Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник тематических задач по курсу общей физики. Учебное пособие
.pdf
31
М m
≫
30α= °
45α= °
0,5
кг
m
=
30 H
F
=
30
β
= °
расстояние 200 м и остановился. Вычислите расстояние, которое проехал
поезд за время торможения вагона, считая его скорость неизменной.
11. Неподвижное тело массой 2 кг опускается плавно на массивную
платформу (
), движущуюся со скоростью 4 м/с. Сколько времени
тело будет скользить по платформе и какое расстояние оно пройдет за это
время? Коэффициент трения равен 0,2.
12. На клине с углом при основании
лежит брусок. Коэффициент
трения между бруском и клином 0,4. С каким ускорением должен
двигаться клин, чтобы брусок не соскальзывал?
13. Наклонная плоскость составляет угол
движется груз массой
, к которому приложена сила
направленная под углом
к наклонной плоскости. Найти
с горизонтом. Вверх по ней
ускорение, с которым движется тело, если коэффициент трения равен 0,4.
14. Диск вращается с частотой 70 об/мин. На каком расстоянии от центра
диска нужно положить тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент
,
трения тела о диск 0,44.
32
M r F
r
F
r
F
r
F
M
r
F
M
sin
M r F F d
α
= ⋅ ⋅ = ⋅
r
F
F
J r dm
∫
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Основные законы и формулы:
Момент силы – векторная физическая величина, равная векторному
произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке
приложения силы – по определению) на вектор этой силы. Характеризует
вращательное действие силы на твёрдое тело.
,
где
- радиус-вектор,
= ×
- приложенная сила.
Направление момента силы определяется.
Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости,
образованной векторами
и
, причем векторы
и
,
взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов
(по свойству векторного произведения): если правым винтом
довернуть по кратчайшему пути вектор
направление движения винта укажет направление вектора
до вектора
, то
.
Величина момента силы.
,
,
где α - угол между векторами
и
, d - плечо силы
, т.е. кратчайшее
расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Момент инерции – скалярная физическая величина, которая является мерой
инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса
тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме
произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси вращения.
2
=
,
где dm - элементарная масса, r - расстояние от dm до оси вращения.
33
2
J mr
=
Однородный
диск
2
2
J mR
однородный
2
12
J m
ℓ
2
J mR
=
Шар
2
5
J mR
0
J
2
J J md
2
2
z
J
Момент инерции материальной точки.
где m - масса точки, r - расстояние до оси вращения.
Моменты инерции некоторых симметричных тел.
относительно оси,
перпендикулярной к плоскости диска
и проходящей через его центр масс.
Тонкий длинный
стержень
с сечением любой формы
относительно оси, проходящей через
его центр масс.
Тонкостенный цилиндр или обруч
относительно оси, перпендикулярной
их плоскости и проходящей через их
центры масс.
относительно оси, проходящей
через его центр.
1
=
,
где m - масса диска, R - радиус диска.
1
=
,
где m - масса стержня, ℓ - длина
стержня.
,
где m - масса цилиндра/обруча, R -
радиус цилиндра/обруча.
2
=
,
где m - масса шара, R - радиус шара.
Теорема Штейнера.
Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр
масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.
= +
0
.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
J
z
,
где
Wω=
k
- момент инерции тела относительно оси z, ω - угловая скорость тела.
34
2 2
2 2
υ ω
c
υ
c
J
z i i z
L m R J
ω ω
i
m
i
R
i
m
z
J
dL
z z z
M J J
dt dt
ω
ε
z
M
z
J
dA M d
ϕ
=
d
ϕ
z
M
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения.
m J
W
k
c c
= +
,
где m - масса тела,
- скорость центра масс тела,
- момент инерции тела
относительно оси, проходящей через его центр масс, ω - угловая скорость тела.
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела
относительно оси вращения.
где ω - угловая скорость тела,
тела,
- расстояние от
до оси вращения z,
n
= =
∑
i
=
- масса i-той материальной точки твердого
2
1
.
- момент инерции тела
относительно оси z.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
dL d
z
Mdt=
;
= = =
,
где
- момент силы относительно оси z,
- момент инерции тела
относительно оси z, ω - угловая скорость тела, ε - угловое ускорение тела.
Работа при вращении тела.
,
z
где
- угол поворота тела,
- момент силы относительно оси вращения z.
