Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы высшей математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
Первая разность от решетчатой функции
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ностью 2-го порядка, или второй разностью.
n называется раз-
Разность k-го порядка решетчатой функции
следующим выражением:
Разность любого порядка можно выразить через значения решетча-
той функции
k
где
различных порядков.
из (1.22) получим
v
vk v
Саму решетчатую функцию возможно выразить через ее разности
Из уравнения (1.21) получим
n :
k
!
!( )!
2
nfn fn. (1.22)
kk k
nfn fn
kv
nfnkv
.
11
n
(1)
v
0
1
nfnfn ,
1
1
k
v
. (1.23)
, (1.24)
n определяется
22
nfnfnfn ,
из выражения (1.23) –
333
nfnfn fnfn ,
l
l
k
0
31
k
nl fn
2
23
k
. (1.25)
Примеры
f
f
f
f
f
F
f
F
F
f
F
na , consta
1.
2.
nn , определить разности функции:
2
23212,nn
32 2
nanb,, constab
3.
nan banbanabanba
2
10fn fn fn a a .
2
222 2
(1) 21 21,fn n n n n n n
(1) ( ) ,
, найти первую разность функции:
121121fn fn fn n n
1220.fn fn fn
0.fn a a
определить первую и вторую разности:
1.7.3. Суммирование решетчатых функций
Операция суммирования является обратной к вычислению конеч-
ной разности.
Пусть
1, 2...n
Требуется найти решетчатую функцию
является первой разностью:
n – решетчатая функция, которая определена при
n , для которой
1
n
nfk
k
,
( 1, 2...)n .
0
n
Функцию
ции
где
n .
Формула суммирования по частям имеет следующий вид:
nn
Uk Vk UkVk Vk Vk
kk
00
nUnVn
n называют первообразной для решетчатой функ-
0
k
1
kn
.
|1,
32
1.7.4. Разностные уравнения
x
x
x
x
x
x
Соотношение, связывающее решетчатую функцию
ности до некоторого порядка k
называют разностным уравнением.
Используя формулу (1.25) для нахождения конечных разностных
функций, выражение (1.26) можно преобразовать к виду
Если уравнение (1.27) содержит в явном виде функции
nk , то исходное разностное уравнение (1.26) называют уравнени-
ем порядка k.
В процессе приведения (1.26) к (1.27) функции
уничтожаться, тогда можно получить
Если заменить переменную n на m = n + 1, то получим
это уравнение является разностным уравнением порядка (k – 1).
Ф , , 1 , 2 0.nxn xn xn xn k
1
Ф , , 0,
nxn xn xn
Ф , 1 , 2 0.nxn xn xn k
2
Ф 1, , 1 0 ,mxmxm k
2
k
(1.26)
n и ее раз-
(1.27)
n могут взаимно
(1.28)
n и
Пример
32
nxnxnxnfn
введем m = n + 1, тогда получим
Таким образом, полученное уравнение является уравнением второ-
го порядка, при том, что оно содержит разность третьего порядка.
22
32 23 1 ,
nxnxnfn
22 13 1.xm xm xm f m
33
преобразуем к виду
Решетчатая функция
x
f
ство, является решением разностного уравнения.
Рассматривая всевозможные начальные условия, получим общее
уравнение как функцию произвольных постоянных
n , которая обращает уравнение в тожде-
, , ,
CC C
:
01 1
k
xn n C C C
число произвольных постоянных совпадает с порядком уравнения.
Можно рассматривать разностное уравнение относительно сме-
щенных решетчатых функций
Ф , , , , , 0
nxn xn xn xn
Чтобы получить решение разностного уравнения порядка k для произвольных значений , следует задать в качестве начальных условий k
функций переменной
:
Общее решение разностного уравнения зависит от k произвольных
функций, заданных при
, xn x ,
00
01
, , , , , ,
xn n C C C
, , , ,
,
01
:
01 1
, xn:
2
1, xn x
,
01 1
k
k
, 1,
xnk x
.
