Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие для бакалавров и специалистов
.pdf
12
180 xx
1
f
1
x
2
11
2
111
18018084 xxxxf
0180282
11
1
1
xx
x
f
02644
1
x
91
*
1
x
89
*
2
x
f
2121
, xxxxF
1
2
2
2
1
xx
1,,
2
2
2
12121
xxxxxxF
,01
,021
,021
2
2
2
1
2
2
1
1
xx
F
x
x
F
x
x
F
21
21xx
2
xF
x
Если из условия связи найдем
функцию
, то получим функцию одной переменной
и подставим его в
.
Найдем стационарную точку этой функции из уравнения
или
, откуда
. Так же, как и выше, устанавливаем, что в данной точке
функция
имеет минимальное значение.
Например, при поиске максимума
единственном условии
строится функция Лагранжа
.
Строим систему уравнений:
решение которой дает
значения ЦФ
и 2.
,
и экстремальные
Сам по себе метод множителей Лагранжа не дает существенного
эффекта из-за необходимости решать, как правило, нелинейную
систему уравнений; не гарантирует тип отыскиваемого экстремума,
кроме глобальных дает и множество локальных экстремумов, но
полезен при генерации идей и создании методов НЛП.
Задачи НЛП существенно сложнее ЛП, кроме того, отсутствует
универсальный метод их решения. После классификации задачи
необходимо подбирать конкретный метод, адекватный данному типу
задачи.
Задачи НЛП можно классифицировать в соответствии с видом
функции
, функциями ограничений и размерностью вектора
(вектора решений).
В самом общем виде классификация представлена в табл. 2.2.
61
:
и
при
Вид
xF
Вид функции
ограничений
Число
переменных
Название задачи
Нелинейная
Отсутствуют
1
Безусловная
однопараметрическая
оптимизация
Нелинейная
Отсутствуют
Более 1
Безусловная
многопараметрическая
оптимизация
Нелинейная
или
линейная
Нелинейные
или линейные
Более 1
Условная нелинейная
оптимизация
xF
n
xxx ,,
10
nk
xfxfxfxf
10
k
x
kkkk
pxx
1
k
k
p
Таблица 2.2. Классификация задач НЛП
Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу ЛП, для
НЛП не существует. В каждом конкретном случае способ выбирается
в зависимости от вида функции
.
Виды методов решения задач НЛП
1. Сведение к линейным задачам. Используются методы кусочно-
линейных приближений.
2. Методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при поиске
экстремума ЦФ используются только ее значения.
3. Градиентные методы – методы решения задач математического
программирования, основанные на поиске экстремума (максимума
или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с
помощью градиента этой функции.
В случае поиска минимума функции говорят о методе
наискорейшего спуска, в случае задачи максимизации – о методе
наискорейшего роста (или подъема). При этом необходима строгая
проверка решения, поскольку градиентный спуск или подъем могут
привести к экстремальной точке, которая на самом деле окажется не
глобальным, а лишь одним из локальных оптимумов.
Формально решение в случае спуска состоит в построении
последовательности векторов
, удовлетворяющих условию
. Такие последовательности
называют релаксационными.
Точки этой последовательности
вычисляются по формуле:
,
где
– направление спуска, определяемого градиентом;
– длина
шага вдоль этого направления (длина шага может быть постоянной и
62
переменной, причем оптимальный ее размер обеспечивает
наискорейший спуск или подъем).
Среди градиентных алгоритмов – метод растяжения пространства,
субградиентный метод выпуклой оптимизации, метод
покоординатного спуска.
2.2.4. Динамическое программирование
Динамическое программирование служит эффективным методом
решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов,
для которых критерий оптимальности задается как аддитивная
функция критериев оптимальности отдельных стадий. Без особых
затруднений указанный метод можно распространить и на случай,
когда критерий оптимальности задан в другой форме, однако при этом
обычно увеличивается размерность отдельных стадий.
Метод динамического программирования представляет собой
алгоритм определения оптимальной стратегии управления на всех
стадиях процесса. При этом закон управления на каждой стадии
находят путем решения частных задач оптимизации последовательно
для всех стадий процесса с помощью методов исследования функций
классического анализа или методов НЛП. Результаты решения обычно
не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде
таблиц.
Ограничения на переменные задачи не оказывают влияния на
общий алгоритм решения, а учитываются при решении частных задач
оптимизации на каждой стадии процесса. При наличии ограничений
типа равенств иногда даже удается снизить размерность этих частных
задач за счет использования множителей Лагранжа. Применение
метода динамического программирования для оптимизации процессов
с распределенными параметрами или в задачах динамической
оптимизации приводит к решению дифференциальных уравнений в
частных производных. Вместо решения таких уравнений зачастую
значительно проще представить непрерывный процесс как дискретный
с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан
особенно в тех случаях, когда имеются ограничения на переменные
задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется
необходимостью учета указанных ограничений.
При решении задач методом динамического программирования,
как правило, используют вычислительные машины, обладающие
достаточным объемом памяти для хранения промежуточных
результатов решения, которые обычно получаются в табличной форме.
