Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие для бакалавров и специалистов
.pdf
внимание, уделяемое взаимозависимости и взаимодействию
различных факторов, влияющих на развитие событий, динамике
развития ситуации.
Метод повторяющегося объединения независимых сценариев
состоит в составлении независимых сценариев по каждому из
аспектов, оказывающих существенное влияние на развитие ситуации,
и повторяющемся итеративном процессе согласования сценариев
развития различных аспектов ситуации. Достоинством этого метода
является более углубленный анализ взаимодействия различных
аспектов развития ситуации. К его недостаткам можно отнести
недостаточную разработанность и методическую обеспеченность
процедур согласования сценариев.
Метод матриц взаимодействий, разработанный Гордоном и
Хелмером, предполагает определение на основании экспертных
оценок потенциального взаимовлияния событий рассматриваемой
совокупности. Оценки, связывающие все возможные комбинации
событий по их силе, распределению во времени и т.д., позволяют
уточнить первоначальные оценки вероятностей событий и их
комбинаций.
Обычно метод сценариев является предварительным.
2.1.7. Морфологический подход
В 1942 г. швейцарский астрофизик Ф. Цвикки обнародовал ряд
методов, которыми рекомендовалось пользоваться при решении
научных и технических задач.
Совокупность методов Цвикки получила название
«морфологический подход»:
1) метод отрицания и конструирования (МОК);
2) метод систематического покрытия поля (МСПП);
3) метод морфологического ящика (ММЯ).
2.1.7.1. Метод отрицания и конструирования
Основой метода служит принцип: любое утверждение,
сформулированное в конечных и полностью определенных терминах,
не может быть абсолютно верным. Иными словами, любое правило,
любой закон, любое условие можно и должно подвергать сомнению,
поскольку они имеют ограниченную область действия. Названный
принцип подтверждается всем ходом истории науки: даже ее
основополагающие постулаты, в момент становления претендующие
на абсолютную всеобщность, в конце концов переходят в ранг
31
частного утверждения, справедливого в определенной области,
уступая место очередному "всеобщему" закону.
Наиболее яркий пример проявления этого принципа – неэвклидовы
геометрии. Постулат о параллельных прямых Лобачевский доказывал
«от противного». В итоге пришел к геометрии на сфере или к
геометрии на поверхности отрицательной кривизны:
1) геометрия на сфере, где эквивалентом прямым линиям служат
окружности большого диаметра и где через точку, расположенную на
сфере вне такой окружности, нельзя провести ни одной "прямой",
которая бы не пересекала данную, любая окружность большого
диаметра пересечет заданную в двух точках;
2) геометрия на поверхности отрицательной кривизны, например на
однополостном гиперболоиде (седловидная поверхность), где
эквивалентом прямых служат гиперболы и где через каждую точку вне
заданной гиперболы можно провести сколько угодно гипербол, не
пересекающих заданную.
В технике метод отрицания и конструирования (МОК) очень
плодотворен, причем наибольшей эвристической силой он обладает на
стадии постановки задачи, целеполагания. Процедурно он сводится к
трем последовательным этапам.
1. Выявляют в исследуемом объекте его признаки, характеристики,
свойства или иные атрибуты, существенные для выполнения его
главной полезной функции. В некоторых случаях достаточно
определить всего один такой признак.
2. Отрицают один из выявленных признаков, отказываются от него
и заменяют его принципиально иным признаком, необязательно
противоположным отброшенному. Например, при разработке нового
объекта на основе настенных часов можно отрицать их свойство
«показывать местное время» и заменить его в зависимости от
назначения такими:
а) показывать время, оставшееся до конца заданного интервала
(например, до конца рабочей смены);
б) показывать время с момента восхода солнца;
в) показывать температуру, давление или еще какую-нибудь
погодную характеристику или их комбинацию;
г) показывать фазу луны, уровень солнечной активности или иной
космический фактор, влияющий на здоровье и самочувствие.
3. Конструируют (сначала мысленно, а при удачном завершении
«мысленного конструирования» – и в натуре) новый объект с этой
замененной характеристикой. Остальные характеристики, не
32
связанные с замененной, оставляют теми же, что и в исходном
объекте.
