Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные главы высшей математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
Приведем систему (1.7) к векторно-матричной форме записи:
x
xXx
ftf
ft
1
2
,
()
Ft
i
()
1
()
t
2
,
aa
11 11n
A
,
aa
i
()
nnn
тогда получим
dX
AX F t
. (1.8)
()
dt
1.5.4. Общее решение линейной однородной системы
() 0
Систему (1.7) называют однородной, если
следующий вид:
dX
. (1.9)
AX
dt
Теорема. Совокупность всех решений
зует линейное пространство размерности n.
Решение ()t может быть представлено единственным образом:
() () () ()
tC tC t C t , (1.10)
11 2 2
ft
i
t
nn
, и она имеет
системы (1.9) обра-
C – это произвольная постоянная, определяющая начальные усло-
где
i
вия, любое решение может быть задано в виде (1.10) и будет называться общим решение системы.
Запишем решение в развернутом виде:
() () () (),
tC tC t C t
1111221 1
() () () (),
tC tC t C t
2112222 2
() () () ().
tC tC t C t
nn n nnn
11 2 2
21
nn
nn
(1.11)
Любую систему, состоящую из n линейно независимых решений,
x
X
X
X
образующую базис пространства, называют фундаментальной систе-
мой решений.
1.5.5. Линейная неоднородная система
Рассмотрим линейную неоднородную систему уравнений (1.8) и
соответствующую ей однородную систему (1.9).
Общее решение системы будет иметь следующий вид:
n
() () ()
tCtt
где
C – это произвольная постоянная, определяющая начальные усло-
i
вия; ( )
t – фундаментальная система решений системы (1.8); ( )t –
i
произвольное решение системы (1.9).
Формула Коши:
при помощи формулы Коши можно выразить решение линейной
неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений, соответствующую однородной линейной системе.
Составим матрицу, используя фундаментальную систему решений
системы (1.9):
,
ii
i
1
()
Xt
1
11 12 1
21 22 2
nn nn
11
n
n
.
Получим следующую матрицу
1
(, ) () ( )
tt XtX t
,
010
(, )
где
.
tt – фундаментальная матрица системы; 0(, )Xt t
0
1
() ( )
tX t E
10
22
Тогда получим
X
X
X
X
x
x
t
() (, ) (, ) ()
tXttX XtFd
00
0
. (1.12)
Выражение (1.12) представляет собой формулу Коши и позволяет
найти решение ()
творяющее заданным начальным условиям
фундаментальная матрица
t неоднородной системы уравнений (1.8), удовле-
()
tX, если известна
00
(, )
tt однородной системы (1.9).
0
1.5.6. Линейное уравнение n-го порядка
Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий вид:
где
nn
() () () (),
atx atx atx ft
01
() 0at , 0(), , ()
0
at at – непрерывные функции.
n
1
n
(1.13)
Однородное уравнение имеет вид
nn
() () () 0.
atx atx atx
01
1
(1.14)
n
Уравнения (1.13) и (1.14) путем введения вспомогательных пере-
1
менных
12
можно свести к системам урав-
, , ,
xx x x x
n
n
нений:
dx
1
x
,
2
dt
dx
2
x
,
3
dt
(1.15)
dx a
nn
dt a a
1
o
23
a
1
xft
n
0
();
x
f
x
xXx
dx a
nn
dt a a
или в векторной форме записи
dx
dx
dt
dt
o
1
x
,
2
2
x
,
3
(1.16)
a
1
,
1
x
n
0
dX
AX F t
dt
()
и
dX
dt
,
AX
где
010 0
001 0
A
000 1
aa
nn
aa a
00 0
1
0
0
,
Ft
,
0
()
a
t
()
0
a
1
Рассмотрим систему (1.16), задав начальные условия. Тогда система будет иметь решение согласно теореме единственности:
()
t
1
()
t
2
n
.
()
t
()
t
1
2
.
n
24
Неоднородное линейное уравнение (1.13) сводится к линейной си-
x
x
x
x
стеме (1.15), поэтому общее решение примет вид
n
() () ()
tCtt
iii
,
i
1
где
()it
– фундаментальная система решений уравнения (1.14);
произвольные постоянные; ( )t
(
1, , in
).
– частное решение уравнения (1.13)
C
–
i
Для уравнения (1.13) справедлива формула Коши.
(, )
Составим решение
xt уравнения (1.14), которое удовле-
1
творяло начальным условиям:
n
(, ) ( ) ()
tCt
.
1
ii
i
1
Тогда решение уравнения (1.13), удовлетворяющее начальным условиям, задается формулой Коши
t
() () (, ) ( )
ttxtfd
.
1
t
0
1.5.7. Понижение порядка линейной однородной системы
дифференциальных уравнений
Однородная линейная система дифференциальных уравнений вы-
глядит следующим образом:
.dXAX
(1.17)
dt
(), ()
tt
Если известны r линейно независимых решений
1
си-
r
стемы (1.17) ( )rn , то порядок может быть понижен на r.
Пусть r = 1, тогда
()
t
11
()
Xt
1
– решение системы (1.17).
()
t
n
1
25
Решение системы (1.17) будем искать в виде
X
() ,
UtY
где U – неизвестная функция;
(1.18)
1
Y
функция.