Примеры решения задач.
Задача №1.
Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра
массой M = 200 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены
грузы массами m1 = 300 г и m2 = 500 г. Пренебрегая трением в оси блока,
определить ускорение грузов и силы натяжения нитей T1 и T2 грузов.
Дано:
М = 200 г = 0,2 кг;
35
a
1
T
2
T
x
y
1 1 1
T m g m a
T m g m a
− + = −
1
T
2
T
M J
ε
=
M
ε
1
T
′
2
T
′
m
= 300 г = 0,3 кг;
1
m
= 500 г = 0,5 кг.
2
Определить:
;
;
.
Решение.
1. Выполним рисунок, расставим действующие на тела силы и зададим
направления координатных осей: ось
направим вниз, а ось
-
перпендикулярно плоскости чертежа, от нас.
2. Запишем для каждого из грузов, движущихся поступательно, второй закон
Ньютона в проекциях на ось x:
Здесь
обеспечивается вращающий момент, действующий на блок.
3. Применим основной закон динамики вращательного движения к блоку.
где
блока.
На блок действуют две касательные силы:
натяжением нити.
− + =
2 2 2
и
- силы натяжения нитей, не равные по величине. За счет этого
,
- суммарный момент действующих на блок сил,
и
- угловое ускорение
, которые обусловлены
36
1
M
1
T
′
2
M
2
T
′
1 2
M M M
2 1
M M M
= −
M M J
ε
− = ⋅
1
M
2
M
1
T
′
2
T
′
M T R
′
= ⋅
M T R
′
= ⋅
1
T
′
2
T
′
1 1
T T
′
=
2 2
T T
′
=
M T R
= ⋅
M T R
= ⋅
(
)
R T T J
ε
− = ⋅
2
2
J MR
Отметим, что моменты этих сил противоположно направлены: момент
силы
момент
направлен перпендикулярно плоскости рисунка к нам, в то время как
силы
направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас.
Суммарный момент действующих сил:
= +
,
или в проекции на ось y:
.
Учтем, что блок ускоренно вращается по часовой стрелке, а значит вектор
углового ускорения направлен вдоль оси y.
Таким образом, основное уравнение динамики вращательного движения в
проекции на ось y примет вид:
2 2
и
.
.
и
:
,
2 1
4. Запишем моменты
и
касательных сил
1 1
и
где R - радиус блока, а также плечо сил
5. Поскольку нить невесома и нерастяжима,
и
, откуда
1 1
и
2 2
.
6. Подставим найденные значения моментов в основное уравнение динамики
вращательного движения:
2 1
.
7. По условию задачи блок представляет собой диск, который вращается вокруг
неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Поэтому момент инерции
блока:
=
1
.
37
a R
ε
=
2
a
R
− = ⋅
2
T T Ma
1 1 1
T m g ma
− + =−
2 2 2
T m g m a
− + =
2
T T Ma
/ 2
a g
−
2
м/с
(
)
T m a g
= +
(
)
T m g a
= −
3,6 H
=
3,8 H
=
2
м/с
3,6 H
=
3,8 H
=
Гц
ν
=
8. Учитывая записанное выше выражение для момента инерции, а также
известную связь линейного и углового ускорения
, получим
окончательное выражение для уравнения динамики вращательного движения :
R T T MR
1
( )
2 1
2
, или
1
− =
( )
2 1
.
9. Объединим полученные уравнения для грузов и для блока в одну систему:
1
− =
( )
2 1
10. Разрешая полученную систему уравнений, найдем окончательное
выражение для ускорения:
m m
=
m m M
2 1
+ +
1 2
,
Подставляя известные значения масс и ускорения свободного падения, найдем:
2,2
a ≈
.
11. Силы натяжения нитей выразим из уравнений для поступательного
движения грузов:
,
.
Отсюда
T
1 1
2 2
T
1
,
2
.
Ответ:
a =
2,2
T
,
1
T
,
2
.
Задача №2.
