Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы высшей математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
составим матрицу D из указанных выше матриц A, B и C, которая бу-
дет иметь следующий вид:
AB
Daab
C
aab
11 12 11
21 22 21
ccc
11 12 13
.
Квазидиагональная матрица – блочная матрица, по главной диаго-
нали расположены квадратные матрицы, а все остальные нули.
A
AAAA
000
11
000
A
12
00 0
000
A
diag( )
nn
11 12
nn
.
Математические операции с использованием матриц, рассмотренные ранее, распространяются на функциональные и блочные матрицы.
1.1.5. Системы линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:
ax ax ax b
11 1 12 2 1 1
ax ax ax b
21 1 22 2 2 2
ax a x a x b
11 2 2
mm mnnm
nn
nn
Представим данную систему уравнений в векторно-матричной
форме:
,AX B
где
aa a
11 12 1
aa a
21 22 1
A
aa a
11
mm mn
n
n
– собственная матрица системы;
,
,
.
11
x
xXx
xV
x
x
x
1
2
– вектор-столбец неизвестных;
n
b
11
b
2
B
C
– вектор-столбец свободных составляющих;
b
m
c
1
c
2
– вектор-столбец решения системы.
c
n
Система является совместной, если она имеет решение. Если система не имеет ни одного решения, то она является несовместной.
Совместная система линейных уравнений является определенной,
если она имеет только одно решение, в противном случае она является
неопределенной.
1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Рассмотрим n-мерное пространство (
Оператором или преобразованием пространства
правило, при котором каждому произвольному вектору
ся в соответствие единственный вектор y, тогда
, y – образом вектора x.
зом
Обозначим
– преобразование (оператор).
V
).
n
V
называют
n
n
является прообра-
Линейное преобразование (оператор) – это преобразование, при ко-
тором выполняются следующие условия:
yxy
1) аддитивности – ( )
2) однородности – ( ) ( )
;
,
x
12
const
.
ставит-
Таким образом, линейное преобразование переводит сумму векто-
x
x
x
x
x
ров в сумму образов, а произведение на число – в произведение образа
этого вектора на это же число.
Введем обозначения:
, , ,
ee e – базис n-мерного векторного пространства (nV );
12
– линейное преобразование;
, , ,
ee e
12
n
– образы базисных векторов, тогда
n
eeaeae ae
11111 212 1
eeaeae ae
22121222 2
,
nn
nn
,
eeaeae ae
nn n n nnn
11 2 2
.
На основе системы уравнений составим матрицу
aa
11 1
A
aa
nnn
1
n
– матрица линейного оператора .
Операции над операторами:
1) произведение двух операторов
и ()
–
представляет собой последовательное преобразование вектора
ла одним оператором
2) ( ) ( )
xx , где const
3) ( ) ( )
, а затем ;
;
x .
Свойства операторов (линейных преобразований):
kk
1)
ii i i
ii
11
00 , 0 – нулевой вектор;
2)
3)
()
x , ( )
()
x
;
– противоположный вектор.
xx
x снача-
13
1.3. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
x
_
x
x
x
x
x
A
Рассмотрим линейное пространство
V , где , xy – векторы этого
n
пространства.
Евклидово пространство – это вещественное линейное унитарное
пространство, если в нем каждой паре векторов
ответствие число (, )
x и y, для каждого выполняются следующие условия:
ров
1)
(, ) ,
yxy
y , называемое скалярным произведением векто-
___
, где черта сверху означает комплексно-сопря-
x и y поставлено в со-
женное число;
2) ( , ) ( , )
3)
4) ( , ) 0
yxy , где
( , ) ( , ) ( , )
xy xy xy ;
12 1 2
xx , 0x
.
– произвольное комплексное число;
Скалярный квадрат вектора – это скалярное произведение (, )
вектора на самого себя.
1.3.1. Норма матрицы и экспоненциальная матрица
Норма вектора – это длина вектора x, заданная в некотором орто-
гональном базисе
, , ,
ee e .
12
(, )
xx x
n
n
2
i
i
1
– эвклидова норма вектора.
x
Норма матрицы А (
dim
) – это сумма модулей ее элемен-
mn
тов.
mn
Aa
ij
11
.
ij
Норма матрицы обладает следующими свойствами:
1)
cA c A ,
AB A B ,
2)
AB A B .
