Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Учебное пособие для бакалавров и специалистов
.pdf
ij
i
j
qq max
j
q
ij
q
ij
r
ijjij
qqr
Пусть принимается i-е решение. Очевидно, если бы было известно,
что реальное состояние среды будет j-е, то ЛПР принял бы решение,
дающее доход
. Однако i-е решение принимается в
условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не
только
, т.е. существует реальная возможность недополучить доход,
, а
и с этим неблагоприятным исходом можно сопоставить риск
размер которого целесообразно оценить как разность
.
Полная неопределенность означает отсутствие информации о
вероятностных состояниях среды («природы»), например о
вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем
случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин.
Неопределенность, связанную с отсутствием информации о
вероятностях состояния среды, называют «безнадежной» или
«дурной». Рекомендации по принятию наилучших решений в таких
ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев).
К основным критериям относятся следующие:
1) критерий гарантированного результата (максиминный критерий
Вальда) – пессимистический, по сути, критерий, так как во внимание
принимается только наихудший результат каждой альтернативы. Этот
подход устанавливает гарантированный минимум, фактический результат может быть лучше;
2) критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оп-
тимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во
внимание никакой возможный результат, кроме наилучшего;
3) критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтер-
нативы с худшим из всех худших значений окупаемости;
4) критерий обобщенного максимина (пессимизма – оптимизма)
Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом
и крайним оптимизмом;
5) критерий минимаксного риска Сэвиджа, или критерий
наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из
плохих значений;
6) критерий Лапласа (равновозможности, безразличия), который
позволяет максимизировать средний выигрыш или минимизировать
средний ожидаемый риск, предполагая, что все возможные состояния
среды равновероятны.
,
101
miPP
i
,...,1},{
njПП
j
,...,1},{
Q
),( ПPQ
),(jiПPq
ij
nj
mi
j
i
qПPQW
1
1
minmax),(minmax
При сравнительном анализе критериев эффективности
нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия,
так как в ряде случаев это может привести к неоправданным
решениям, ведущим к потерям экономического и иного содержания. В
большинстве ситуаций имеется необходимость применения
нескольких критериев в совокупности.
3.7.1. Критерий Вальда
Критерий Вальда (правило максимина, критерий осторожного
наблюдателя) состоит в следующем. ЛПР располагает множеством
стратегий решения проблемы:
. Наряду с
управляемыми действуют и неуправляемые (неконтролируемые)
факторы:
принимаемых решений вводят показатель эффективности
считают, что функция
. Для оценки эффективности
и
является известной. Следовательно,
можно построить матрицу эффективности.
Для каждого контролируемого фактора (строки) находится
минимальное значение
. Сравнивая полученные величины,
выбирают управляемый фактор, при котором обеспечивается
максимальное значение. Таким образом, критерий гарантированного
результата (максиминный критерий Вальда) записывается в виде:
.
Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального
выигрыша или минимизацию максимальных потерь, которые могут
быть при реализации одной из стратегий. Критерий консервативен, так
как ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. Это
перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на
худший случай.
3.7.2. Критерий максимакса
При использовании критерия ЛПР ориентируется на то, что
условия функционирования анализируемых систем будут для него
наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением
является стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для
каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего («розового»)
оптимизма. Критерий целесообразно применять в тех случаях, когда
имеется принципиальная возможность повлиять на функции
противоположной стороны. Если анализируется матрица эффекта
102
),( ПPQ
ij
njmiji
qПPQM
11
maxmax),(maxmax
ij
njmiji
qПРQM
11
minmin),(minminmin
Р
}min)1(max{
1
1
ij
nj
ij
nj
i
qqH
10
i
H
}min)1(max{max
1
11
ij
nj
ij
njmi
qqH
того или иного вида, то выбор управляемых факторов
осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимум эффекта.
В этом случае критерий оптимизма записывается в виде
.
3.7.3. Критерий пессимизма
При использовании принципа пессимизма предполагается, что
управляемые факторы могут быть использованы неблагоприятным
образом:
.