Подставим выражение (1.18) в (1.17):
()
dU dY
() () .
11
dt dt dt
dt
tU AU tY
1
0
y
2
– неизвестная вектор-
y
n
Так как
()t – решение системы (1.17), тогда получим
1
()
dU dY
(1.19)
() .
1
dt dt dt
dt
tU AY
1
Запишем уравнение (1.19) по координатам, выделив первое урав-
нение
Выразим
dU
11 1
dt
dy
i
dt dt
k
dU
и подставим его в последнее уравнение системы:
n
() ,
tay
kk
2
k
n
ay i n
2
dU
ik k i
, ( 2, 3, , ).
1
dt
ba a
где
ik ik k
11
dy
()
t
1
i
()
t
.
1
dt
n
i
by
2
,
(1.20)
ik k
k
26
Система решений уравнений (1.20) имеет порядок ()(1)nr n
E
x
x
f
f
f
таким образом, если известно хотя бы одно решение системы, то порядок такой системы понижается на единицу.
,
1.6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
На множестве Е комплексной плоскости задана функция ком-
плексной переменной
значению множества Е ставится в соответствие одно или несколько
комплексных чисел z.
Представим функцию в символической форме записи:
, если задано правило, по которому каждому
()zf
.
Множество Е называется множеством определения функции ()f
Рассмотрим случаи, когда:
1) каждая точка множества Е является внутренней точкой;
2) любые две точки множества Е можно соединить ломаной, состо-
ящей из точек множества.
Функция ()f называется однозначной, если каждому значению
соответствует только одно комплексное число z.
Если каждому значению
()f называют многозначной.
Зададим:
za jb – комплексное число;
jy – комплексная переменная; j – мнимая единица.
Задание функции ()f
ствительных переменных
() () (, ) (, )
где (, )ax y – действительная часть функции; ( , )bx y – мнимая часть
функции, которая определена в области G.
Рассмотрим некоторую последовательность чисел
юся в точке
значений ()
z , и соответствующую ей последовательность
0
z .
соответствует несколько значений z, то
равносильно заданию функций a и b дей-
и y , т. е.
z axy jbxy
,
z , сходящу-
n
()
x
n
.
27
Сходимость последовательности
N
f
f
f
z определяется критерием
n
Коши.
Для сходимости последовательности
но, чтобы для любого числа 0m существовал такой номер ()
чтобы
zz m
для ()nNm и любого числа 0c .
nnc
Функция ()zf имеет предел
числа
что из неравенства
вами, образы точек, лежащих в
в m -окрестности точки
можно указать такое число
0m
zz следует 0()fzm
0
-окрестности точки 0z , расположены
.
0
Функция ()zf называется непрерывной в точке
для любого 0m можно указать такое число 0
и
z ), что при выполнении 0zz должно выполняться неравен-
0
ство
() ( )
zfz m.
0
Функция ()zf называется непрерывной в точке
любой последовательности
z , сходящейся в точке
n
ствующая последовательность значений функции
точке
z .
0
z необходимо и достаточ-
n
в точке 0z , если для любого
0
(зависящее от m и 0z ),
0
или, иными сло-
z , если
0
(зависящее от m
z , если для
0
z , соответ-
0
()
x сходится в
n
m ,
Функция ()zf называется непрерывной в области G, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Если () (, ) (, )
(, )bx y являются непрерывными функциями, то функция ()zf
ax y jbx y , то следует, что если (, )ax y и
также непрерывна.
Свойства непрерывной функции комплексной переменной:
1) сумма непрерывных функций есть непрерывная функция;
2) произведение двух непрерывных функций есть функция непре-
рывная;
3) модуль непрерывной функции достигает в замкнутой ограни-
ченной области своего наибольшего и наименьшего значения;
4) функция, непрерывная в замкнутой области, равномерно непре-
рывна в этой области.
28
1.7. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
f
f
1.7.1. Решетчатые функции
Решетчатая функция – это функция, которая определена только в
некоторых точках
Будем рассматривать функции, определенные только в равностоя-
щих точках
где n – любое целое число; T – постоянная, называемая периодом
дискретности.
Обозначают решетчатую функцию как
, tt...
12
tnT
,
nT (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Графическое изображение решетчатой
функции
Любой непрерывной функции ()ft можно поставить в соответ-
ствие некоторое множество решетчатых функций, если t представить
в виде tnT T (0 1)
При каждом фиксированном значении
сматривать как решетчатую функцию, определенную в точках
(1)T , ( 2)T …, такие функции называются смещенными решет-
чатыми функциями (рис. 1.2).
.
29
nT T можно рас-
,T
Обозначают смещенную решетчатую функцию как
f
f
f
f
f
,
nT T.
Рис. 1.2. Графическое изображение сме-
щенных решетчатых функций
nT T
Изменяя переменную от 0 до 1, можно получить множество
,
смещенных решетчатых функций
ной непрерывной функции.
nT T , соответствующих дан-
1.7.2. Конечные разности решетчатых функций
Рассмотрим следующее уравнение:
Выражение (1.21) называется конечной разностью 1-го порядка ре-
шетчатой функции
nfn fn . (1.21)
n .
1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]