Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Системный анализ. Учебное пособие для бакалавров и специалистов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

принимается после проведения маркетингового исследования, в ходе которого собирается информация о предпочтениях потребителей, поведении конкурентов и других факторах.

Во-вторых, ЛПР может действовать по аналогии с прошлым опытом для того, чтобы сделать предположения о вероятности или об ожидаемых значениях неопределенных факторов. Например, если экономическая и политическая ситуации на протяжении долгого времени оставались стабильными, то можно предположить, что в ближайшей перспективе они существенно не изменятся. Использование прошлого опыта необходимо, когда не хватает времени на сбор дополнительной информации или затраты слишком велики.

В-третьих, неслучайные факторы иногда удается перевести в разряд случайных с помощью рандомизации. Под рандомизацией понимают искусственное введение случайности в ситуацию, где она отсутствует. Например, принятие решения о разработке нового товара может зависеть от того, какую стратегию поведения на рынке выберет основной конкурент. Точная стратегия конкурента неизвестна, но и неслучайна. Однако можно выдвинуть ряд гипотез об основных вариантах поведения конкурента и предположить, что в пределах этого набора он будет применять смешанную стратегию на основе некоторого распределения вероятности, которое введено на множестве так называемых чистых стратегий. Такой прием используется, если ситуация выбора описывается с помощью игровых моделей, в частности матричных игр. Далее, после рандомизации, проблемную ситуацию можно исследовать, используя методы теории вероятностей и математической статистики.

Выявление источников и природы неопределенности необходимо для разработки адекватных моделей выбора и методов оценки риска в задачах принятия решений. Для принятия решений применяют методы теории полезности и теорию игр.

3.2. Случай известных вероятностей. Выбор в условиях риска

Рассмотрим задачу выбора, когда решение может привести не к одному, а к нескольким результатам с разными вероятностями их осуществления. Если эти вероятности известны, то сложность задачи будет зависеть от количества показателей системы.

Рассмотрим процесс принятия решения (в случае одного показателя) с точки зрения теории полезности (полезности ожидаемых результатов).

В теории полезности исходят из того, что эффективность системы основана на выборе альтернатив. Формально сравнивать альтернативы

 

auau 

du 

Cxbu  ln

1 Cb

xu ln

eb lg

xu lg

 

dxubdu  1

затруднительно, поскольку могут применяться разные показатели и разные шкалы. Вводят искусственную меру – полезность альтернатив. Альтернативы можно сопоставить друг с другом и привести к цифровой шкале.

Полезность, или показатель полезности, – это действительное число, приписываемое конкретному результату, например рабочей характеристике или состоянию системы, и представляющее собой оценку значимости этого результата по восприятию определенного человека или группы людей. Можно построить функцию полезности, которая позволяет сравнивать альтернативы:

полезности, определенная на множестве альтернатив;

если альтернатива

При наличии единственного оптимизируемого критерия и определенной связи между вариантами решения и значением этого критерия (ЦФ, или функции полезности) мы имеем задачу ЛП или НЛП. В реальных задачах однозначно определить вид функции полезности часто не представляется возможным. Рассмотрим это на простом примере.

Более 200 лет назад Бернулли, рассматривая вопрос о полезности богатства, пришел к выводу, что заданное приращение богатства не обязательно принесет строго определенное приращение счастья (удовлетворения). Напротив, чем бóльшим богатством обладает человек, тем меньше будет добавка полезности на определенную величину приращения богатства, т.е. миллионер получит от подарка в 100 долларов гораздо меньшее удовлетворение, чем бедняк. Бернулли предположил, что приращение полезности обратно пропорционально богатству человека, и вывел формулу

полезней, чем альтернатива

– числовая функция

где

– полезность богатства, x – богатство, b – коэффициент

пропорциональности. Интегрируя, получаем положить

Предположим, что приращение полезности пропорционально и приращению полезности, которого не хватает для «полного счастья», и приращению количества денег. Это значит, что если кто-то испытывает полное удовлетворение от имеющегося богатства, то приращение богатства уже не дает человеку приращение удовлетворения. Тогда мы можем записать следующую зависимость:

, то

, а если

, то

. Если

1u

0u

0x

bxeu



BA 

CB 

CA 

BA 

CB 

CA 

p1

'1 p

1-рр’1-р’

ВСА

(1-р)( 1-р’)

(1-р)р’

где

соответствует случаю полного удовлетворения. Приняв

для

, в результате интегрирования получим

Эта функция также описывает более медленное изменение полезности, чем линейная.