, 0 1
.
.
01
k
k
1.7.5. Линейные разностные уравнения
Однородные уравнения
Линейное разностное уравнение порядка k имеет следующий вид:
a n xn a n xn a n xn
rr
or
11
anxn fn r k
r
1
...
, ( ).
Данное уравнение является неоднородным разностным уравнени-
ем, если правая часть
случае уравнение называют однородным разностным уравнением.
Рассмотрим общие теоремы, которые аналогичны для линейных
дифференциальных уравнений.
n не равна тождественно нулю; в противном
34
Теорема 1. Если решетчатые функции
x
решением линейного разностного уравнения
,,
nn являются
1
l
xn k b nxn k b nxn
1
10,
k
тогда функция
l
nCn
ii
1
i
также является решением.
, , ,
Решетчатые функции
зависимыми, если существуют такие постоянные числа
nxn xn называются линейно
12
k
, , ,
CC C
,
12
k
среди которых, по крайней мере, одно отличается от нуля, тогда для
всех значений справедливо соотношение
Cx n C x n C x n
11 2 2
.
kk
0
Если данное уравнение может быть выполнено лишь при
CC C , то решетчатые функции называют линейно неза-
12
0
k
висимыми.
Теорема 2. Если при
, , ,
решений
nn n однородной системы решетчатых
12
nn существует фундаментальная система
0
k
уравнений, то общее решение этого уравнения выражается следующей
формулой:
k
nCnnn
.
1
i
ii
, ( )
0
1.7.6. Системы разностных уравнений
Системы разностных уравнений имеют следующий вид:
1
Ф , ,, , ,,
nx n x n x n
112
i
2
kkl
,, ,, 0,
xn xn xn
2
k
il
35
(1.29)
переходя от разности к решетчатым функциям, получим
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Ф , ,, 1 , ,, 2 ,,
nxn xk nxn xk n
11 2 2
i
,, 0
Если система разностных уравнений (1.30) содержит в явном виде
функции
отношению к решетчатой функции
Сумма порядков системы относительно каждой функции
,,
nxn называют порядком системы разностных уравнений.
2
Решение системы разностных уравнений (1.29) – это совокупность
решетчатых функций
ния системы в тождество.
Систему разностных уравнений можно привести к нормальному
виду, если ввести новые решетчатые функции
тогда
n Fnxnxnxn
1101
ik ik lk
iil
Получим систему разностных уравнений первого порядка, которую
называют нормальной системой разностных уравнений.
Порядком нормальной системы разностных уравнений называют
число k ее уравнений.
Будем рассматривать следующую систему линейных разностных
уравнений:
n и
i
l
xn xnxn xn x n xnk
,
011 1
iii ik iki
nxn ,
01ii
1, ,, ,, .
xn xkl n
il
nk , то ее называют системой порядка k по
ii
, 1 , , 1
, , ,
nxn xn , обращающих все уравне-
12
1
nxn ,
12
ii
n .
i
l
. (1.30)
ik ik
1
1
1
nxn
21
ii
,xn
,
k
Система является неоднородной, если функция
не равна нулю; если же
1
nanxfn
ij j i
j
1
fn, то система является однородной.
0
i
36
, 1, , ik
. (1.31)
n тождественно
i
Систему (1.31) можно записать в векторной форме:
X
xnx
xn
fnf
fn
x
1,
где
An
nAnXnFn
an an an
11 12 1
anan a n
21 22 2
anan a n
11
kk kk
k
k
;
Xn
1
n
2
Fn
;
k
1.7.7. Однородные системы линейных
разностных уравнений
Система однородных линейных разностных уравнений в векторно-
матричной форме записи будет иметь следующий вид:
1
n
2
k
.
Совокупность k линейно независимых решений системы однород-
ных разностных уравнений (1.32) порядка k называют фундаменталь-
ной системой решений.
Общее решение системы (1.32) имеет вид
const,
C 1, 2, , ik .