3)
14
Сумма ряда (S) – это матрица, элементы которой являются сумма-
A
A
A
A
_
x
ми рядов, составленных из элементов матрицы
SA
.
0kk
:
k
Экспоненциальная матрица (
(dim
Ann) будет определяться следующим образом:
2
A
eE
AA A
1! 2! !
e ) для квадратной матрица А
k
– сумма рядов.
k
0
k
Также справедливо:
kl kl
()
BAB
ee e
,
AB
ee
AB AB
!! !!
kl kl
kl kl
00 00
.
1.3.2. Симметричные и ортогональные преобразования
Эрмитова матрица – это квадратная матрица ijAa
(
dim
nn), если ее элементы подчиняются условию
это такая матрица, которая не изменится, если ее транспонировать и
заменить ее элементы комплексно-сопряженными числами.
Эрмитова матрица с действительными элементами называется
симметричной.
Для симметричной матрицы справедливо
Симметричное преобразование (
) – линейное преобразование
AA
.
T
пространства, задаваемое при некотором ортонормированном базисе
(образует ортонормированную систему векторов) эрмитовой матрицей
_
aa
ij ij
, т. е.
(, )(, )
yxy
,
x, y – произвольные векторы пространства nV .
где
Теорема. Все характеристические числа эрмитовой матрицы дей-
ствительны.
15
Ортогональная матрица – это матрица, у которой транспониро-
B
x
f
ванная матрица равна обратной, т. е.
T1
B
.
Ортогональное преобразование – это линейное преобразование
евклидова пространства
, , ,
ee e задается ортогональной матрицей.
12
n
V
, которое при ортонормированном базисе
n
Справедливо также следующее равенство:
(, ) ( , )
yxy
.
1.4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1.4.1. Основные свойства квадратичной формы
Квадратичной формой (, )
xx называют функцию вектора x, ко-
торая представляет собой однородный многочлен второй степени относительно координат этого вектора, т. е.
nn
где ,
– координаты вектора x в некотором базисе.
ij
(, )
fxx a
11
ij
, (1.2)
ij i j
Матрица квадратичной формы – матрица, составленная из коэф-
фициентов квадратичной формы.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы.
Если матрица
формы равен
А невырожденная (det A
0), то ранг квадратичной
n и такая квадратичная форма является невырожденной.
1.4.2. Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма вида (1.2) с помощью линейного преобразования с ортогональной матрицей
скому виду
где
, , ,
– собственные значения матрицы квадратичной
12
n
fxx
формы.
С может быть приведена к канониче-
n
i
2
, (1.3)
ii
1
(, )
16
Если матрица квадратичной формы имеет диагональный вид
diag( , , , )
A
,
12
n
то ей соответствует квадратичная форма, приведенная к каноническому виду (1.3).
1.4.3. Положительно определенные квадратичные формы
Положительно определенная квадратичная форма – это квадра-
тичная форма
го положительное значение при всякой ненулевой системе действительных значений переменных.
Если же эта квадратичная форма принимает строго отрицательные
значения при любой ненулевой системе действительных значений переменных, то она называется
В остальных случаях квадратичную форму называют
.
ной
Диагональный минор матрицы А – это минор, диагональные эле-
менты которого являются диагональными элементами матрицы
Главный диагональный минор матрицы А порядка k – это минор,
составленный из первых «
Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма (1.2) поло-
жительно определена тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее матрицы
Данный критерий позволяет исследовать устойчивость системы автоматического управления, т. е. исследовать, является ли заданная
квадратичная форма положительно определенной.
Пример:
122
A
203
232
Необходимо исследовать данную форму критерием Сильвестра:
110,
240
, поэтому в соответствии с критерием Сильвест-
ра квадратичная форма не является положительно определенной.
n переменных (координат), которой принадлежит стро-
отрицательно определенной.
неопределен-
А.
k» строк и «k» столбцов матрицы А.
А строго положительны.
– матрица квадратичной формы.