В реальных ситуациях в ряде задач оказывается невозможным
контроль за неконтролируемыми факторами, принадлежащими
множеству
. Особенно это относится к задачам, связанным с
необходимостью учета фактора времени (например, социальноэкономическое прогнозирование, долгосрочное планирование,
проектирование сложных объектов и др.).
Например, издержки производства являются контролируемыми
факторами на коротких временных интервалах. Однако при анализе
длительных процессов, которые составляют несколько лет, некоторые
элементы указанных издержек (например, стоимость электроэнергии,
стоимость материалов и покупных изделий и т.п.) становятся
неконтролируемыми.
Другим примером является определение объемов производства
продукции предприятия. Данный показатель считается управляемым
фактором, но он зависит от факторов производства, которые относятся
к внутренней среде предприятия: уровня конструкторской и
технологической подготовки производства, типа используемого
оборудования, квалификации работающих и пр.
3.7.4. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица (критерий оптимизма-пессимизма) позволяет
учитывать комбинации наихудших состояний. Определяется линейная
комбинация минимального и максимального выигрышей
,
где – показатель оптимизма (
варианту решения, для которого
), и предпочтение отдается
окажется максимальным:
.
103
1
0
R
ij
nj
mi
j
i
rПPRS
1
1
maxmin),(maxmin
njПП
j
,...,1},{
j
p
1
j
p
i
Q
i
Q1iq2iq
…
in
q
j
p
1
p
2
p
…
n
p
i
QM
i
Q
n
ppp ,...,,
21
i
Q
n
j
ijji
i
i
qpQMQB
1
Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться
некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и
крайним пессимизмом. При
критерий Гурвица совпадает с
максимаксным критерием, т. е. ориентирует на предельный риск; при
он совпадает с критерием Вальда, т. е. ориентирует на
осторожное поведение. Значения
между 0 и 1 являются
промежуточными между риском и осторожностью и выбираются из
субъективных (интуитивных) соображений в зависимости от
конкретной обстановки и склонности к риску ЛПР.
3.7.5. Критерий Сэвиджа
Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска) по сути
аналогичен критерию Вальда, но ЛПР принимает решение,
руководствуясь не матрицей последствий Q, а матрицей рисков
Возможны ситуации, когда неконтролируемые факторы будут
действовать более благоприятным образом по сравнению с наихудшим
состоянием, на которое ориентировался ЛПР. Критерий Сэвиджа
формулируется следующим образом:
.
3.7.6. Критерий Байеса
.
Если известны не только состояния природы
но и вероятности
наступления этих состояний, при этом
это говорит о том, что ЛПР находится в условиях риска. Чистую
стратегию
можно определить как случайную величину со
следующим законом распределения:
Критерий Байеса относительно выигрышей
Математическое ожидание
случайной величины
означает средневзвешенное выигрышей i-й строки матрицы Q с
весами
также
:
– средний ожидаемый доход, обозначаемый
.
104
,
,
n
j
ijj
i
i
i
qpQB
1
maxmax
i
Q
i
RM
n
j
ijji
i
r
i
rpRMRB
1
n
j
ijj
i
i
i
r
rpRB
1
minmin
10
n
pppp ,...,,
21
i
Q
iii
WpBHL
1
pB
i
i
Q
i
W
i
Q
10
iii
BHLW
Критерий Байеса относительно выигрышей позволяет выбрать
максимальный из ожидаемых элементов матрицы эффективности при
известной вероятности возможных состояний природы:
.
Критерий Байеса относительно рисков
Показателем эффективности стратегии
по критерию Байеса
относительно рисков является математическое ожидание
рисков, расположенных в i-й строке матрицы R:
.
Критерий Байеса относительно рисков позволяет выбрать
минимальное значение из средних рисков при известной вероятности
возможных состояний природы:
.
Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков
эквивалентны, т. е. по обоим критериям оптимальной будет одна и та
же стратегия.
3.7.7. Критерий Ходжа – Лемана
При определении оптимальной стратегии по этому критерию
вводится параметр
(
) достоверности информации о
распределении вероятностей состояний природы
Критерий Ходжа – Лемана относительно выигрышей
Критерий Ходжа – Лемана относительно выигрышей опирается
одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса. Если степень
достоверности
велика, то доминирует критерий Байеса, в
противном случае – критерий Вальда.