63
SS
0
0
S
R
S
U
UW
S
nk ,1
k
n
kk
k
xxxX ,,,
21
k
u
S
1k
X
k
X
k
X
S
1k
X
k
u
1k
X
k
1k
X
k
u
k
k
k
uXW ,
1
n
n
k
k
k
k
uXWF
1
1
,
Задачи динамического программирования являются
многоэтапными и многошаговыми. Рассматриваемая система S
находится в некотором начальном стоянии
управляемой. Система переходит из начального состояния
конечное состояние
благодаря управлению
и является
в
. Качество
управления характеризуется соответствующим значением функции
. Условия задачи можно представить в графическом виде
(рис. 2.8).
Рис. 2.8. Условия задачи динамического программирования
Будем считать, что состояние системы
на k-м шаге (
определяется совокупностью чисел
которые получены в результате управления
переход системы
будем предполагать, что состояние
, зависит от данного состояния
из состояния
в состояние
, в которое перешла система
и выбранного управления
, обеспечивающего
и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние
.
Будем считать, что если в результате
-го шага обеспечен
определенный доход или выигрыш, также зависящий от исходного
состояния системы
, то общий доход или выигрыш за
и выбранного управления
шагов составляет
.
64
)
,
. При этом
и равный
**2*
1
*
,,,
n
uuuU
S
0
X
n
X
n
k
k
k
k
uXWF
1
1
,
0n
u
n
n
n
uXW ,
1
0
XF
n
0
X
n
X
**2*
1
*
,,,
n
uuuU
k
knXF
k
X
n
X
kn
n
n
n
u
n
uXWuXWXF
n
,,max
1
1
0
1
0
1
1,0,max
1
111
1
nkXFuXWXF
k
knk
k
k
u
k
kn
n
Таким образом, сформулированы два условия, которым должна
удовлетворять рассматриваемая задача динамического
программирования. Первое – условие отсутствия последействия, а
второе – условие аддитивности ЦФ задачи.
Определение. Под оптимальной стратегией будем понимать
совокупность управлений
реализации которых система
состояния
в конечное состояние
за n шагов переходит из начального
, в результате
и при этом функция
принимает наибольшее значение.
Принцип оптимальности Беллмана. Каково бы ни было
состояние системы перед очередным шагом, нужно выбрать
управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс
оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был
максимальный.
Для этого нужно сделать различные предположения о том, как мог
окончиться предпоследний шаг, и с учетом этого выбрать управление
, обеспечивающее максимальное значение функции
Такое управление, выбранное при определенных предположениях о
том, как окончился предыдущий шаг, называется условно
оптимальным управлением. Следовательно, принцип оптимальности
требует находить на каждом шаге условно оптимальное управление
для любого из возможных исходов предыдущего шага.
Пусть
при переходе системы S из начального состояния
состояние
при переходе из любого состояния
при оптимальной стратегии управления на оставшихся
– максимальный доход, получаемый за n шагов
в конечное
при реализации оптимальной стратегии управления
, а
– максимальный доход, получаемый
в конечное состояние
шагах.
Тогда
,
.
65
.
2.2.5. Многокритериальная оптимизация
Существует класс задач оптимального выбора, где имеется не один,
а несколько критериев оценки качества решения. Например, добавим к
стандартной транспортной задаче, показателем эффективности
которой является минимизация стоимости перевозок, критерий
минимизации времени перевозок. Оптимальные решения по каждому
из критериев отдельно могут противоречить друг другу. Требуется
найти оптимальное решение, в котором нужно учесть значимость
каждого из критериев (что важнее – время или деньги), то есть
произвести многоцелевое принятие решений.
Одним из первых подходов к принятию решений при двух
критериях является метод «стоимость-эффективность». Он был
разработан в конце 50-х годов в США для решения военных задач. В
годы ракетно-ядерной гонки США – СССР одной из основных была
задача о достаточности системы нападения для преодоления защиты
потенциального противника. Метод «стоимость-эффективность»
состоит из трех основных этапов:
1) построения модели эффективности;
2) построения модели стоимости;
3) синтеза оценок стоимости и эффективности.
Модель состоит из двух частей – модели стоимости и модели
эффективности. Эти модели используются для выбора военной
системы с определенным числом ракет. Модель стоимости
представляет зависимость общей стоимости от количества ракет, а
модель эффективности – зависимость вероятности поражения целей от
количества ракет (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Метод «стоимость-эффективность»
66
xFxFxFxF
m
,,,
21
12
, , ,
n
q x q x q x q x
, 1,
i
q x i n
Обе модели в данном случае можно рассматривать как
формальные: они строятся на базе фактических данных, надежного
статистического материала.
Однако выходные параметры этих моделей не объединяются
посредством заданной зависимости; используется суждение ЛПР,
которое определяет предельные значения стоимости, необходимые
значения эффективности.
В общем случае на этапе синтеза стоимости и эффективности
используют два основных подхода:
1) фиксированная эффективность при минимально возможной
стоимости (при таком подходе выбирается «самая дешевая»
альтернатива, обладающая заданной эффективностью);
2) фиксированная стоимость и максимально возможная
эффективность (случай бюджетных ограничений).