Такие функции полезности могут использоваться для оценки предпочтительности той или иной альтернативы (варианта решения). Различный вид функций полезности может отражать разные психологические установки людей, условия окружающей среды, влияющие на решение, и т.п.

Доказать существование функции полезности для каждого множества альтернатив сложно. Однако с учетом предпочтений ЛПР такая функция может быть получена на основе аксиом теории полезности.

Аксиомы теории полезности для ряда вероятных событий A, B, C сводятся к следующим:

1) измеримость – с каждым альтернативным исходом может быть

сопоставлено действительное положительное число – мера

полезности;

2) сравнимость – два любых исхода сравнимы;

3) транзитивность: если

, то

; если

(т.е. А предпочтительнее, чем В) и

(т.е. А эквивалентно В) и

, то

;

4) случайное событие предпочтительнее других только в том

случае, когда вероятность связанного с ним более желательного результата выше, чем вероятность менее желательного результата;

5) при выборе решения может быть учтен дополнительный риск,

например в ситуации, когда событие А происходит с вероятностью р, а с вероятностью

либо событие C с вероятностью

происходит либо событие В с вероятностью 'p,

(рис. 3.1);

Рис. 3.1. Эквивалентные представления с учетом дополнительного

риска

CBA 

10  p

 

 

CpApB ,1;,~ 

BA 

   

BuAu 

102 

6) если событие В по предпочтительности занимает промежуточное место между событиями А и С (т.е. соотношение эквивалентности между событиями А или С – существует такая вероятность р при

На основе этих аксиом для некоторой переменной может быть

определена единственная функция полезности, которая должна удовлетворять следующим условиям: если

полезность события А больше, чем полезность события В, когда А предпочтительнее В.

3.3. Дерево решений

Процесс выбора при наличии риска может быть представлен в виде

графа – так называемого дерева решений. Дерево решений показывает решения, которые могут быть приняты, возможные результаты и вероятности получения этих результатов при осуществлении каждого из этих решений.

Пример. Предположим, что предприниматель рассматривает

вопрос о разработке и выпуске новой продукции. Если продукция будет принята покупателем, предприниматель получит прибыль, но, если продукция не будет пользоваться спросом, он не оправдывает своих затрат. Предприниматель исходит из того, что его новая продукция будет распродана с вероятностью 50 %. Ему поступило предложение поручить другой фирме обследование рыночного спроса с соответствующей оплатой этой работы. Анализируя предшествующие отчеты, предприниматель может быть уверен на 90 %, что если эта фирма даст рекомендацию на освоение новой продукции, то она будет принята покупателем. Следовательно, он имеет следующие варианты выбора решения:

– оставить ассортимент продукции прежним; – разрабатывать новую продукцию; – прежде заплатить за изучение рыночного спроса и затем

последовать рекомендациям фирмы.

Дерево решения, соответствующее этой задаче, представлено на

рис. 3.2.

На концах ветвей проставлены значения возможной прибыли при каждом из трех решений при условии, что в случае изучения рыночного спроса фирме, проводящей такое исследование, надо

заплатить

Если сопоставить с каждой из ветвей (решением), соответствующей определенному результату, некоторую вероятность, то можно рассчитать полезность каждого решения.

руб.

, что

), то можно установить

, то и

, т.е.

Сохранение производства существующей продукции

Внедрение новой

продукции

Успех

Изучение рыночного

спроса

1,0

2,0

0,6

1,8

0,4

0,8

Неудача

Успех

Неудача

Рекомендация производить

новую продукцию

Рекомендация не производить

новую продукцию

Чистый доход,

руб., 10

99,01P

01,02P

5,021 PP

точка, в которой необходимо принять решение; точка, в которой может быть получен случайный результат.

Рис. 3.2. Дерево решений

3.4. Энтропия системы. Принцип максимизации энтропии

В рассмотренном ранее примере существовала возможность дать рекомендации для выбора решения, поскольку были известны вероятности случайных событий. Однако часто возникают ситуации, когда эти вероятности неизвестны.

Ранее в курсе рассматривались 3 вида неопределенностей в системах.

Для статистической неопределенности случайного объекта существует количественная мера (неопределенности), называемая

энтропией.

