Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник тематических задач по курсу общей физики. Учебное пособие
.pdf
Дано:
I
a b
<
0
R
i
P P
=
AB
H
0
AR B
0
AR B
i
I
AB
2
I
R
π
AB
; a; b;
;
.
Показать:
.
121
Решение.
1. Проводник
создаваемым током I. Поскольку площадь контура
движется в магнитном поле напряженностью
при этом
уменьшается, возникает изменение магнитного потока через замкнутый контур.
В результате в контуре
индукционный ток
. Таким образом, на проводник с током
возникнет Э.Д.С. индукции и потечет
, находящийся
в магнитном поле прямого тока I будет действовать сила Ампера.
2. Напомним, что магнитное поле прямого тока может быть вычислено по
известному выражению:
H
=
.
3. Согласно правилу левой руки, сила Ампера, действующая на проводник
,
,
направлена против скорости движения контура.
Величина силы Ампера определяется выражением:
122
ln
I I b
a
i
I
0
AR B
dl
i
I
AB
A
F F
=
ln
2
I I V b
a
µ
⋅
i
I
0
I R
= ⋅
E
(
)
d t
dt
I dS
R
µ
∫ ∫
dS dx dy
= ⋅
ln
I dy dx I b
R a
(
)
2 2
d I b I b
dt a dt a
υ
π π
= − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
b b
F I H dl j I H dx j
µ µ µ
= × = − ⋅ ⋅ = − ⋅
A i i
0 0 0
∫ ∫
a a
i
2
π
,
где
магнитного поля, создаваемого током I, вектор
4. Для того, чтобы проводник
- индукционный ток, возникающий в контуре
направлен вдоль тока
двигался равномерно со скоростью υ,
, H - напряженность
.
действующая сила Ампера должна быть уравновешена некоторой
механической силой
, направленной в сторону движения проводника
(вверх).
5. Мощность силы Ампера может быть вычислена как:
0
P F
= ⋅ =
υ
A
6. Найдем величину индукционного тока
i
.
π
, текущего в контуре. Из закона Ома
следует:
i i
.
С другой стороны, вследствие изменения магнитного потока возникает
электродвижущая сила
Φ
= −
E
инд
.
Найдем магнитный поток через контур:
Ф
BdS
= =
( ) ( )
S t S t
Определим элемент площади в виде:
0
2
π
.
. Следовательно, магнитный
поток
(t)
y
µ µ
Ф y t
= = ⋅ ⋅
2 2
b
0 0
∫ ∫
π π
0
⋅
a
( )
.
Зная магнитный поток, можно найти ЭДС как
E
i
µ µ
Φ
0 0
ln ln
dy t
,
123
AB
I b
R a
µ
υ
= − ⋅
2 2
I b I b
a a
2
I b
R a
i
P P
=
i
P P
=
100
кА/м
H
=
60α= °
20 A
I
=
20 смa
=
0,05
Тл
В
=
где υ – скорость движения проводника
.
Используя закон Ома, вычислим значение индуцированного тока в контуре:
0
π
ln
0
.
I
k
2
5. С учетом вычисленного значения индукционного тока, выражение для его
мощности согласно закону Джоуля-Ленца имеет вид:
2 2 2 2 2 2
P I R R
2
= = ⋅ =
i i
µ υ µ υ
0 0
0 0
π
2
R
( )
ln ln
2 2
0
π
2
( )
R
.
0
6. С другой стороны, мощность механической силы, действующей на контур:
2
b
2 2 2
I
µ υ
0
P
= =
π π
2 2
ln
⋅ ⋅
2 2 2
a
0
µ υ
0
π
2
( )
ln
2
R
0
.
7. Таким образом,
Ответ:
.
, что и требовалось доказать.
ЗАДАЧИ
1. В однородное магнитное поле напряженностью
помещена
квадратная рамка со стороной 10 см. Плоскость рамки составляет с
направлением магнитного поля угол
. Определить магнитный
поток, пронизывающий рамку.
2. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током
расположена квадратная рамка со стороной, длина которой
, причем две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние
от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определить
магнитный поток, пронизывающий рамку.
3. В магнитном поле, индукция которого
длиной 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня,
параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф,
пересекаемый стержнем при каждом обороте.