0,5
1
Человек стоит в центре вращающейся по инерции с частотой
платформы и держит в вытянутых в стороны руках гири. Масса
38
5 кгm
=
см
=
ℓ
2
кг м
= ⋅
см
=
ℓ
Гц
ν
=
5 кгm
=
см = 0,7 м
=
ℓ
см = 0,2 м
=
ℓ
2
кг м
= ⋅
2
ν
1 2
z z
L L
=
1
z
L
2
z
L
z z
L J
ω
=
каждой гири
, расстояние от гири до оси вращения составляет
70
1
Суммарный момент инерции человека относительно оси вращения составляет
3
J
0
. Определить, с какой частотой станет вращаться платформа, если
человек прижмет к себе гири так, что расстояние от каждой из них до оси
вращения станет равным
20
2
. Какую работу при этом совершит человек?
Дано:
0,5
1
;
;
70
1
20
2
3
J
0
.
;
;
.
Определить:
, A.
Решение.
1. По условию задачи, платформа вращается по инерции, а значит суммарный
момент внешних сил, действующих на нее, будет равен нулю.
Это означает, что данная система является замкнутой, и поэтому для нее может
быть записан закон сохранения момента импульса:
,
где
вытянутых руках, а
- момент импульса системы для случая, когда человек держит гири на
- момент импульса системы для случая, когда человек
прижимает гири к себе.
2. Поскольку момент импульса может быть записан как
,
получим равенство:
39
1 1 2 2
ω ω
=
1
z
J
1
ω
2
z
J
2
ω
0
J
2
1 0 1
J J m
ℓ
2
2 0 2
J J m
ℓ
2
ω πν
=
1 1
πν
⋅
(
)
0 1 1
ν
ν
ℓ
Гц
ν
=
2 2
2 2 1 1
2 2
ω ω
2 1
ω ω
где
и
- момент инерции системы и угловая скорость для случая, когда
человек держит гири на вытянутых руках, а
J J
z z
, (1)
и
- момент инерции системы
и угловая скорость для случая, когда человек прижимает гири к себе.
3. Запишем моменты инерции системы для обоих рассматриваемых случаев.
При этом учтем, что полный момент инерции системы «человек + гири» будет
складываться из момента инерции самого человека
и моментов инерции
двух гирь, которые можно считать материальными точками. Таким образом,
имеем:
= +
z
= +
z
2
,
2
.
4. Из равенства (1) выразим интересующую нас частоту вращения с учетом
того, что связь частоты и угловой скорости имеет вид
2
J
2
πν
z
=
2
J
z
2
:
или окончательно
2
2
J m
+
ℓ
.
2
2
+
Отсюда получим
2
1,16
J
ν
⋅
1 1
z
= =
2
J J m
2 0 2
z
.
5. Работа, совершенная человеком, равна изменению кинетической энергии
системы:
Выражая из (1)
J J
A
J
1
z
=
J
, получим:
2
z
z z
= −
.
40
1 1 2
z z
A J J
(
)
2 2
1 2
ℓ ℓ
ℓ
103
Д ж
A
≈
Гц
ν
=
103
Дж
A
≈
50 H
F
=
2
60
кг м
J
= ⋅
30 H
=
70 H
=
60 H
=
J J J J J J
= − = − = −
2 2 2 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1
z z z z z z
2 2 2 2
2
ω
2
J J J
2 2 2
z z z
ω ω ω
Подставим значения моментов инерции:
2 2 2
4 2
π ν
A m
= ⋅ −
J m
+
1 0 1
2
2
J m
+
0 2
ℓ
2
1
( )
[ ]
.
.
Отсюда
Ответ:
2
1,16
.
,
.
При решении задач, если не указано обратное, считать нить невесомой и
нерастяжимой, трением в оси блока и между блоком и нитью принебречь,
проскальзывания нет.
ЗАДАЧИ
1. Однородный диск массой 2 кг и радиусом 30 см начинает вращение под
действием постоянной силы
относительно оси, проходящей
через его геометрический центр. Определить количество полных
оборотов, которые сделает диск за 10 мин. Трением пренебречь.
2. Колесо самоката массой 200 г и радиусом 10 см вращается с частотой 5
об/с. Определить значение касательной силы, которую нужно приложить
к ободу колеса, чтобы оно остановилось за 3 с. Колесо считать
однородным диском.
3. Однородный стержень длиной 2 м может без трения вращаться вокруг
оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклонили на угол
45ο и отпустили. Определить скорость нижнего конца стержня в момент
прохождения положения равновесия.
4. К однородному цилиндру радиусом 60 см и моментом инерции
приложены силы
F
,
1
F
2
,
F
3
Определить направление вращения и угловое ускорение цилиндра.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]