2.1.7.2. Метод систематического покрытия поля
Начиная изучение любого объекта, исследователь имеет в своем
распоряжении лишь очень небольшое количество известных
положений, т.е. экспериментальных фактов или теоретических
утверждений, которые можно назвать «вехами знаний».
Познание объекта исследования фактически строится как
продвижение от каждой из этих «вех» (обозначенных кружочками на
рис. 2.2).
Рис. 2.2. Процесс познания объекта исследования
Метод систематического покрытия поля (МСПП) рекомендует
последовательно экстраполировать имеющиеся знания в неизученные
участки поля, стараясь перекрыть его полностью, т.е., с одной
стороны, найти ответы на все вопросы, имеющие отношение к объекту
исследования, а с другой – мысленно построить все ситуации и
следствия, вытекающие из уже имеющихся знаний (чтобы затем этим
следствиям и ситуациям найти соответствие в реальном мире).
Действуя таким образом, можно ожидать, что:
а) ничто не будет упущено из поля зрения;
б) существует вероятность сделать открытие.
2.1.7.3. Метод морфологического ящика
Определяют все мыслимые параметры, от которых зависит
решение. Варианты решений представляются в виде строк матрицы,
затем определяют наилучший вариант по одному из каждой строки.
Этапы метода морфологического ящика (ММЯ)
1. Точно сформулировать проблему, подлежащую решению.
2. Выявить и охарактеризовать все параметры, которые могли бы
войти в решение заданной проблемы.
33
M
xW
m
Mm ,,2,1
0xh
k
Kk ,,2,1
0xg
j
Jj ,,2,1
uiili
xxx
Ni ,,2,1
3. Сконструировать морфологический ящик или многомерную
матрицу, содержащую все решения заданной проблемы.
4. Все решения, содержащиеся в морфологическом ящике,
внимательно проанализировать и оценить с точки зрения целей,
которые должны быть достигнуты.
5. Выбрать и реализовать наилучшие решения (при условии
наличия необходимых средств). Этот этап практической реализации
требует дополнительного морфологического изучения.
2.2. Формальные методы
Методика системного анализа разрабатывается для того, чтобы
организовать процесс принятия решений.
Математическая формулировка структурированной задачи
принятия решения часто эквивалентна задаче нахождения экстремума
(оптимума) целевой функции одной или многих переменных.
Целевая функция (далее – ЦФ) в экстремальных задачах – это
функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с
управляемыми переменными, минимум или максимум которой
требуется найти. Найдя экстремум ЦФ и, следовательно, определив
значения управляемых переменных, которые к нему приводят, мы тем
самым находим оптимальное решение задачи. Таким образом, ЦФ
выступает как критерий оптимальности решения задачи.
Поэтому для решения подобных задач могут быть использованы
различные методы классического анализа функций, в частности
методы поиска экстремума, методы теории исследования операций и
математического программирования.
Формальные методы позволяют решать так называемые задачи
оптимального выбора. Для таких задач множество возможных
альтернатив и планов выбора строго определено и известен
аналитический вид зависимости оптимизируемой функции от
независимых переменных.
Все задачи оптимального выбора имеют общую структуру. Их
можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации)
-мерного векторного показателя эффективности
от N-мерного векторного аргумента x=(x1,x2,...,xN),
компоненты которого удовлетворяют:
,
,
,
– системе ограничений-равенств,
– системе ограничений-неравенств,
– областным ограничениям.
,
34
xW
m
xW
m
xW
m
xW
xh
k
xg
j
xW
xh
k
xg
j
n
j
jj
xcF
1
kibxa
n
j
ijij
,11
mkibxa
n
ij
ijij
,1
nlljx
j
,,10
Задачи можно классифицировать в соответствии с видом функций
и размерностью
одноцелевое принятие решений [
многоцелевое принятие решений [
принятие решений в условиях определенности (исходные
данные – детерминированные);
принятие решений в условиях неопределенности (исходные
данные – случайные).
Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат
одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который
получил название математического программирования.