, вращается стержень
124
10 смa
=
15 смb
=
-1
4 c
ν
=
80
кА/м
H
=
30 c
мd=
2
ммD=
1 A
I
=
2
10
см
S
=
0,8
Тл
В
=
15 мct
=
()(
)
0,5cos 4
B t t
=
80 смa
=
30α= °
5 ct=
-1
2 c
ν
=
0,1
Т л
B
=
1 м=
ℓ
5
мТл
B
=
4. Прямоугольная рамка, стороны которой
и
, вращается
в однородном магнитном поле с частотой
. Ось вращения рамки
находится в ее плоскости и перпендикулярна к направлению магнитного
поля. Напряженность магнитного поля
. Запишите
зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t
и определите наибольшее значение этого магнитного потока.
5. Кольцо из алюминиевого провода помещено в магнитное поле
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца
, диаметр провода
магнитного поля, если ток в кольце
6. Круговой проволочный виток площадью
однородном магнитном поле, индукция которого
. Определить скорость изменения
.
находится в
. Плоскость
витка перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю
Э.Д.С. индукции, возникающую в витке при выключении поля в течение
времени
7. В магнитное поле, изменяющееся по закону
квадратная рамка со стороной
образует с направлением поля угол
возникающую в рамке в момент времени
8. Стержень длиной 70 см вращается с частотой
.
, помещена
, причем нормаль к рамке
. Определить Э.Д.С. индукции,
.
вокруг оси,
проходящей через его конец и перпендикулярной к направлению
однородного магнитного поля с индукцией
. Определить
возникающую на концах стержня Э.Д.С. индукции.
9. Горизонтальный стержень длиной
вращается вокруг
вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения
параллельна магнитному полю, индукция которого
. При какой
частоте вращения стержня разность потенциалов на концах этого стержня
будет составлять 1 мВ?
125
-1
600
мин
ν
=
3
ВЕ=
2
100
см
S
=
5 ОмR
=
50
кА/м
H
=
20
мкКл
Q
=
0,3
Тл
В
=
15 см=
ℓ
10 c
м/сυ=
3 A
I
=
10 смa
=
30 смb
=
15 c
м/сυ=
Ом
=
AR B
10. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная
рамка с частотой
составляет
. Определить максимальный магнитный поток через
. Амплитуда индуцируемой в рамке Э.Д.С.
рамку.
11. Плоскость проволочного витка площадью
и сопротивлением
, находящегося в однородном магнитном поле напряженностью
, перпендикулярна линиям магнитной индукции. При
повороте витка в магнитном поле, заряд, прошедший по витку, составляет
. Определить угол поворота витка.
12. В однородное магнитное поле с индукцией
, помещена
прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой
Определить Э.Д.С. индукции, возникающей в рамке, если ее подвижная
сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со
.
скоростью
.
13. Два параллельных металлических стержня лежат в однородной плоскости
с бесконечным прямолинейным током
на расстояниях
и
по одну сторону от него (см. рисунок). По этим стержням
скользит проводник
сопротивлению
R
тока в контуре .
AB со скоростью
4
0
0
, на которое замкнуты стержни. Найти силу
по направлению к
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
(
)
0
ω ϕ
= +
0
ϕ
dx
dt
2
2
d d x
dt dt
0
2 2
ω ϕ
0
2
ω ϕ
2 2
2
ω
0
x x
ω
+ =
ɺɺ
2 /
T
ω π
=
l
g
Основные законы и формулы.
Уравнение гармонических колебаний.
126
cosx A t
,
где x - смещение колеблющейся величины от положения равновесия, A амплитуда колебания, ω - циклическая частота,
- начальная фаза.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания.
υ
=
,
a
= =
υ
.
Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m.
2 2 2
m mA
W t
υ ω
= = +
k
sin
2
( )
.
Потенциальная энергия колеблющейся точки массой m.
2 2
mA
W t
ω
= +
п
cos
2
( )
.
Полная энергия колеблющейся точки массой m.
mA
E W W
= + =
k
п
.
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
материальной точки массой m.
2
,
где
- частота колебаний, T - период колебаний.
Период колебаний математического маятника.
2
T
π
=
,
где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника.
127
J
mgd
d
J
md
ϕ
= + + ∆
1
A
2
A
02 01
ϕ ϕ ϕ
∆ = −
1 01 2 02
1 01 2 02
cos cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
2
π
ω
∆
2 1
ω ω ω
∆ = −
2
A A t
ω
A AB B
ϕ ϕ
− ∆ + = ∆
02 01
ϕ ϕ ϕ
∆ = −
2
T
π
=
,
где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний, m - его масса,
- расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.