12
20
17
1.5. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
x
x
x
x
x
xXx
f
F
УРАВНЕНИЙ
1.5.1. Нормальная система дифференциальных уравнений
Если в дифференциальные уравнения вида
()
n
, , , , 0
Ftxx x
входит n неизвестных
(, , , )
xx , тогда будем иметь систему диф-
12
n
ференциальных уравнений.
Каноническая система дифференциальных уравнений – это система, которую можно разрешить относительно старших производных
() ( )
mm
12
, , ,
xx x .
12
()
m
n
n
Нормальная система дифференциальных уравнений – это система,
из n-штук уравнений 1-го порядка:
(, , , ),
ftx x
где 1, 2 , , in
.
11 1
ftx x
22 1
ftx x
ii n
n
(, , , ),
n
(, , , ),
1
(1.4)
Систему (1.4) представим в векторной форме:
(, , , )
1
2
(, )
Ft x
,
ftx x
i
ftx x
11
(, , , )
tx x
21
n
n
,
(, , , )
1
in
тогда получим
dX
(, )
tx
. (1.5)
dt
18
Решением системы (1.4) на интервале называют совокупность
x
F
F
xt
x
f
f
f
()
t
n-штук функций
ii
, определенных на интервале, и таких, что
подстановка их в систему (1.4) обращает каждое уравнение системы в
тождество на всем интервале
Если вектор-функция
.
явно не зависит от времени t, т. е. система
дифференциальных уравнений (1.5) примет вид
dX
()
x
,
dt
то такая система уравнений называют автономной (стационарной).
Задача Коши
Найти решение (()
ных уравнений (1.4), определенное на некотором интервале
жащее точку
t и удовлетворяющее условиям
0
, itx – это заранее известные начальные значения, условие (1.6)
где
00
,
ii
()
tx
(
00
ii
1, 2, , in
1, 2, , in
) системы дифференциаль-
), (1.6)
, содер-
является начальным условием.
Если ввести в рассмотрение (1)n
-мерное пространство, то задача
Коши заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей
через заданную точку в (1)n
-мерном пространстве.
1.5.2. Теорема существования и единственности
Условие Липшица для одного уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение (, )
Функция (, )
tx будет удовлетворять условию Липшица по х в за-
мкнутой области G, если для любой пары точек
справедливо
ftx
.
(, )tx , 2(, )tx G
1
(, ) (, )
tx ftx Lx x,
1212
где constL – постоянная Липшица.
Теорема. Пусть функция (, )
tx задана на замкнутой области G,
непрерывна в ней по t и удовлетворяет условию Липшица по х. Тогда
можно указать такой интервал
на оси t, содержащий точку 0t , на
19
которой существует, и притом единственное решение ()xt уравне-
x
f
x
f
f
x
ния, удовлетворяющее начальным условиям.
Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
(1.4).
Общим решением системы в области G называют совокупность
n-функций
(, , , , )
tC C C
ii n
12
, 1, 2, , in
,
из которого путем выбора произвольных постоянных
(, ,, )
CC C
12
n
можно получить любое решение, принадлежащее области G.
Условие Липшица для системы дифференциальных уравнений:
функция
сти G по переменным
что для любой пары точек
(, , , )
tx x удовлетворяет условию Липшица в обла-
1
n
(, , )
x , если существует такое число 0L ,
1
n
(, , , )
tx x ,
1
n
1
(, , , )
tx x G
n
выполняется
неравенство
n
(, , , ) (, , , )
tx x ftx x L x x
11
nnii
i
1
.
Теорема. Пусть задана нормальная система уравнений (1.4), при-
чем функция
Липшица по
(, , , )
tx x непрерывна по t и удовлетворяет условию
1
(, , )
1
n
x в некоторой области G. Тогда существует и
n
притом единственное решение системы уравнений, удовлетворяющее
начальным условиям, определенное на некотором интервале
держащем точку
t .
0
, со-
1.5.3. Нормальная линейная система
дифференциальных уравнений
Линейной системой дифференциальных уравнений называют систему уравнений, в которую неизвестные функции и их производные
могут входить только в первой степени.
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид
n
dx
i
dt
() (),
atx ft
ik k i
k
1
1, 2, , in . (1.7)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]