Математическое программирование – раздел математики,
исследующий математические модели и методы решения
экстремальных задач с ограничениями.
Выделяют задачи:
1) линейного программирования [
2) нелинейного программирования [
нелинейны];
3) дискретного (в том числе целочисленного)
программирования (x – дискретные, в том числе целочисленные);
4) динамического программирования (x – вычисляются на
каждом шаге решения задачи).
и размерностью и содержанием вектора x:
– скаляр];
– вектор];
,
,
,
– линейны];
,
–
2.2.1. Линейное программирование
Общей задачей линейного программирования (далее – ЛП)
называется задача, которая состоит в определении максимального
(минимального) значения функции
(1)
при условиях
, (2)
, (3)
, (4)
35
ij
a
mk
nl
),,,(
21 n
xxxX
nnn
xcxcxxF ,,max),,(
111
),,,(
21 n
xxx
D
.
;
;
2211
22222121
11212111
knknkk
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
)...,,,(
**
2*1 n
xxx
nnnn
xcxcxcxcxcxc
2211
00
22
0
11
n
xxx ,,,21
00
1 n
xx
),,,(
**
2
*
1
*
n
xxxX
*
X
X
*
XFXF
*
XFXF
0k
nl
где с – коэффициенты ЦФ;
– коэффициенты системы ограничений;
b – свободные члены, которые считаются неотрицательными.
Функция (1) – это ЦФ, называемая линейной формой задачи, а
условия (2) – (4) – ограничения данной задачи. Задача ЛП может быть
представлена в разных формах.
Стандартной (или симметричной) задачей ЛП называется
задача, которая состоит в определении максимального значения
функции (1) при выполнении условий (3) и (4), где
Имеется множество переменных
и
. ЦФ (1)
.
линейно зависит от управляемых параметров (2). Ограничения
представляют собой линейные формы.
Задача ЛП формулируется следующим образом. Определить
максимум линейной формы
условии, что точка
множеству
:
принадлежит некоторому
при
Любое множество значений
, которое
удовлетворяет ограничениям задачи ЛП, является допустимым
решением данной задачи (или планом). Если при этом выполняется
неравенство
для всего
множества значений
, то значение
является
оптимальным решением задачи ЛП.
План
, при котором ЦФ задачи принимает
свое максимальное (или минимальное) значение, называется
оптимальным. Следовательно,
для любого
выполняется неравенство
[соответственно
– оптимальный план задачи, если
].
Основной (или канонической) задачей ЛП называется задача,
которая состоит в определении экстремального значения функции (1)
при выполнении условий (3) и (4), где
36
и
.
nn
xcxcxcxF
2211
)(
;
;
;
2211
22222121
11212111
knknkk
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
0,,,
21
nxxx
n
ccc ,,,21
njkia
ij
,1,,1,
n
bbb ,,,21
i
a
i
c
max320240
21
1
xxxcxF
n
i
ii
То есть каноническая задача ЛП заключается в минимизации
(максимизации) линейной ЦФ
ограничениях
,
при
где
коэффициенты системы ограничений, а
– коэффициенты ЦФ;
–
– свободные
члены, которые считаются неотрицательными.
Указанные три формы задачи ЛП эквивалентны в том смысле, что
каждая из них с помощью несложных преобразований может быть
переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется
способ нахождения решения одной из указанных задач, то, тем самым,
может быть определен оптимальный план любой из трех задач.
Известно, что решение любой задачи ЛП может быть сведено к
решению канонической задачи.
Простые задачи ЛП допускают геометрическую интерпретацию,
позволяющую непосредственно из графика получить решение и
проиллюстрировать идею решения более сложных задач ЛП.
Пример. Предположим, что в трех цехах (Ц
изготавливается два вида изделий И
цеха
(оцениваемая в процентах) при изготовлении каждого из
и И2. Известны загрузка каждого
1
, Ц2, Ц
1
З
изделий и прибыль (или цена, объем реализуемой продукции в рублях)
от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий
каждого вида следует производить при возможно более полной
загрузке цехов, чтобы получить за рассматриваемый плановый период
максимальную прибыль.
