2
и
W
2
MM
75,0
к
σ][
, (10)
откуда
IV
W
тр
2
и
σ][
2
MM
75,0
к
. (11)
Таким образом, формулы (10) и (11) отличаются от аналогичных формул (7) и (8), выведенных исходя из третьей теории прочности, только коэффициентом 0,75 при величине крутящего момента.
Обычно результаты расчетов по третьей и четвертой теориям прочности бывают весьма близкими.
При наличии продольных сил A делается проверка прочности
установленного диаметра вала
, для чего строится эпюра внутренних
усилий N.
Анализируя эпюры М
, Мк и N, устанавливают опасное сечение,
и
в котором эти усилия принимают одновременно большие значения.
В опасном сечении вычисляются нормальные
M
N
4
σ
d
и
W
x
2
и касательные напряжения (2), через которые определяется эквивалентное напряжение по соответствующей гипотезе прочности (5), (9).
Эквивалентное напряжение сравнивается с допускаемым напряжением и делается вывод о статической прочности вала.
Таким образом, схема расчета вала на статическую прочность
следующая:
1) определяют вращающий момент по заданной мощности
и частоте вращения вала;
2) определяют силы в зацеплении;
3) составляют расчетную схему;
4) строят эпюры М
5) строят эпюры изгибающих моментов М
;
к
и Му;
х
12
6)
вычисляют суммарный Ми в вероятных опасных сечениях;
7) устанавливают опасное сечение и вычисляют эквивалентный
момент М
8) составляют условие прочности и определяют диаметр вала.
экв
;
Полученный размер округляют до ближайшего большего в соответствии с ГОСТ 6636–69, устанавливающим ряды чисел для выбора
градаций и величин номинальных размеров диаметров и длин в интервале:
12–25 мм – кратные 0,5;
25–50 мм – целые числа;
60–160 мм – кратные 5, затем оканчивающиеся на 2 и на 8;
160–500 мм – кратные 10, затем
9) проверяют прочность с учетом осевых сил;
10) при напряжении, превышающем более чем на 5 % допус-
кратные 5;
каемое напряжение, необходимо увеличить диаметр вала и снова
произвести проверку.
13
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример № 1
На барабан лебедки наматывается стальной канат для подъема
груза P, не превышающего 50 кН. Пользуясь третьей и четвертой
теориями прочности, подобрать диаметр d вала АВ круглого сечения,
на который насажен барабан, при наиневыгоднейшем положении
груза (рис. 4). Диаметр барабана D = 0,34 м, длина вала (расстояние
между подшипниками) l = 1,25 м, допускаемое напряжение
стали на
растяжение [] = 120 МПа.
Рис. 4
Решение. Вал АВ, опирающийся на подшипники, можно рассматривать как свободно лежащий на двух опорах брус, скручиваемый моментом:
D
PMm
к
2
34,0
00050
м,Нк5,8
2
изгибаемый сосредоточенной силой P. Величина изгибающего мо-
мента зависит от положения груза по длине вала (барабана) и достигает наибольшего значения, когда сила P расположена посредине, т. е.
25,150
M
lP
и
4
м.кН625,15
4
Пользуясь формулой (8), определяем требуемый осевой момент
сопротивления сечения вала по третьей теории прочности:
14
2
2
MM
к
W
III
тр
и
σ][
3
.см148
По формуле (11) находим требуемый момент сопротивления
исходя из четвертой теории прочности:
2
75,0
MM
к
3
.см144
W
2
IV
тр
и
σ][
Соответствующие значения диаметра вала вычисляем по фор-
мулам
III
3
тр
IV
3
тр
III
Wd
тр
IV
Wd
тр
;см4,1110
.см3,1110
Таким образом, результаты расчетов по третьей и четвертой
теориям прочности почти совпадают. Округляя до целого, окончательно принимаем диаметр вала d = 12 см = 120 мм.
Пример № 2
Круглый стальной вал, на который насажены два шкива
диаметрами D
= 0,6 м и D2 = 0,9 м, имеет частоту вращения
1
n = 150 об/мин и передает мощность N = 25,55 кВт (рис. 5). Собст-
венный вес шкива Е G
= 3 кН, шкива С G2 = 4,5 кН. Расстояния ме-
1
жду шкивами и опорными подшипниками а = 0,4 м, b = 0,3 м, с = 0,2 м.
Ремни передачи у шкива Е направлены вертикально, у шкива С – горизонтально.
Построить эпюры крутящего и изгибающих моментов и подоб-
рать диаметр вала по третьей теории прочности, если допускаемое
напряжение стали [] = 100 МПа.
Решение. Построение эпюры
крутящего момента. Зная передаваемую мощность и частоту вращения вала, найдем скручивающий
момент, который вызывает крутящий момент в сечениях вала на
участке ЕС:
3055,25
Mm
к
15014,3
м.кН63,1
Эпюра крутящего момента показана на рис. 5, г.