Рассмотрим простейший вариант – случайное событие. Пусть некоторое событие может произойти с вероятностью

произойти с вероятностью

вероятности

. Очевидно, что в 1-м случае результатом

, а другое событие имеет

опыта «почти наверняка» является наступление события, во втором случае неопределенность исхода так велика, что от прогноза лучше воздержаться.

и не

 





ixix

pMxД

   









dxxMxД

AA 

pp 







ppH

 

SSS ,,,21

PPP ,,,21

nnnH

lnln









Если мы имеем дело со случайной числовой величиной, то для характеристики различности распределений используется дисперсия или доверительный интервал.

(для дискретной величины),

Однако эти величины имеют смысл лишь для случайных числовых величин и не могут применяться к случайным объектам, состояния которых различаются качественно (например, выбор тех или иных команд или спортсменов при жеребьевке и т.п.).

Следовательно, мера неопределенности, связанной с распределением случайного события, должна быть некоторой его числовой характеристикой, функционалом от распределения, но никак не связанным с тем, в какой шкале измеряются реализации случайного объекта.

Такой мерой неопределенности случайного объекта множеством возможных состояний

вероятностями

будем считать величину

с соответствующими

с конечным

которая называется энтропией случайного объекта распределения

Действительно, любая большая система может рассматриваться как система, которая принимает некоторое множество состояний

системы, будучи, как видно из формулы, математическим ожиданием логарифма вероятности пребывания системы в некотором состоянии

, рассматривается в качестве меры разнообразия для множества

возможных состояний

Эта функция соответствует выделенной К. Шенноном в теории информации «мере неопределенности». Если выбор любого состояния равновероятен, то неопределенность выбора максимальна и определяется общим числом возможных вариантов:

(или

с вероятностями

соответственно. Энтропия

 

WkH ln

 

nPi1

min

HH 

5n

Неупорядоченная система

Более упорядоченная система

Полностью упорядоченная система

609,1ln2,051 

916,0ln4,0

 pP

11P

693,0ln5,0

 pP

052PP 

996,2ln05,0

 pP

219,3ln04,0

 pP

605,4ln01,0

 pP

Величина

физике

эквивалентна понятию энтропии в статистической

, где

– статистический вес системы, или

количество возможных квантовых состояний физической системы, внутренняя энергия которой не превосходит

В связи со всем сказанным выше можно записать и еще одно утверждение в отношении энтропии: «Энтропия H рассматриваемой

системы является мерой ее неупорядоченности».

Пример. Задача «Голосование». Если n кандидатов имеют одинаковую вероятность получения голоса любого избирателя, то

– вероятность того, что избиратель выберет i-го кандидата.

Если все избиратели голосуют за какого-то определенного кандидата, то можно с определенностью сказать, за какого избирателя подает голос любой произвольно выбранный избиратель. Такое распределение будет полностью упорядоченным (

Рассчитать энтропию системы, состоящей из избирателей и 5 кандидатов на государственный пост, для следующих вариантов:

1) результаты социологического опроса произвольно выбранных 1000 избирателей говорят о том, что за каждого из 5 кандидатов выступает приблизительно 200 опрошенных;

2) в пользу 1-го кандидата высказалось 400 опрошенных, в пользу 2-го – 500, в пользу 3-го – 50, в пользу 4-го – 40, в пользу 5-го – всего 10 опрошенных;

3) в пользу 1-го кандидата высказалось 700 опрошенных, в пользу 2-го – 250, в пользу 3-го – 30, в пользу 4-го – 15, в пользу 5-го – всего 5 опрошенных;

Решение:

Принцип максимизации энтропии заключается в том, что в

ситуациях, когда распределение вероятностей или значения вероятностей нам неизвестны, мы задаем их, исходя из следующего утверждения.

nPi1

Yy 

Xx 

ja1

ma1 2

ja2

ma2

Система находится в равновесии, когда энтропия максимальна,

что соответствует полному беспорядку. В рассмотренном примере

это соответствует ситуации, когда нам ничего не известно о распределении пристрастий избирателей и мы принимаем вероятность избрания любого кандидата равной

, что будет

соответствовать максимуму энтропии. Это также соответствует равновесному и наиболее вероятному состоянию системы.

Энтропия системы, таким образом, является весьма полезной

величиной при моделировании систем в условиях случайной неопределенности.