Такую ситуацию удобно отобразить в таблице, отражающей ЦФ (в
данном случае определяющей максимизацию прибыли или объема
реализуемой продукции) и ряд ограничений (в данном случае
диктуемых возможностями цехов, т.е. их предельной 100%-ной
загрузкой).
)
;
37
10045
21
xx
12
1,44 5,76 100xx
12
0,8 6,25 100xx
Изделие
Цех (участок)
Цена изделия
Ц
1
Ц
2
Ц
З
И
1
5 %
1.44 %
0.8 %
240 руб.
И
2
4 %
5.76 %
6.25 %
320 руб.
Максимальная загрузка
100 %
100 %
100 %
F
0;0
13;9
321
,, xxx
;
;
.
Ограничения здесь задают область допустимых решений в форме
четырехугольника, а семейство прямых представляет собой линии
уровня ЦФ
. Существует два крайних положения линии уровня,
когда она «касается» допустимого множества. Этим двум положениям
в данном случае соответствуют две точки «касания» – начало
координат
и точка
. Первая из этих точек – точка
минимума, а вторая – максимума данной функции F на допустимом
множестве (рис. 2.3).
Порядок графического решения задачи ЛП
1. Построить прямые линии на основании ограничений, в которых
знаки неравенств заменить знаками равенств.
2. Найти полуплоскости, которые определяются каждым из
ограничений. В результате получается многоугольник допустимых
решений. Если задача трехмерная (используется три аргумента
трехмерной фигуры, ограниченной с разных сторон плоскостями. С
увеличением размерности задачи ЛП свыше трех переменных
Рис. 2.3. Графическое решение задачи ЛП
), то область допустимых решений выглядит в виде объемной
38
3n
21
;ddD
h
hxdxd
2211
21
;ddD
h
21
;ddD
i
x
представить графически область допустимых решений нельзя. При
многомерную область допустимых решений называют
гиперполигоном или симплексом.
3. На основании уравнения, описывающего ЦФ, построить вектор-
градиент
4. Выбрав некоторое постоянное значение
, определяющий направление возрастания ЦФ.
, построить график ЦФ
, который должен пересекать многоугольник
допустимых решений. График ЦФ будет обязательно перпендикулярен
к вектору
уровня (рис. 2.4).
. Такой график является линией постоянного
Рис. 2.4. Линия постоянного уровня
5. Увеличивать значение h до тех пор, пока график ЦФ имеет хотя
бы одну общую точку с многоугольником допустимых решений. При
увеличении
направлении возрастания вектора
график ЦФ смещается параллельно самому себе в
.
6. Определить точку (или отрезок), где ЦФ принимает
максимальное значение. В этой точке (на этом отрезке) переменные
имеют оптимальные значения.
Возможны различные случаи взаимодействия многоугольника
допустимых решений и ЦФ. ЦФ может принимать максимальное
значение в одной точке или на отрезке (рис. 2.5).
Возможны варианты, когда ЦФ не ограничена сверху или области
несовместны (рис. 2.6).
39
n
2n
Рис. 2.5. ЦФ принимает максимальное значение в одной точке
или на отрезке
Рис. 2.6. ЦФ не ограничена сверху или области несовместны
Не все можно решить графически.
Наиболее распространенным методом решения канонической
задачи ЛП до сих пор является симплекс-метод, предложенный в 40-е
годы прошлого века Дж. Данцигом. Геометрически идею симплексметода в упрощенной форме можно выразить следующим образом.
Допустимым множеством в задаче ЛП является некоторое
многогранное множество
частном случае
– это выпуклый и не обязательно ограниченный
-мерного векторного пространства (в
многоугольник). Работа симплекс-метода начинается с некоторой
начальной вершины (начального опорного плана) многогранного
множества. Выясняется, нет ли среди соседних вершин такой, в
которой значение ЦФ лучше. Если такая вершина находится, то она и
принимается за следующее приближение. После этого вновь
исследуются соседние вершины для полученного приближения и т.д.
до тех пор, пока не будет получена вершина, среди соседних вершин
которой не существует вершины с лучшим значением ЦФ. Такая
вершина соответствует оптимальному решению.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]