Приведенная длина физического маятника.
l
пр
=
.
Амплитуда результирующего колебания, возникающего при сложении двух
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
где
A A A A A
2 2
1 2 1 2
- амплитуда первого колебания,
2 cos
- амплитуда второго колебания,
,
- разность начальных фаз складываемых колебаний.
Начальная фаза результирующего колебания.
tg
ϕ
A A
=
0
A A
+
.
sin sin
Период биений.
T
где
=
б
- разность частот складываемых колебаний.
,
Амплитуда биений при сложении двух колебаний одинаковой амплитуды A.
∆
б
2 cos
=
.
Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты.
где A и B - амплитуды складываемых колебаний,
начальных фаз.
2 2
2
x xy y
2 2
cos sin
2
,
- разность их
128
2 мl
=
2 мl
=
30
см 0,3 м
a
= =
; .
пр
T l
AO
(
)
AO a
=
OC
(
)
OC d
=
2
J J md
2
12
J ml
2
d AC AO a
= − = −
J ml m a ml ma a l
= + − = + −
J
mgd
Примеры решения задач.
Задача №1.
Физический маятник представляет собой стержень длиной
совершающий колебания вокруг оси, отстоящей на 30 см от верхнего конца
стержня. Определить период колебаний маятника и его приведенную длину.
Дано:
;
.
Определить:
Решение.
1. Выполним рисунок. Обозначим расстояние
конца стержня до оси подвеса
до центра масс стержня
.
,
- от точки подвеса
от верхнего
,
2. Для определения периода колебаний необходимо вычислить
сначала момент инерции стержня относительно оси подвеса. Для
этого воспользуемся теоремой Штейнера:
= +
0
,
1
где
=
0
- момент инерции стержня относительно центра
масс, расстояние
l
.
Таким образом, момент инерции стержня:
1 1
2 2
12 2 3
l
2
( )
.
3. Период колебаний физического маятника:
Подставим в выражение для периода момент инерции стержня и расстояние d:
T
2
π
=
.
129
ml ma a l l a a l
+ − + −
2, 2
с
T
≈
ml ma a l l a a l
+ − + −
м
≈
2, 2
с
T
≈
м
≈
cos
x t
π
=
cos2y t
π
cos
x t
π
=
cos2y t
π
( )
y x
x
1 1
2 2
3 3
2 2
T
π π
= =
( ) ( )
l l
mg a g a
− −
2 2
.
4. Вычислим приведенную длину маятника:
1 1
1,18
l
пр
Ответ:
2 2
J
l
= = =
пр
md
.
1,18
l
;
пр
3 3
m a
.
( ) ( )
l
−
2
.
l
a
−
2
.
Задача №2.
колебаниях, происходящих по законам:
Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных
=
Определить уравнение траектории точки.
Дано:
,
=
Определить:
.
.
,
.
Решение.
1. Для того чтобы определить траекторию движения точки, необходимо из
заданных законов колебаний исключить время. Преобразуем уравнение
движения вдоль оси
косинуса двойного угла. Тогда получим:
, используя тригонометрическое выражение для
130
cos cos sin cos 1 cos 2cos 1
x t t t t t t
= = − = − − = −
2
t
π
cos2y t
π
2
y t
π
2cos 1 2 1
2
π
= − = −
1
2
1
2
1
2 2
4
π
2
π
π π π π π
π
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2. В полученном выражении присутствует член
cos
2
, но вместе с тем
.
=
, значит
2 2
cos
=
.
3. Выполняя подстановку, получим:
Ответ:
y+=
x t y
x
.
2 2
. Откуда
y+=
x
.
ЗАДАЧИ
Гармонические колебания материальной точки.
1. Колебательное движение материальной точки задано уравнением
π
2sin
x t
= +
.
Определить амплитуду, период, начальную фазу, максимальную скорость
и максимальное ускорение колебания.
2. Материальная точка массой 0,2 кг совершает колебания по закону
0,08 cos 20
x t
= +
π
.
Написать уравнения для скорости точки, ее ускорения и действующей
силы, а также определить амплитудные значения этих величин.
3. Материальная точка массой 0,1 кг совершает колебания по закону
0, 03cos 5
x t
= +
π
.
Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию осциллятора.
4. Колебательное движение материальной точки задается уравнением
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]