15
а)
г)
д)
е)
ж)
9000 кгсм
28 640 кгсм
б)
в)
22 320 кгсм
12 760 кгсм
з)
Рис. 5
Определение натяжения ремней. Перенесем силы натяжения
ремней шкива Е на ось вала с добавлением соответствующих пар
и произведем сложение сил и пар. Получим перпендикулярную к оси
вала вертикальную равнодействующую силу (см. рис. 5, б)
3ppPT
1111
16
и скручивающую пару, вызывающую крутящий момент в сечении Е,
D
1
)(
pP
11
2
M
,
к
откуда
M
2
к
p
1
D
1
кН.57,5
Следовательно,
= 2p1 = 11,14 кН;
P
1
= 3p1 = 16,71 кН.
Т
1
Аналогично поступаем с силами натяжения ремней шкива С.
После приведения их к центру вала получим горизонтальную равнодействующую
= P2 + p2 = 3p2,
T
2
также перпендикулярную к оси вала, и скручивающую пару, вызывающую момент в сечении С,
D
2
)(
pP
22
2
2
M
к
p
2
= 2p2 = 7,44 кН;
P
2
= 3p2 =11,16 кН.
T
2
D
2
M
;
к
кН;72,3
Построение эпюр изгибающих моментов. Вал изгибается
в двух плоскостях: в вертикальной от действия суммарного натяжения ремней шкива Е: T
вов G
= 3,00 кН и G2 = 450 кH, в горизонтальной от действия сум-
1
марного натяжения ремней шкива С: T
= 16,71 кН и собственных весов обоих шки-
1
= 11,16 кН. Поэтому эпюры
2
изгибающих моментов строим от вертикальных и горизонтальных
сил отдельно.
Построение эпюры М
от вертикальных сил. Расчетная схема
х
вала в вертикальной плоскости приведена на рис. 5, ж. Построение
эпюры начинаем с определения опорных реакций, которые предполагаем направленными вверх:
17
;0)()(;0
B
cGbGTbaVM
cbaGbaVaGTМ
.кН05,17
AB
cGbGT
)(
V
A
V
B
21
ba
BA
)()(
211
cbaGaGT
ba
211
;кН16,7
211
Обе реакции получились положительными, т. е. они действи-
тельно направлены вверх.
Проверка:
0
A
GVGTV
;
211
7,16 – 16,71 – 3 + 17,05 – 4,5 = 0.
Следовательно, реакции определены верно.
Строим эпюру изгибающих моментов. Момент на левой опоре
= 0.
M
A
Момент в сечении Е легко определяется через левые силы:
= VA a = 7,16 0,4 = 2,86 кН м.
M
E
Момент на правой опоре – через правые силы:
M
= –G2 c = –4,5 0,2 = –0,9 кН м.
B
Окончательный вид эпюры представлен на рис. 5, e.
Построение эпюры М
от горизонтальных сил. Расчетная схе-
у
ма вала в горизонтальной плоскости показана на рис. 5, ж.
Определяем опорные реакции.
Реакцию Н
направляем вниз, реакцию НВ – вверх:
А
;0)(0
AB
H
A
H
B
cT
ba
BA
)(
2
cbaT
ba
cTbaHM
2
;кН19,32
;0)()(0
2
cbaTbaHM
кН.35,14
Проверка:
THHX
2
BA
т. е. реакции определены верно.
Эпюру изгибающих моментов строим по точкам так же, как это
M
х
= 0;
A
:
делалось при построении эпюры М
= –HA a = –3,19 0,4 = 1,276 кН м;
M
E
18
;0)()()(;0
,016,1135,1419,300
= –T2 c = –11,16 0,2 = 2,23 кН м.
M
B
В окончательном виде эпюра представлена на рис. 5, з.
Напомним правило построения эпюр изгибающих моментов:
ординаты откладываются со стороны растянутых волокон. Что касается алгебраических знаков, то их можно не ставить, так как в условия прочности входят квадраты величин моментов.
Подбор сечения вала. Определяем необходимый
диаметр вала
в опасном сечении. Заслуживают внимания сечения Е и В, из которых наиболее опасным является сечение Е, где возникает суммарный
изгибающий момент:
2
и
x
2
MMM
y
м.кН135,3
Подставляя найденную величину и значение крутящего момента, определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения
вала, пользуясь третьей теорией прочности:
2
2
MM
к
III
W
тр
и
σ][
3
.cм5,35
Отсюда необходимый диаметр по формуле
32
W
3
W
D
тр
тр
3
π
тр
см.08,710
Принимаем вал диаметром D = 7,2 см = 72 мм.
Окончательно – 75 мм.
Пример № 3
Определить диаметр вала редуктора (рис. 6), передающего
мощность N = 75 кВт при частоте вращения 147 оборотов в минуту
с ведущим цилиндрическим косозубым колесом диаметром D
= 200 мм,
1
с углом наклона зуба = 12 и ведомым коническим колесом диаметром D
= 120 мм, с углом наклона образующей = 40. Вал изго-
2
товлен из стали 40Х. Требуемый коэффициент запаса прочности
n = 1,7. При расчете применять гипотезу наибольших касательных
напряжений.
19
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Рис. 6
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]