где
i
1XnAnXn . (1.32)
nCn
i
k
1
ii
,
1.7.8. Неоднородные системы линейных
разностных уравнений
Теорема. Общее решение линейной неоднородной системы раз-
ностных уравнений равно сумме ее частного решения
решения соответствующей однородной системы уравнений (1.32).
k
nnCn
,
37
i
ii
1
n и общего
или
X
x
1
n
xn X nC K n k f k n
k
, , ( 1)
0
,
где
ментальной матрицы системы (1.32);
решение системы примет вид
n – матрица, столбцы которой образованы векторами фунда-
1
.
,
, тогда частное
0C
При нулевых начальных условиях
1
n
nKnkfk
0
k
, 1Knk XnX k
00X
,
.
1.8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.8.1. Основные сведения
Событие – результат опыта или наблюдений (например, отсут-
ствие бракованных деталей в партии, выход из строя прибора и т. п.).
Если событие при эксперименте обязательно должно произойти, то
оно называется достоверным (например, выбор годной детали из партии доброкачественных деталей).
Если известно, что в результате опыта событие не произойдет, то
оно называется
Случайное событие – событие, которое в результате опыта может
произойти, а может и не произойти.
Элементарное событие – каждый исход одного опыта.
Всякое событие можно разложить на совокупность элементарных
событий, и наоборот, всякое событие есть совокупность (множество)
элементарных событий.
Совокупность (множество) всех элементарных событий
вают пространством элементарных событий, а элементарные собы-
тия
являются точками этого пространства.
В дальнейшем события будем обозначать прописными латинскими
буквами (А, В, С…).
невозможным.
назы-
38
Несовместимые события – два события А и В при заданном ком-
плексе условий S, если при данном комплексе условий появление одного из них исключает появление другого.
Пример
При бросании монеты пространство элементарных событий состоит из двух точек:
– выпадение орла (О),
1
– выпадение решки (Р);
2
при трехкратном бросании монеты пространство событий состоит
из восьми точек:
– выпадение ООО;
1
РРО;
– РОР; 7 – ОРР;
6
– ОРО;
2
– РРР.
8
– ООР;
3
– РОО;
4
5
–
Пространство элементарных событий может состоять из конечного
числа точек, такое пространство называют конечным, или из бесконечного счетного – счетное пространство, или бесконечного несчетного
числа точек – непрерывное (несчетное) пространство.
1.8.2. Алгебра событий
Введем следующие обозначения:
A – событие
A – элементарное событие не принадлежит А.
Событие А влечет за собой событие В, если при наличии события
А обязательно произойдет событие В
входит в событие А;
AB .
Если событие А влечет за собой В, а В влечет за собой событие А,
то такие события называются эквивалентными.
Объединением, или суммой, двух событий А и В называют такое со-
бытие С, которое
состоит в осуществлении А или В, или А и В вместе:
CAB
, или CAB.
Если событие С эквивалентно объединению n-штук событий
, ,
AA A , тогда
12
n
n
CA
, или
i
1
i
39
n
CA
.
i
1
i
Пересечением или произведением двух событий А и В называют со-
A
A
A
A
A
A
A
бытие С, которое состоит в осуществлении и А и В:
CAB
Если событие С эквивалентно пересечению n-штук событий
, ,
AA A , тогда
12
Событие
изойдет, называется противоположным.
Обозначим:
U – достоверное событие, V – невозможное событие.
Для противоположных событий А и A справедливы
Правила выполнения операций над событиями:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) AV A;
11) AU A ;
12)
13)
14)
15)
n
CA
, которое заключается в том, что событие А не про-
AA
;
AA
;
BBA
BBA
ABC ABC;
ACB ABC ;
AB C AB AC ;
ABC ABAC;
;
;
UU;
VV ;
AA ;
_____
AB AB;
AB A B;
или CAB
n
, или
i
1
i
;AA V AAU
.
n
CA
.
.
i
i
1
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]