Показателем эффективности чистой стратегии
критерию является:
,
где
Байеса относительно выигрышей;
стратегии
При любом показателе
– показатель эффективности стратегии
– показатель эффективности
по критерию Вальда.
(
) выполняется
по критерию
105
.
по этому
.
iii
mi
WpBHLHL
1maxmax
1
ij
j
n
j
ijj
qqpHL min1max
1
i
Q
i
r
i
r
i
SpBHL
1
)(pB
r
i
i
Q
i
S
i
Q
i
r
i
r
i
r
SpBHLHL
1minmin
ij
j
n
j
ijj
r
rqpHL max1min
1
j
p
i
Q
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа – Лемана
относительно выигрышей является:
;
.
Критерий Ходжа – Лемана применим в следующих случаях:
имеется информация о вероятностях состояний окружающей
среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться;
принятое решение теоретически допускает бесконечно много
реализаций;
при малом числе реализаций допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа – Лемана относительно рисков
Критерий Ходжа – Лемана относительно рисков опирается
одновременно на критерий Байеса и критерий Сэвиджа.
Показателем неэффективности чистой стратегии
по этому
критерию является:
,
где
Байеса относительно рисков;
стратегии
– показатель неэффективности стратегии
– показатель неэффективности
по критерию Сэвиджа.
по критерию
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа – Лемана
относительно рисков является:
;
.
Критерии оптимальности чистых стратегий по критерию Ходжа –
Лемана относительно выигрышей и относительно рисков не
эквивалентны.
3.7.8. Критерий Гермейера
Если известны вероятности
вариантов развития реальной
ситуации, то доход, получаемый при i-м решении, является случайной
величиной
с рядом распределения
106
i
Q1iq2iq
…
in
q
j
p
1
p
2
p
…
n
p
i
Q
ijj
nj
i
qpG1min
ijj
nj
mi
i
mi
qpGG
1
11
minmaxmax
i
Q
ijj
nj
r
i
rpG1max
ijj
nj
mi
r
i
mi
r
rpGG
1
11
maxminmin
10
110
i
Q
iii
HgGGH 1
i
G
i
Q
i
Hg
i
Q
ii
mi
HgGGH
1max
1
При выборе стратегии по этому критерию предполагается, что
природа находится в самом неблагоприятном состоянии.
Критерий Гермейера относительно выигрышей
Показатель эффективности чистой стратегии
по критерию
Гермейера определяется по формуле:
.
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера
относительно выигрышей является:
.
Критерий Гермейера относительно рисков
Показатель неэффективности чистой стратегии
по критерию
Гермейера определяется по формуле:
.
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера
относительно рисков является:
.
3.7.9. Критерий Гермейера – Гурвица
Данный критерий представляет собой критерий Гурвица
относительно матрицы Гермейера. При этом
(
показатель оптимизма, а показателем пессимизма будет
Критерий Гермейера – Гурвица относительно выигрышей
Показатель эффективности чистой стратегии
по критерию
Гермейера – Гурвица относительно выигрышей определяется по
формуле:
,
где
Гермейера относительно выигрышей;
эффективности стратегии
– показатель эффективности стратегии
по критерию Гурвица.
по критерию
– показатель
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера – Гурвица
относительно выигрышей является:
;
107
) –
.
ijj
nj
ijj
nj
mi
qpqpGH
1
1
1
maxmin1max
i
Q
r
i
r
i
r
i
HgGGH 1
r
i
G
i
Q
r
i
Hg
i
Q
r
i
r
i
mi
r
HgGGH
1min
1
ijj
nj
ijj
nj
mi
r
rprpGH
1
1
1
minmax1min
j
p
n
j
ij
i
i
i
q
n
Q
1
1
maxmax
n
j
ij
i
i
i
r
n
R
1
1
minmin
.
Критерий Гермейера – Гурвица относительно рисков
Показатель неэффективности чистой стратегии
по критерию
Гермейера – Гурвица относительно рисков определяется по формуле:
,
где
Гермейера относительно выигрышей;
эффективности стратегии
– показатель эффективности стратегии
по критерию Гурвица.