3.5. Теория матричных игр

3.5.1. Постановка задачи выбора в условиях неопределенности

Ранее мы познакомились с задачами выбора решения, когда каждой

альтернативе (варианту выбора) соответствовал определенный исход. Это был, таким образом, выбор в условиях определенности.

В реальных задачах часто приходится иметь дело с ситуацией, когда альтернатива неоднозначно определяет последствия сделанного выбора. Другими словами, имеется набор возможных исходов

из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, с какой именно – в момент выбора неизвестно, но станет ясно только тогда, когда выбор уже сделан и ничего изменить нельзя. Хотя с разной альтернативой

связано одно и то же множество исходов

, для разных альтернатив разные исходы имеют неодинаковое

значение.

В случае дискретного набора альтернатив и исходов описанную выше ситуацию (неопределенность) можно представить (задать) в виде матрицы:

 

yyy ,,1

 

imii

aaa ,,1

 

yxa ,

Xx 

Yy 

Вектор

выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы

реализовался исход

– это все возможные исходы. Числа

. В разных случаях числа

могут иметь

различный смысл («выигрыш», «потери», «платеж»).

Возможны два варианта:

1) все строки

(т.е. мы видим, это тоже вектор)

одинаковы, и проблемы выбора между альтернативами нет;

2) строки различны, следовательно, возникает проблема выбора

альтернативы.

В случае непрерывных множеств

и Y ситуация описывается

аналогично с помощью задаваемых на этих множествах функций

Мы несколько определились с ситуацией, однако всего этого пока недостаточно для формальной постановки задачи выбора. Реальные задачи могут быть самыми разными и требуют соответственно самых разных методов решения.

3.5.2. Основные определения и теоремы теории игр

Теория игр относится к разделу прикладной математики, исследующей математические модели принятия решений в условиях конфликта, противоречий и неопределенности. Задачей теории игр является нахождение оптимальной стратегии поведения в условиях конфликта, неопределенности или противодействия какой-то стороны в этой ситуации независимо от того, сознательно или неосознанно это происходит. Игровые математические модели позволяют не только найти оптимальную стратегию, которая не всегда однозначна, но и оценить каждый вариант решения с различных, иногда противоречивых точек зрения, а также глубже разобраться во всех сложностях и неопределенностях реальной ситуации для принятия до конца продуманного решения.

Началом теории игр как последовательной математической теории поведения можно считать выход в свет 50 лет назад монографии Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна. Французский математик Э. Мулен так характеризует значение теории игр для социальноэкономических наук: «По нашему мнению, теория игр представляет собой набор инструментов для построения моделей в экономических и политических теориях. Единственным, но вполне достаточным оправданием существования теории игр служит ее растущее применение в этих дисциплинах. Она является поистине неиссякаемым источником гибких концепций, каждая из которых

mi 1

nj 1

проливает свет на определенные стороны социальных взаимоотношений».

Введем несколько фундаментальных понятий теории игр и дадим определение этому разделу прикладной математики.

Конфликт – это противоречие, вызванное противоположными интересами сторон.

Конфликтная ситуация – ситуация, в которой участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется, по крайней мере, два участника, каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Правилами игры называют допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели.

Платежом называется количественная оценка результатов игры.

Парная игра – игра, в которой участвуют только две стороны (два

игрока).

Игра с нулевой суммой – парная игра, при которой сумма платежа равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Стратегия игрока – это однозначный выбор игрока в каждой из возможных ситуаций, когда этот игрок должен сделать личный ход.

Оптимальная стратегия – это такая стратегия игрока, которая при многократном повторении игры обеспечивает ему максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

В результате борьбы интересов, если оба противника одинаково разумны, должно быть найдено некоторое равновесное положение, при котором каждый игрок получит то, что ему причитается, – ни больше, ни меньше. Этот равновесный средний выигрыш, на который вправе рассчитывать игрок, если обе стороны будут вести себя разумно, т.е. придерживаться своих оптимальных (наилучших) стратегий, называется ценой игры.

Пусть мы имеем парную игру с нулевой суммой, один игрок может выбрать при данном ходе стратегий (

стратегию из

), а второй, не зная выбора первого, j-ю

своих возможных стратегий (

первый игрок выигрывает величину

-ю стратегию из m своих возможных

). В результате

, а второй проигрывает эту

величину. Из этих величин составим матрицу A:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]