Смысл этих подходов – перевод одного из критериев оценки
альтернатив в ограничение.
Но при этом сразу же возникает вопрос: как, на каком уровне
установить ограничение на один из критериев? Объективный и
единственно возможный ответ на этот вопрос в общем случае не
вытекает из условий задачи. Ни требуемая эффективность, ни
бюджетные ограничения не устанавливаются обычно достаточно
жестко. Очевидно, что при нескольких критериях этот же вопрос
становится существенно сложнее. Иначе говоря, когда аналитик сам
переводит все критерии, кроме одного, в ограничения, он применяет
неформализованный подход.
Таким образом, сложность нахождения наилучшей альтернативы
возрастает, когда необходимо рассматривать альтернативы не по
одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся
между собой.
Многоцелевое принятие решений приводит к задаче оптимизации
с векторной ЦФ (показателем эффективности)
или к оценке альтернатив на основе
векторного критерия
относительная значимость этих целей в общем неизвестна до тех пор,
пока не будут определены все основные свойства системы и не будут
полностью истолкованы все возможные взаимосвязи. По мере того,
как число возможных целей возрастает, взаимосвязи образуют
сложную структуру и их становятся труднее идентифицировать.
Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько
критериев
. Теоретически можно представить себе
. Как правило,
67
X
X
1
q
2
q
0 0 1 2
, , ,
n
q x q q x q x q x
0
1
n
ii
i
i
qx
qx
S
случай, когда во множестве
окажется одна альтернатива,
обладающая наибольшими значениями всех критериев, она и является
наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и
возникает вопрос, как осуществлять выбор (например, на рис. 2.10
множеству
значений двух критериев
соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости
и
; оба критерия желательно
максимизировать).
Рис. 2.10. Многокритериальная оптимизация
Существует несколько способов выбора альтернатив в условиях
нескольких критериев. К ним, в частности, относятся такие, как:
– сведение многокритериальной задачи к однокритериальной;
– условная максимизация;
– поиск альтернативы с заданными свойствами;
– нахождение множества Парето.
2.2.5.1. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
Этот способ состоит во введении некоего суперкритерия, т.е.
скалярной функции векторного аргумента и называется также
линейной сверткой:
Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине,
выделив тем самым наилучшую (по этому критерию) альтернативу.
Вид функции определяется тем, как мы представляем себе вклад
каждого критерия в суперкритерий. Обычно при этом используются
аддитивные или мультипликативные функции:
.
- аддитивный суперкритерий;
68
0
1
11
n
ii
i
i
qx
qx
S
i
S
ii
Sxq
i
i
n
i
ii
xqcxq
1
0
xqxqxqqx
n
Xx
,,,maxarg
210
*
*
1
argmax min
n
ii
xX
i
i
qx
x
S
- мультипликативный суперкритерий.
Коэффициенты
обеспечивают, во-первых, безразмерность числа
, так как частные критерии могут иметь различную
размерность и тогда некоторые арифметические операции, например
сложение, могут не иметь смысла. Во-вторых, в случае необходимости
c их помощью выполняется условие нормировки. Коэффициенты
отражают относительный вклад частных критериев в
суперкритерий, т.е. являются весовыми коэффициентами.
Если не требуется обеспечивать безразмерность, функция
аддитивного суперкритерия записывается в более простом виде:
.
Таким образом, задача сводится к максимизации суперкритерия:
.
Трудности и недостатки метода. Упорядочение точек в
многомерном пространстве не может быть однозначным и полностью
определяется видом упорядочивающей функции. Роль такой
упорядочивающей функции играет суперкритерий, и даже очень малое
его изменение может привести к тому, что новая оптимальная
альтернатива будет очень сильно отличаться от старой.
Пример. На рис. 2.10 направления, соответствующие двум
суперкритериям с разными коэффициентами, изображены прямыми со
стрелками. Из рисунка видно, как изменяется выбор наилучшей
альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной
упорядочивающей функции, что выражается в изменении наклона
соответствующей прямой.
Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают
упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном
направлении, тем лучше». Такое упорядочение в многомерном
пространстве свойственно некоторым балльным системам оценки
вариантов.
Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля,
дает максимизации минимального критерия:
,
,
69
i
ii
S
xq
ii
Xx
cxqxqx
1
*
maxarg
*
2 2 1 1
arg max
xX
x q x q x c
что означает поиск вокруг направления
«подтягивания самого отстающего». Этот критерий называется
также максиминным.
2.2.5.2. Условная максимизация
Этот способ также использует тот факт, что различные критерии
обычно не равнозначны между собой. Здесь выделяется основной,
главный критерий, а остальные рассматриваются как дополнительные
или сопутствующие.
Задача выбора, таким образом, формулируется как задача
нахождения условного экстремума основного критерия:
при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им
уровнях.
В некоторых задачах оказывается возможным или даже
необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не
столь жестко. Например, если сопутствующий критерий характеризует
стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумно задавать их
верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа
неравенств.
На рис. 2.11 приведено решение задачи
методом
.
Рис. 2.11. Условная максимизация и метод уступок
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]