по критерию
– показатель
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера – Гурвица
относительно выигрышей является:
;
.
3.7.10. Критерий Лапласа
Критерий Лапласа равновозможности (безразличия) непосредственно
не относится к случаю вероятностной неопределенности, и его
применяют в условиях неопределенности уверенности. Однако здесь
предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной
ситуации) равновероятны, – отсюда и название критерия. Тогда
описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности
одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными
1/n.
При использовании критерия максимизации среднего выигрыша
выбирается решение, при котором достигается
.
В соответсвии с критерием минимизации среднего ожидаемого
риска выбирается вариант решения, для которого обеспечивается
.
108
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение системного подхода.
2. Дайте определения понятий «система», «подсистема»,
«элемент».
3. Дайте определение понятия «связь» с точки зрения системного
анализа и приведите классификацию связей.
4. Назовите и охарактеризуйте свойства систем.
5. Назовите основные закономерности систем.
6. Приведите классификации систем по различным критериям с
краткими характеристиками каждого класса.
7. Назовите основные отличия задачи оптимального выбора, задачи
выбора и общей задачи принятия решений.
8. Какие факторы могут влиять на общую задачу принятия
решений?
9. Охарактеризуйте задачи оптимального выбора с точки зрения
общей теории системного анализа.
10. Перечислите этапы, на которые можно методологически
разделить исследование операций.
11. Дайте определения понятий «декомпозиция», «агрегирование».
12. Какие методы системного анализа называются эвристическими?
В каких случаях они применяются?
13. Перечислите эвристические методы системного анализа с их
краткими характеристиками.
14. В каких случаях для решения задач анализа системы прибегают
к экспертным оценкам?
15. Какие факторы влияют на работу эксперта?
16. Какая оценка используется для выбора альтернативы в
простейшем случае?
17. Как сформировать список экспертов?
18. Как оценить компетентность экспертов?
19. Что такое сценарий и когда используют метод сценариев для
анализа сложных систем?
20. Что такое метод Делфи и каковы его особенности при анализе
сложных систем?
21. Назовите основные принципы системного подхода.
22. Какие процедуры содержит обобщенный алгоритм системного
анализа?
23. Какие методы системного анализа называются формальными?
Для решения каких задач они применяются?
109
24. Перечислите формальные методы системного анализа с их
краткими характеристиками.
25. Что такое целевая функция в экстремальных задачах?
26. Приведите классификацию задач оптимального выбора.
27. Какая задача называется общей задачей линейного
программирования?
28. Чем отличаются стандартная (симметричная) и основная
(каноническая) задачи линейного программирования?
29. Какую задачу называют двойственной по отношению к
исходной?
30. Сформулируйте леммы, характеризующие существующие
зависимости между решениями прямой и двойственной задач.
31. Сформулируйте первую и вторую теоремы двойственности.
32. Согласно какому правилу задаются целевые функции исходной
и двойственной задач?
33. Каким образом связаны матрицы исходной и двойственной
задач?
34. В чем заключаются отличия исходной и двойственной задач по
числу переменных и ограничений?
35. Каким образом связаны коэффициенты при неизвестных в
целевой функции и свободные члены в системе условий исходной и
двойственной задач?
36. В чем состоит общая постановка транспортной задачи?
37. Что может быть взято в качестве критерия оптимальности
транспортной задачи?
38. Каким требованиям должен отвечать план перевозок?
39. Дайте определение понятия «план транспортной задачи».
40. Дайте определение понятия «оптимальный план транспортной
задачи».
41. В каком случае модель транспортной задачи называется
закрытой и чем она отличается от открытой?
42. Сформулируйте теорему о разрешимости транспортной задачи.
43. Сформулируйте первое содержательное ограничение
транспортной задачи.
44. Сформулируйте второе содержательное ограничение
транспортной задачи.
45. Назовите несколько методов для определения опорного плана
транспортной задачи.
46. Сформулируйте определение понятия «дерево решений».
47. В чем заключается принцип максимизации энтропии?
48. Дайте определения основных понятий теории игр.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]